2022高考数学一轮复习第三章函数概念与基本初等函数第3讲函数的奇偶性及周期性学案

第3讲　函数的奇偶性及周期性

1．函数的奇偶性

2.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

常用结论

1．函数奇偶性的常用结论

(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．

(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．函数周期性的常用结论

对f(x)定义域内任一自变量的值x：

(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．

(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)．

(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．

常见误区

1．判断函数的奇偶性不可忽视函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．

2．函数f(x)是奇函数，必须满足对定义域内的每一个x，都有f(－x)＝－f(x)，而不能说存在x0，使f(－x0)＝－f(x0)．同样偶函数也是如此．

3．不是所有的周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若f(x)是定义在R上的奇函数，则f(－x)＋f(x)＝0.(　　)

(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(　　)

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(　　)

(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(　　)

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(　　)

答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√

2．下列函数中为偶函数的是(　　)

A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x

C．y＝|ln x| D．y＝2－x

解析：选B.根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数，B选项为偶函数，C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D选项既不是奇函数，也不是偶函数．故选B.

3．(易错题)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，则a＋b的值是(　　)

A．－1 B．1

C．－3 D．0

解析：选B.因为函数f(x)＝ax2＋bx＋3是定义在[a－3，2a]上的偶函数，所以a－3＋2a＝0，解得a＝1.由f(x)＝f(－x)得b＝0，所以a＋b＝1.故选B.

4．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x(1＋x)，则f(－1)＝________．

解析：f(1)＝1×2＝2，又f(x)为奇函数，

所以f(－1)＝－f(1)＝－2.

答案：－2

5．设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[－1，1)时，f(x)＝则f＝________．

解析：f＝f＝f＝－4×＋2＝1.

答案：1

　　　　　　函数的奇偶性

角度一　判断函数的奇偶性

判断下列函数的奇偶性．

(1)f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]；

(2)f(x)＝ln ；

(3)f(x)＝＋；

(4)f(x)＝

【解】　(1)因为f(x)＝x3＋x，x∈[－1，4]的定义域不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数．

(2)f(x)的定义域为(－2，2)，

f(－x)＝ln ＝－ln ＝－f(x)，

所以函数f(x)为奇函数．

(3)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称．

又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，

所以f(x)既是奇函数又是偶函数．

(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，

当x＞0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；

当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；

当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．

故该函数为奇函数．

函数具有奇偶性包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域．

(2)判断f(x)与f(－x)的关系．在判断奇偶性时，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．

常见特殊结构的奇偶函数：f(x)＝loga(－x)(a＞0且a≠1)为奇函数，f(x)＝ax＋a－x(a＞0且a≠1)为偶函数．　

角度二　函数奇偶性的应用

(1)(2019·高考全国卷Ⅱ)设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝ex－1，则当x＜0时，f(x)＝(　　)

A．e－x－1 B．e－x＋1

C．－e－x－1 D．－e－x＋1

(2)(2021·徐州模拟)已知函数f(x)＝cos ＋－1，若f(a)＝－，则f(－a)＝(　　)

A． B．

C．－ D．－

【解析】　(1)通解：依题意得，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－(e－x－1)＝－e－x＋1，选D.

优解：依题意得，f(－1)＝－f(1)＝－(e1－1)＝1－e，结合选项知，选D.

(2)设g(x)＝f(x)＋1＝－sin 2x＋，易知g(x)是奇函数，

则g(a)＝f(a)＋1＝－＋1＝，

所以g(－a)＝－g(a)＝－，

即f(－a)＋1＝－，所以f(－a)＝－.故选D.

【答案】　(1)D　(2)D

已知函数奇偶性可以解决的3个问题

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程或方程(组)，进而得出参数的值．

1．函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝(　　)

A．－1 B．1

C．－ D．

解析：选C.由题知f(x)为奇函数，则f(0)＝0，即0＋2a＋3＝0，所以a＝－，此时f(x)＝为奇函数．

2．如果f(x)是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是(　　)

A．y＝x＋f(x) B．y＝xf(x)

C．y＝x2＋f(x) D．y＝x2f(x)

解析：选B.因为f(x)是奇函数，

所以f(－x)＝－f(x)．

对于A，g(－x)＝－x＋f(－x)＝－x－f(x)＝－g(x)，所以y＝x＋f(x)是奇函数．

对于B，g(－x)＝－xf(－x)＝xf(x)＝g(x)，

所以y＝xf(x)是偶函数．

对于C，g(－x)＝(－x)2＋f(－x)＝x2－f(x)，

所以y＝x2＋f(x)为非奇非偶函数．

对于D，g(－x)＝(－x)2f(－x)

＝－x2f(x)＝－g(x)，所以y＝x2f(x)是奇函数．

3．(多选)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex，则(　　)

A．f(x)＝ B．g(x)＝

C．f(－2)<g(－1) D．g(－1)<f(－3)

解析：选AD.因为函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且满足f(x)＋2g(x)＝ex　①，

所以f(－x)＋2g(－x)＝e－x，即f(x)－2g(x)＝e－x②.

联立①②

解得所以f(－2)＝，f(－3)＝，g(－1)＝<0，所以g(－1)<f(－2)，g(－1)<f(－3)，故选AD.

4．(一题多解)已知函数f(x)为奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－x，则当x<0时，函数f(x)的最大值为________．

解析：方法一：当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝x2＋x.

又因为函数f(x)为奇函数，

所以f(x)＝－f(－x)＝－x2－x＝－＋，

所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.

方法二：当x>0时，f(x)＝x2－x＝－，最小值为－，

因为函数f(x)为奇函数，所以当x<0时，函数f(x)的最大值为.

答案：

函数的周期性

(1)(2020·广东六校第一次联考)在R上函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)＝其中a∈R，若f(－5)＝f(4.5)，则a＝(　　)

A．0.5 B．1.5

C．2.5 D．3.5

(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，4]上与x轴的交点的个数为(　　)

A．2 B．3

C．4 D．5

【解析】　(1)由f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)是周期为2的函数，又f(－5)＝f(4.5)，所以f(－1)＝f(0.5)，即－1＋a＝1.5，所以a＝2.5.故选C.

(2)当0≤x<2时，令f(x)＝x3－x＝x(x2－1)＝0，所以y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x1＝0，x2＝1.

当2≤x<4时，0≤x－2<2，又f(x)的最小正周期为2，所以f(x－2)＝f(x)，所以f(x)＝(x－2)(x－1)(x－3)，所以当2≤x<4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.又f(4)＝f(2)＝f(0)＝0，综上可知，共有5个交点．

【答案】　(1)C　(2)D

函数周期性的判定与应用

(1)判断函数的周期性只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．

(2)根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．

1．已知定义在R上的函数满足f(x＋2)＝－，当x∈(0，2]时，f(x)＝2x－1.则f(17)＝________．

解析： 因为f(x＋2)＝－，

所以f(x＋4)＝－＝f(x)，

所以函数y＝f(x)的周期T＝4.

f(17)＝f(4×4＋1)＝f(1)＝1.

答案：1

2．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3，0]时，f(x)＝6－x，则f(2 023)＝________．

解析：因为f(x＋4)＝f(x－2)，

所以f(x＋6)＝f(x)，则T＝6是f(x)的周期．

所以f(2 023)＝f(337×6＋1)＝f(1)．

又f(x)在R上是偶函数，

所以f(1)＝f(－1)＝6－(－1)＝6，即f(2 023)＝6.

答案：6