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安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三下学期最后一模数学（文）试题+答案

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这是一份安徽省滁州市定远县育才学校2021届高三下学期最后一模数学（文）试题+答案，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

育才学校2021届高三下学期最后一次模拟检测

文科数学

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

设集合，，则

A. B.
C. D.

在复平面内，复数，对应的点关于实轴对称，，则

A. 5 B. C. D.

已知非零向量，满足，且，则向量，的夹角

A. B. C. D.

2021年开始，我省将试行““的普通高考新模式，即除语文数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是

A. 甲的物理成绩领先年级平均分最多
B. 甲有2个科目的成绩低于年级平均分
C. 甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理化学、历史
D. 对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果

如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则几何体的表面积是

A. 12 B.
C. D.

设函数的定义域为R，满足当时，若对任意，都有，则实数m的取值范围是

A. B. C. D.

函数的图象大致为

A. B.
C. D.

双曲线的左右焦点分别为，，过作倾斜角为的直线与y轴和双曲线右支分别交于A，B两点，若A点平分，则该双曲线的离心率是

A. B. C. 2 D.

记为等差数列的前n项和，若，，则数列的通项公式

A. n B. C. D.

设，，，则a，b，c的大小顺序为

A. B. C. D.

将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，下列说法正确的是

A. 是奇函数
B. 的周期是
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称

在直四棱柱中，底面ABCD是边长为6的正方形，点E在线段AD上，且满足，过点E作直四棱柱外接球的截面，所得的截面面积的最大值与最小值之差为，则直四棱柱外接球的表面积为

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

宋元时期是我国古代数学非常辉煌的时期，其中秦九韶、李治、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家，其代表作有秦九韶的数书九章，李治的测圆海镜和益古演段，杨辉的详解九章算法和杨辉算法，朱世杰的算学启蒙和四元玉鉴现有数学著作数书九章，测圆海镜，益古演段，详解九章算法，杨辉算法，算学启蒙，四元玉鉴，共七本，从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是______ ．
已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则面积为______ ．
设变量x，y满足约束条件，则的最大值为______．
已知函数，过点作曲线的切线，则函数的切线方程为______ ．

三、解答题(本大题共6小题,共70分。其中22、23为选考题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)

（12分）的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且．
求角B的大小；
若，，D为BC边上一点，，求的值．
（12分）某商店销售某海鲜，统计了春节前后50天海鲜的需求量，单位：千克，其频率分布直方图如图所示，该海鲜每天进货1次，商店每销售1千克可获利50元；若供大于求，剩余的降价处理，每处理1千克亏损10元；若供不应求，可从其他商店挑拨，每销售1千克可获利30元．假设商店每天该海鲜的进货量为14千克，商店的日利润为y元．

求商店日利润y关于需求量x的函数表达式；

假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替．

求这50天商店销售该海鲜日利润的平均数；

估计日利润在区间内的概率．

（12分）如图，在直四棱柱中，上、下底面均为菱形，点G，H，M分别为AC，，BC的中点．
求证：平面；
若，求证：平面．

（12分）已知椭圆C：的左、右焦点分别为、，离心率为，M为C上一点，面积的最大值为．
求C的标准方程；
设动直线l过且与C交于A、B两点，过作直线l的平行线，交C于R、N两点，记的面积为，的面积为，试问：是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，说明理由．
（12分）已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
证明：对任意，都有．
选修4 - 4：坐标系与参数方程（10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
Ⅰ求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
Ⅱ设直线l与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．

选修4-5：不等式选讲（10分）

已知函数．
当时，求不等式的解集；
若时，不等式成立，求实数a的取值范围．

答案解析

1.B

【解析】，或，，
，，，
．故选：B．
2.A

【解析】复数，对应的点关于实轴对称，，
，
，故选：A．
3.D

【解析】非零向量，满足，且，
可得：，，
，向量，的夹角，
．
，．故选：D．
4.C

【解析】甲的成绩从高到低的前3个科目依次是地理、化学、生物物理，
C选项错，故选：C．
5.C

【解析】解：由题意，几何体为底面边长为2的四棱锥，高为2，所以几何体的表面积为：；故选：C．
6.B

【解析】解：因为，，
时，，
时，，，
时，，，
故存在，由，解得或，
若对任意，都有，则．故选：B．
7.B

【解析】解：函数的定义域为，
，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除C，
当时，，排除A，
当，排除D，故选：B．
8.A

【解析】解：，，
在y轴上，且A是的中点，
，
，
，
，即，
整理得：，
，
解得或舍．故选：A．
9.B

【解析】解：差数列中，，，
所以，
解得，，
则数列的通项公式．故选：B．
10.A

【解析】解：，，
所以，
，
因为，
所以，
综上．故选：A．
11.D

【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，
得到函数的图象，
故是偶函数，最小正周期为，故A、B错误；
令，求得，不是最值，故C错误；
令，求得，故的图象关于点对称，故D正确，故选：D．
12.B

【解析】解：四棱柱是直四棱柱，且底面是正方形，
其外接球的球心位于直四棱柱的中心，记作O，过O向底面ABCD作垂线，垂足为G，
则，连接BD，底面ABCD是边长为6的正方形，为BD的中点，
取AD的中点F，连接OF，OE，OB，
设，则，外接球的半径．
点E在线段AD上，且满足，则，
又，．
直四棱柱中，侧面，，侧面，
，又底面ABCD，
，又，平面OFG，则．
则．
根据球的特征，过点E作直四棱柱的外接球的截面，
当截面过球心时，截面面积最大，此时截面面积为，
当OE垂直于截面时，此时截面圆的半径为．
此时截面面积为
又截面面积的最大值与最小值之差为，
，
因此，即，则，
直四棱柱外接球的表面积为．故选：B．
13.

【解析】解：共七本，从中任取2本，共有种，
一本也不含杨辉的著作的共有种，
所以从中任取2本，至少含有一本杨辉的著作的概率是．故答案为：．
14.

【解析】解：由结合正弦定理得，即，
因为，，
由余弦定理可得，
解得，，，
又，
则的面积．故答案为：．
15.4

【解析】解：作出变量x，y满足约束条件，
对应的平面区域如图：
变形，得
平移此直线，由图象可知当直线经过A时，
直线在y轴的截距最大，得到z最大，
由，解得
所以的最大值为．故答案为：4．
16.

【解析】解：把点代入可知，点不在曲线上．
设切点为，，，则所求切线的斜率又，
，，，，
所求的切线方程为，即．
故答案为：．
17.解：因为，
由正弦定理得，
故，
所以，
因为，
所以，即，
因为，
所以；
因为，，
所以，，
中，由余弦定理得，，
所以，
由正弦定理得，
故．

18.解：根据题意可得：商店的日利润y关于需求量x的函数表达式为，

化简得：；
由频率分布直方图得：
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
海鲜需求量在区间的频率是；
这50天商店销售该海鲜日利润y的平均数为：

元；
由于时，，
显然在区间上单调递增，
，得；
，得；
求日利润y在区间内的概率等价于求海鲜需求量x在区间的频率，
即：．
日利润y在区间内的概率为．

19.证明：取中点M，AD中点N，连结NM、GN，
在直四棱柱中，上、下底面均为菱形，
点G，H，M分别为AC，，BC的中点，
，，，
，，，，
平面平面，
平面GNMH，平面．
在直四棱柱中，上、下底面均为菱形，，
是等边三角形，，
是BC中点，，，
在直四棱柱中，平面，
平面，，
，AM、平面，
平面．

20.解：设椭圆C的半焦距为c，
由题意，可知面积的最大值为bc，
所以，解得，，，
所以椭圆的方程为．
当直线l的斜率存在时，设直线l方程为，，，，
联立，得，
所以恒成立，
所以，，
由，可知，，
所以
，
令，则，
所以，当且仅当时取等号，
即，时，取得最大值，最大值为6，
当直线l的斜率不存在时，不妨设，，，，
则，
综上，当时，取得最大值，最大值为6．

21.解：根据题意可得，，
根据函数导数的几何意义即得，曲线在点处的切线方程即为
，，
函数在点处的切线方程即为：．
证明：由得，，
“，即得在R上单调递增，
又因为，
所以当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减；
综上可得，函数在上单调递减；在上单调递增．
即得，
所以对任意的，都有．