2022届安徽省A10联盟高三下学期开学考试数学（文）试题（解析版）

2022届安徽省A10联盟高三下学期开学考试数学（文）试题一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据二次根式的意义求出集合M，根据自然数的概念求出集合N，结合交集的概念与运算即可得出结果.

【详解】由题意得，，解得，

所以，，

则，

故选D.

2．已知复数，则复数的实部为（       ）

A．5 B．1 C． D．

【答案】A

【分析】根据复数的乘法运算可得，结合实部的概念即可得出结果.

【详解】由题意得，

，

则其实部为5.

故选：A.

3．函数的图象大致是(       )

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据解析式分析函数的对称性，并判断f(0)的大小即可判断图像.

【详解】由题意得，函数的图象关于直线对称，，

故选：C.

4．（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用诱导公式（一）化简，再用诱导公式结合二倍角公式即可得答案.

【详解】，

故选:D.

5．已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的离心率为（       ）

A． B．2 C． D．

【答案】B

【分析】根据渐近线的方程可求出，再间的关系求离心率.

【详解】由题意得，这条渐近线的斜率为，

∴，

∴.

故选：B.

6．已知，，，则，，的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据对数的性质判断与的大小关系即可求解.

【详解】因为，，

，

所以.

故选：B.

7．已知等比数列的前项和为，若，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据等比数列的通项公式列方程求解即可.

【详解】设等比数列的公比为，

则，

解得，

∴，

故选：B.

8．已知命题：，；命题：若对任意恒成立，则.下列命题中为真命题的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据零点存在性定理判断命题p真假，由恒成立求出a的取值范围判断q,再由复合命题的真值表判断即可求解.

【详解】令，则在为连续函数，且，

，故在上存在零点，故方程在上有解，

所以命题为真命题.

对任意恒成立，当时，显然成立，

当时，则，解得，综上，

所以命题为真命题，

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A

9．已知函数的部分图象如图所示，其中，，则函数的单调递增区间为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意得，，即可求出，再根据函数过点，代入即可求出，即可可得函数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：由题意得，，则，∴，∴.

∵，∴，又，∴，

∴，令，解得，∴的单调递增区间为.

故选：C.

10．已知曲线与曲线交于，两点，则（       ）

A．1 B． C．2 D．4

【答案】C

【分析】将函数解析式可得、，根据函数的对称性可知和的图象关于点中心对称，进而得出结果.

【详解】由题意得，，其图象可由向左平移1个单位，向上平移2个单位得到，

故函数的图象关于点中心对称；

又，

∴函数的图象也关于点中心对称，则关于对称，

∴.

故选：C.

11．如图，四棱锥的外接球的球心为，其中底面为正方形，若平面过球心，且，，则异面直线，所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据平行关系转化为求，根据条件解三角形即可求解.

【详解】四边形为正方形，

∴，∴即为所求异面直线与所成角，

由，可得，.

又，

∴，∴，∴，

∴.

故选：B

12．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由函数的单调性可知导数在上恒成立，分离参数后，利用导数求的最小值即可得解.

【详解】由题意得，，

又在上，则，

∴.

令，可知当时，，当时，，

当时，，

∴函数在上单调递增，

∴，则，

∴实数的取值范围为.

故选：D

二、填空题

13．已知，，且与的垂直，则实数______．

【答案】

【分析】根据向量的数量积的坐标运算和垂直的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，向量，，可得，

因为与的垂直，所以，

解得.

故答案为：

14．刘徽是魏晋时代著名数学家，是我国古代数学的集大成者，他给出了阶幻方的构作方法是数学史上算法的范例，他的阶幻方被称为“神农幻方”.所谓幻方，是把排成的方阵，使其每行、每列和对角线的数字之和均相等.下图是刘徽构作的3阶幻方，现从中随机抽取三个数，满足数字之和等于15，则含有数字5或6的概率为______.

【答案】0.75

【分析】根据题意写出基本事件总数和“含有数字5或6”包含的基本事件数，进而求得结果.

【详解】由题意得，

该3阶幻方每行、每列和对角线上的数字之和均等于15，

从中随机抽取三个数，数字之和等于15，基本事件总数为8，

易知事件“含有数字5或6”包含的基本事件数为6，

故所求事件的概率为.

故答案为：.

15．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是，则它的表面积是______.

【答案】

【分析】根据三视图得出几何体为球体去除自身的后的部分，利用体积求出半径，计算表面积即可.

【详解】由三视图可得原几何体为球体去除自身的后的部分，设球的半径为，

则，

解得，

所以该几何体的表面积为.

故答案为：

16．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，点在抛物线的准线上，若，且，则到的距离为______.

【答案】12

【分析】过点作于点，根据题意和抛物线的定义可得，

进而得到关于p的方程，解方程即可.

【详解】由知，为线段上靠近的三等分点，

过点作于点，

∴，

∵，

∴，解得.

故答案为：12

三、解答题

17．近年来，随着网络时代的发展，线上销售成为了一种热门的发展趋势.为了了解产品A的线上销售对象对该产品的满意程度，研究人员随机抽取了部分客户作出调查，得到的数据如下表：

(1)判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为客户的满意程度与性别有关？

(2)根据以往数据，产品A的部分销售年份和线上销售总额之间呈现线性相关，数据统计如图所示，其中，，求关于的回归直线方程.

附：，，，其中.

【答案】(1)能；

(2).

【分析】(1)根据的计算公式计算，与表格对照即可判断；

(2)根据线性回归方程斜率计算公式计算斜率，根据计算出纵截距即可.

【详解】(1)根据统计数据，可得列联表如下表：

则，

故能够在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为客户的满意程度与性别有关.

(2)由题意得，，，

则，，

∴关于的回归直线方程为.

18．设首项为2的数列的前项积为，且.

(1)求数列的通项公式；

(2)设，求数列的前项和.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由递推关系可得，再由累乘法求数列的通项公式；

（2）根据裂项相消法求数列的和即可.

【详解】(1)∵，

∴，即，

由累乘法得，

，

当时，也满足上式，

∴.

(2)由（1）知，，

∴，

则

19．如图，在多面体中，平面平面，其中与都是面积为的等边三角形，，点在平面上的射影落在中边的中线上，且直线与平面所成角的大小为30°.

(1)求证：平面；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)证明见解析;

(2).

【分析】（1）取的中点，连接，，点是点在平面上的射影，连接，可证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理求解；

（2）设点到平面的距离为，利用等体积法求解即可.

【详解】(1)取的中点，连接，，如图，

故为的中线，

∴，.

设点是点在平面上的射影，由题意得，点在上.

连接，则平面.

∵平面平面，平面平面，平面，

，∴平面，∴.

∵是面积为的等边三角形，∴，

∵直线与平面所成角的大小为30°，即，

∴，

又，∴四边形为平行四边形，∴.

∵平面，平面，∴平面.

(2)设点到平面的距离为.

由得，即，

解得.

20．已知函数，.

(1)若，求曲线在点处的切线方程；

(2)若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，点斜式求出切线方程即可；

（2）分离参数可得，构造函数，利用导数求出其最小值即可得解.

【详解】(1)当时，，则，

，

∴，

∴曲线在点处的切线方程为，

即.

(2)由题意得，.

令，则.

令，易得为单调递增函数，且，，

∴，使得，即，

∴，

当时，，，当时，，，则在上单调递减，在上单调递增，

∴，

∴的取值范围为.

21．设为坐标原点，椭圆与，轴的正半轴分别交于，两点，且的面积为，点，（，均不与重合）是椭圆上两个动点，且当时，.

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线和的斜率之积为，试探究：直线是否过定点；若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.

【答案】(1)

(2)过定点，

【分析】(1)根据三角形面积公式和题意可得、，联立方程组，解方程组即可；

(2)由(1)知直线的斜率存在，设直线的方程为，联立椭圆方程并消去y，利用韦达定理表示出，结合两点坐标表示直线斜率进而得出关于m的方程，解方程即可.

【详解】(1)由题意得，，则①，

∵，∴在椭圆上，代入可得②，

联立①②，解得，，∴椭圆的方程为.

(2)由（1）知，，若直线的斜率不存在，设，，

此时，

与题设矛盾，故直线的斜率必存在.

设直线的方程为，联立，

得，，

设，

∴，，（）

∴

，

将（）式代入上式，整理得，

解得或，当时，直线过定点，不符题意.

所以直线过定点.

22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数），曲线，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线与曲线在轴上方交于点，与曲线交于点（异于原点）.

(1)求曲线，的极坐标方程；

(2)当时，求的值.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）先消去参数得到一般方程，再利用将直角坐标系下的方程转化成极坐标系下的方程即可；

（2）根据极径的几何意义利用求解即可.

【详解】(1)曲线的参数方程为（其中为参数）， 转换为普通方程为，

由，，得曲线的极坐标方程为，

整理得.

同理，得曲线的极坐标方程为，即.

(2)联立，得，

∴，

联立，得，

∴.

23．已知函数.

(1)求不等式的解集；

(2)设，且，求证：.

【答案】(1){或}；

(2)证明见解析.

【分析】(1)分类讨论去绝对值即可求解；

(2)根据绝对值得几何意义确定f(x)的最小值，用基本不等式求的最大值，证明左边的最大值小于右边的最小值即可.

【详解】(1)由题意得，，

当时，不等式化为，解得，∴；

当时，不等式化为，无解；

当时，不等式化为，解得，∴，

则不等式的解集为或.

(2)由(1)知，当时，取得最小值，且，即.

∵，

当且仅当时等号成立，∴，

∴，即.