四川省绵阳南山中学2020-2021学年高一上学期期中考试数学试题

2020年11月

绵阳南山中学2020年秋季高2020级半期考试

数 学 试 题

命题人：刘群建    审题人：刘守卫

第Ⅰ卷

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.设全集，集合，，则

A.                     B.     

 C.                       D.

2.下列四组函数中，表示同一函数的是                           

A.         B.

 C.    D.

3.某研究小组在一项实验中获得一组关于y，t之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y与t之间关系的是

A． B．    C.  D.

4.下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是                

A.                       B.

C.                  D.

5.函数的定义域为                  

A.                         B.   

C.                   D.

6.函数的图象大致为

7.若，则的值为                     

A.6                             B.3   

C.                            D.

8.函数的零点一定位于区间

A.（1,2）                      B.（3,4）

C.（2,3）                      D.（4,5）

9.设，则，，的大小关系是        

A. ＜＜          B. ＜＜

C. ＜＜          D. ＜＜

10.已知函数满足时恒有成立，那么实数的取值范围是

A.                 B.  

C.                 D.

11.已知是偶函数，它在上是减函数，若，则的取值范围是

A.                 B. 

C.          D.

12.已知，则函数的最大值为

A. 22                             B. 13          

C. 6                  D. 3

第Ⅱ卷

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上)

13.计算：        

14.幂函数的图象不经过坐标原点,则实数的值为   

15.已知集合，集合，则  （用区间表达）

16.给出下列命题：

①函数与互为反函数，其图象关于直线对称；

②已知函数，则；

③当且时，函数的图像必过定点（2，－2）；

④用二分法求函数在区间(2，3)内的零点近似值，至少经过3次二分后精确度达到0.1；

⑤函数的零点有2个。

其中所有正确命题的序号是                      

三、解答题(共6个小题。满分为70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分为10分)已知集合,

(Ⅰ)求

(Ⅱ)若，且，求实数的取值范围。

18.(本小题满分为12分)已知是定义在R上的奇函数，且当时，.

(Ⅰ)求函数在R上的解析式；

(Ⅱ)作出函数的草图（不用列表），并指出它的单调递减区间；

（Ⅲ）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.

19.(本小题满分为12分)已知函数.其中

(Ⅰ)求函数的定义域;

(Ⅱ)判断函数的奇偶性,并给予证明；

（Ⅲ）利用复合函数的单调性，指出函数的单调性（不必证明）。

20.(本小题满分为12分)

已知某零件在20周内销售价格（元）与时间（周）的函数关系近似如图所示（图象由两条线段组成），且周销售量近似满足函数（件）。

(Ⅰ)根据图象求该零件在20周内周销售价格（元）与

时间（周）的函数关系式；

(Ⅱ）试问这20周内哪周的周销售额最大？并求出最大值.

（注：周销售额=周销售价格周销售量）

21.(本小题满分为12分)已知函数

(Ⅰ)判断函数在定义域上的单调性，并利用定义加以证明；

(Ⅱ）若对于任意,不等式恒成立，求实数的取值范围。

22. (本小题满分为12分)

已知函数与，其中是偶函数。

(Ⅰ)求实数的值；

(Ⅱ)求函数的定义域；

（Ⅲ）若函数只有一个零点，求实数的取值范围。

绵阳南山中学2020年秋季高2020级半期考试

数学试题参考答案

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

12.【解析】由定义域为，可得的定义域为，

又

∵，∴    ∴当时，有最大值13. 故选B

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)

13. 7      14. 2     15.    16.①③

三、解答题(共6个小题。17题10分，其余每小题12分。满分为70分。)

17.解：(Ⅰ)由题有，   …………2分

又

∴   （也可写成）       ………5分

(Ⅱ)∵，且，

   ∴①当时，有，∴此时        …………7分

    ②当时，由题有，解得 …………9分

综上可知，                                 …………10分

18.解：(Ⅰ)∵是定义在R上的奇函数， ∴             …… 1分

又当时，   ……4分

又满足              ……5分

(Ⅱ)作出函数的草图如右：             ……7分

由图可知，它的单调递减区间有……9分

（Ⅲ）在区间上单调递增    ，解得：

的取值范围为：                 ……12分

19. 解：(Ⅰ)要使原式有意义，需，即，

∴函数的定义域为。                    ……3分

(Ⅱ)∵，定义域关于原点对称

∴

∴函数是奇函数                                       ……8分

（Ⅲ）∵

易知是上的增函数

又，∴是上的减函数                   ……12分

20.解：(Ⅰ)根据图象，销售价格（元）与时间（周）的函数关系为：

，；                ……6分
(Ⅱ)设20周内周销售额函数为，则

，          ……7分

若，时，，∴当时，；  …9分
若，时，，

∴当时，，                                     ……11分
因此，这种产品在第5周的周销售额最大，最大周销售金额是9800元．      ……12分

21.解：(Ⅰ)∵，其定义域为R

∴是R上的增函数                                          ……2分

证明如下：任取且，                                  ……3分

则                  ……5分

∵，∴,,,                      ……6分

∴,即                            ……7分  

故是R上的增函数                                            ……8分

(Ⅱ）由题不等式恒成立

对任意恒成立

，

而的最小值为（时取得）

故                                                           ……12分

（注：也可以对任意恒成立对任意恒成立

，∴，故）

22.解：(Ⅰ)∵是偶函数，∴，

∴，

∴    ∴，

即对一切恒成立，

∴                                          ……3分

(Ⅱ)要使函数有意义，需

当时，，解得

当时，，解得

综上可知，当时，的定义域为

当时，的定义域为                 ……7分

（Ⅲ）∵只有一个零点

∴方程有且只有一个实根           ……8分

即方程有且只有一个实根

亦即方程有且只有一个实根

令（），则方程有且只有一个正根       ……9分

①当时，，不合题意；

②当时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根.

由有或

若，则不合题意，舍去；

若，则满足条件

若方程有两根异号，则，∴

综上所述，实数的取值范围是                      ……12分