高考数学(理数)一轮复习练习题：8.4《椭　圆》（教师版）

www.ks5u.com第4节　椭　圆

【选题明细表】

基础巩固(时间:30分钟)

1.已知椭圆+=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m等于(　B　)

(A)2 (B)3 (C)4 (D)9

解析:4=(m>0)⇒m=3,故选B.

2.已知椭圆的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上一点,且|F1F2|是|PF1|,|PF2|的等差中项,则椭圆的方程是(　C　)

(A)+=1 (B)+=1    (C)+=1 (D)+=1

解析:因为F1(-1,0),F2(1,0),所以|F1F2|=2,

因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,即|PF1|+|PF2|=4,

所以点P在以F1,F2为焦点的椭圆上,

因为2a=4,a=2,c=1,所以b2=3.所以椭圆的方程是+=1.故选C.

3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(,0),直线y=x与椭圆的一个交点的横坐标为2,则椭圆方程为(　C　)

(A)+y2=1 (B)x2+=1       (C)+=1 (D)+=1

解析:依题意,设椭圆方程为+=1(a>b>0),则有由此解得a2=20,b2=5,因此所求的椭圆方程是+=1,选C.

4.已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,若PF1⊥PF2,

tan∠PF2F1=2,则椭圆的离心率e等于(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:因为点P是以F1,F2为焦点的椭圆+=1(a>b>0)上一点,PF1⊥PF2,

tan∠PF2F1=2,所以=2,设|PF2|=x,则|PF1|=2x,由椭圆定义知x+2x=2a,

所以x=,所以|PF2|=,则|PF1|=,由勾股定理知|PF2|2+|PF1|2=|F1F2|2,

所以解得c=a,所以e==,选A.

5.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(　B　)

(A) (B) (C) (D)

解析:由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.

联立椭圆方程解得交点为(0,-2),(,),

所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×=,故选B.

6.若椭圆的方程为+=1,且此椭圆的焦距为4,则实数a=　　　　. 

解析:由题可知c=2.                      ①

当焦点在x轴上时,10-a-(a-2)=22,解得a=4. ②

当焦点在y轴上时,a-2-(10-a)=22,解得a=8.故实数a=4或8.

答案:4或8

7.已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点P1(,1),P2(-,-),则椭圆的方程为　　　　. 

解析:设椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n).

因为椭圆经过点P1,P2,所以点P1,P2的坐标适合椭圆方程.

则得所以所求椭圆方程为+=1.答案:+=1

8.已知F1,F2是长轴长为4的椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点,P是椭圆上一点,则△PF1F2面积的最大值为　　　　. 

解析:F1,F2是长轴长为4的椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点,a=2,b2+c2=4,

P是椭圆上一点,△PF1F2面积最大时,P在椭圆的短轴的端点,此时三角形的面积最大,S=bc≤=2,当且仅当b=c=时,三角形的面积最大.

答案:2

能力提升(时间:15分钟)

9.已知两定点A(-1,0)和B(1,0),动点P(x,y)在直线l:y=x+3上移动,椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为(　A　)

(A) (B) (C) (D)

解析:设点A(-1,0)关于直线l:y=x+3的对称点为A′(m,n),

则得所以A′(-3,2).

连接A′B,则|PA|+|PB|=|PA′|+|PB|≥|A′B|=2,所以2a≥2.

所以椭圆C的离心率的最大值为==.故选A.

10.直线x+4y+m=0交椭圆+y2=1于A,B,若AB中点的横坐标为1,则m等于(　A　)

(A)-2 (B)-1 (C)1 (D)2

解析:由题意,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则

+=1,+=1两式相减,=-·,

结合直线的斜率为-,AB中点横坐标为1,所以AB中点纵坐标为,

将点(1,)代入直线x+4y+m=0得m=-2.故选A.

11.过点M(1,1)作斜率为-的直线l与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为　　　　. 

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2,kAB==-,

+=1,   ①+=1,    ②①-②整理,得=-·,

即=,所以离心率e===.

答案:

12.设椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为,

|AB|=.

(1)求椭圆的方程;

(2)设直线l:y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点,l与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,求k

的值.

解:(1)设椭圆的焦距为2c,由已知有=,

又由a2=b2+c2,可得2a=3b. 又|AB|==,从而a=3,b=2.

所以,椭圆的方程为+=1.

(2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为(x2,y2) ,

由题意知,x2>x1>0,点Q的坐标为(-x1,-y1).

由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍,可得|PM|=2|PQ|,

从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即x2=5x1.易知直线AB的方程为2x+3y=6,

由方程组消去y,可得x2=.

由方程组消去y,可得x1=.

由x2=5x1,可得=5(3k+2),

两边平方,整理得18k2+25k+8=0,解得k=-或k=-.

当k=-时,x2=-9<0,不合题意,舍去;当k=-时,x2=12,x1=,符合题意.

所以k的值为-.

13.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为(,0),且经过点(-1,-),点M是y轴上的一点,过点M的直线l与椭圆C交于A,B两点.

(1)求椭圆C的方程;

(2)若=2,且直线l与圆O:x2+y2=相切于点N,求|MN|的长.

解:(1)由题意知,即(a2-4)(4a2-3)=0,

因为a2=3+b2>3,解得a2=4,b2=1,故椭圆C的方程为+y2=1.

(2)显然直线l的斜率存在,设M(0,m),直线l:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),

直线l与圆O:x2+y2=相切,

所以=,即m2=(k2+1),                          ①

由得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0,

由韦达定理,得x1+x2=-,x1x2=,由=2,有x1=-2x2,

解得x1=-,x2=,所以-=,

化简得-=m2-1,          ②

把②代入①可得48k4+16k2-7=0,解得k2=,m2=,

在Rt△OMN中,可得|MN|==.

故|MN|的长为.