数学八年级下册19.3 课题学习 选择方案教学设计

“一次函数图象与坐标轴围成的图形面积”教学设计

教学设计说明

教材分析：一次函数是八年级下册第十九章的内容，本次授课是在学习新知识之后进行的系统复习。一次函数是中学数学中的一种最简单、最基本的函数，是反映现实世界的数量关系和变化规律的常见数学模型之一，函数是初中数学中的一个重点，一次函数在中考中占有重要的地位，主要考察一次函数关系式的确定、图像和性质的分析以及实际应用等。将一次函数的图象与面积综合在一起的问题,是考查学生综合素质和能力的热点题型, 已成为中考命题的焦点，它充分体现了数学解题中的数形结合思想和整体转化思想，分类讨论思想和方程思想。此部分内容是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

    教材中一次函数涉及到面积问题的练习很少，无论是例题还是习题都没有归类，不利于学生系统地掌握解决问题的方法，我设计时把它分为一次函数图象及性质、求一次函数解析式的常见类型，一次函数相关的面积问题3课时，本节是第3课时。

学情分析：对八年级学生来说，在学习了一次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的性质，能用简单的待定系数法求函数解析式，会求简单图形的面积，但是近年来坐标系下不规则三角形(四边形)面积一类问题频频出现，成为中考命题的高频热点.这类问题涉及知识面广，往往与相似、函数、方程等知识融为一体，考查学生在探索图形变化过程中的变与不变、化归与转化、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。解决这类问题的关键是要把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，灵活地将待求图形的面积进行分割，即选择一条恰当的直线，将三角形(四边形)分割成若干个便于计算面积的三角形，学生若对这类问题的实质把握不清，常常感到束手无策，本节课以近几年中考题为例，归纳其类型与解法，目的是进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

教具准备：一体机、联接一体机的手机或平板电脑、学生导学案、课件

导学案使用原则说明：先学后教，当堂训练；学生为主体，教师为主导.

教学目标：

<一>知识与技能

通过本节学习，巩固一次函数的图象与性质，能利用解析式求组合图形的面积，能利用面积求一次函数解析式或点坐标。

<二>过程与方法

   在导学案的引导下，通过对已知图形面积求值及解析式问题的探究，使学生理解一次函数图象特征与解析式的联系规律，体会分类思想、数形结合思想，化归思想和方程思想.

<三>情感、态度与价值观

培养学生主动探究，合作交流的意识，激发学生学习数学的热情，体验学数学的乐趣.

教学重点

  根据一次函数解析式求三角形或四边形的面积，会根据面积求一次函数解析式或点坐标。

教学难点

   不规则图形面积的计算，根据面积求点坐标

教学过程：

一、温故知新（课前作业）评讲

1、一次函数y=2x-6的图象与x轴的交点坐标为           ；与y轴的交点坐标为          ；

  一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为            ；与y轴的交点坐标为           .

2、直线y=2x-4与直线y=-x+5的交点坐标为             .

3、已知一次函数的图象与x轴、y轴交于点（1，0）、（0，-2），则这个函数的解析式为____________.

4、如图，已知钝角三角形ABC，请用三角板画出AB边上的高CD.

师生活动：同学们，上节课我们学习了一次函数的相关知识，今天我们来探究一次函数图象与坐标轴围成的面积问题。在课前，你们已完成“温故知新”的练习，老师抽检了一部分，其他的由小组成员互改，现在投影一位学生的做题内容，我们再一起批改，师生指出不足的地方。

设计意图：通过习题回顾本节课所用到的知识点，体会一次函数、坐标、几何图形之间的相互转化，为后面的问题探究，做好铺垫.

二、目标导学

探究一、根据函数解析式求面积

例1：已知一次函数的图象y=2x-4分别与x轴、y轴分别交于点A、点B，y=-x+5的图象分别与x轴、y轴分别交于点E、点D,直线AB与直线DE相交于点C.

（1）求△DOE的面积.

解：由y=-x+5令x=0，则y=5，即点D坐标为（      ,      ）

       令y=0，则x=5,即点E坐标为（      ,      ）

∴OD=       ，OE=         

（2）求△ACE的面积.

思考：①求三角形的面积需要知道一组对应的底和高，选择哪条边为底计算较为简单？

      ②哪些点的坐标必须求？有什么作用？

解：

师生活动：

1.学生自主完成例1（1）的填空;教师巡回指导;投影学生做题内容.

2.由一位学生充当小老师角色，组织其他同学比对答案，讲解注意事项，教师在旁边做引导。

3.过渡：我们已经会求一条直线与坐标轴所围成的三角形面积，那么两直线与坐标轴所围成的三角形的面积应该怎样来求呢？

4.学生们讨论以上导学案问题（2）中“思考”的两个问题，教师引导学生怎样寻找思路的切入点.当全班学生基本知道解题思路后，师生共同完成（2）题的解题过程.

设计意图：通过例1的学习，让学生在做题的过程中感悟求两直线与坐标轴所围成的三角形面积的方法,同时又可渗透数形结合思想，培养学生交流合作的意识.教师通过书写例1（2）解题过程，让学生学习语言表达，为后面变式题做准备。

变式训练1：条件如例1，求△BDC的面积.（当堂检测）

解：

【小结归纳1】 回顾，在上题中，求三角形的面积时，怎样选底，其相应高的长度又是如何求出的？

师生活动：

1.学生们先模仿例1的解题思路和过程，完成变式训练1

2.教师巡回指导，并在各学习小组中抽查一位学生代表A进行批改和指导，然后再由这位学生代表A批改本小组成员B的解题过程，完成更改任务后，A再改C的，B改D的，互查解题过程，讲解解题思路及需要注意的问题;

3.各学习小组组长，汇报小组同学的解题情况以及存在的不足

4.师生进行小结.

设计意图：

1.检测学生对例1题型的掌握情况

2.小组学生根据问题进行交流，老师指导学生，学生又教学生，增大学生参与课堂的广度和深度.

3.让学生有更多的思考空间和合作交流时间.

变式训练2：条件如例1，求四边形OACD的面积.

思考：

①四边形OACD的面积不好直接求，如何转化为你熟悉的，你是怎样想到的？看看谁想到的方法最多最好（请用直观的方法做标记，并在图的周围做关键的思路分析）

②哪些点的坐标必须求？它的作用是？

把你认为最好的解法过程写在下面（语言表达检测作业，课后再写解题过程）

解：

【小结归纳2】所求的图形是不规则图形（如不规则的四边形）的面积，怎么办？

师生活动：

1.学生们根据变式2的问题先独立思考，结合导学案中的“思考”去寻找解题思路

2. 小组成员交流解题思路
3. 一题多解，由部分学生充当小老师分享解题思路，学生们之间做补充，教师在旁引导

4.师生共同归纳解题思路

5.课后把最好解法写下，并交给教师批改，教师再对部分完成不好的学生，进行个性化辅导

设计意图：

1.通过一题多变，突出本节课的学习重点，检测学生是否掌握根据函数解析式求面积的方法

2.通过导学案中“思考”的问题设计，引导学生自习，并找到解题方法和经验

3.通过一题多解，激发学生思维，让课堂更活跃，重视学生为主体的教学理念

4.通过一题多变的设计，节省学生审题时间，以此提高课堂效率

变式训练3：条件如例1，连结BE.求△BCE的面积.（语言表达检测作业，请先分析思路，课后再写过程）

解：

当堂检测：1、如图1，一次函数y=2x-6的图象与两坐标轴围成的△AOB面积是        .

          2、如图2，一次函数y=-2x-6的图象与两坐标轴围成的△AOB面积是        .

          3、一次函数y=kx-6的图象与两坐标轴围成的三角形面积是9,则它的解析式是       

师生活动：

1.师问：△BCE的三条边都不在坐标轴上，怎么处理？

2.由学生充当小老师分享如何寻找解题思路，教师一边引导

3.师生归纳解题思路，解题过程课后写，然后交由给教师批改，教师再对个别完成不好的学生，进行个性化辅导.

设计意图：

1.通过一题多变，检测学生是否掌握根据函数解析式求面积的方法

2.重视学生为主体的教学理念

3.当堂检测中题1、2可检测前面学习目标的掌握情况，也为题3两种情况的答案做好铺垫，也为突破本节题的难点做好铺垫.

4.一题多变，题3为“探究二”的学习做了过渡作用，且节省学生审题时间，提高课堂效率.

探究二、根据面积求函数解析式或坐标（学法指导及学习材料）

例2： 一次函数y=kx-6的图象与两坐标轴围成的三角形面积是9，求该一次函数的解析式.

分析：直线与坐标轴的交点坐标是解题关键；k的取值范围不确定，分k>0和k<0两种情况讨论.

解法1（数形结合，方程思想）

解： 如图，一次函数y=kx-6的图象与y轴交于点B，与x轴交于点A1或A2，

    令x=0，则y=-6,即点B（0，-6），OB=6,

解法2（待定系数法，方程思想）

解：

∵一次函数图象与两坐标轴围成的三角形面积为9

∴

【小结归纳3】在例2中，哪些点的坐标起核心作用？你觉得两种解法的哪些步骤对你有帮助，有启发？请做好标记.

师生活动：

1. 师问：上面“当堂检测”中的题3，我们刚才已经一起分析了思路，解题过程应如何表达？
2. 学生们自学导学案的两种解法的表达形式，教师巡回指导

3.师生归纳解题思路和语言表达注意事项，引导学生做好关键步骤的“标记”

设计意图：

1.通过一题多解，活跃学生们的思维，例2以阅读材料的形式出现，培养学生的自学能力，也为突破本节课的难点提供了帮助.

2.通过导学案的设计，留给学生们更多的思考空间和时间，也留给学生规范的解题过程，方便课后进行查阅和学习.       

3.解题过程中渗透“数形结合”、“方程思想”、“待定系数法”等数学思想，让学生能更好地利用数学思想来解决数学问题。

当堂检测：

1、若一次函数y=2x+b的图象与坐标轴围成的三角形的面积是9，则b=               ．

2、如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，-2）．

（1）直线AB的解析式是                 ．

（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．

解：

师生活动：学生们独立完成，教师巡查

设计意图：检测学生对新知识掌握的情况，巩固新知识.

四、自我总结

本节课，哪题哪些点的作用让你印象深刻？学到哪些解题技巧？还有疑惑吗？请做好标记

设计意图：让学生在积极、和谐的氛围中小结本节课所学的知识及自己的感悟，教师作适当的点拨，以培养学生的表达能力、概括能力和做“标记”的能力。

五、课后作业：

【作业】1.书写导学案变式训练2、3的解题过程；2.根据你对例2的学习，自己选择喜爱的方法，独立书写一遍解题过程.

【自主作业】已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．（1）求正比例函数的解析式；（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

设计意图：作业设计分层，适合不同层次的学生，体现分层教学理念.

附：板书设计、课后反思

板书设计：

课题：一次函数图象与坐标轴围成的图形面积

例1：解题过程略

方法：

1、要求一次函数图象与坐标轴围成的三角形面积：

   （1）一般选择边在坐标轴上的为底

   （2）需求出各顶点的坐标，

   （3）再确定三角形中有关的长度

2、要求不规则的四边形的面积，常用分割法或补全法

3、根据面积求函数解析式或坐标，要考虑是否有多种情况.

课后反思

  在本节课中，本人能根据新课程理念积极定位自己的角色，在“教”中充分体现了教师的引导者和组织者的作用。课堂上以导学案为载体，在引导、自学、归纳、探究以及数学思想方法等方面都进行了积极的构思设计，组织有效的小组学习，学生能够在教师指导下进行类比自学，大胆探索。教学实践与教学设计基本符合，能基本完成教学任务。

 教学设计过于理想化。特别是例2，在渗透数形结合思想和分类思想等学习方法，培养学生良好的思维品质的落实上不太到位，学生对数学思想方法的理解相对缺乏，学生理解能力没有教师预想中的那么好，练习量相对较大，仍有少部分学生理解比较吃力，导致时间把握不准，最后的小结环节时间不够，课后还得加强对部分学生的个性化辅导。

通过本节课，我更加感受到课堂以学生为主体的重要性，在本节课中，导学案采用一题多变，一题多解的形式推进，学生在讲解解题思路的切入方法时，能比较直观地讲解思路，同学们很快接受，这让我感到惊讶和惭愧，学生们的想像力和创新力不可估量.在今后的课堂里，我将继续改善本节课存在的问题，让数学课堂更加轻松和高效.