初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理单元测试随堂练习题

这是一份初中数学人教版八年级下册17.1 勾股定理单元测试随堂练习题，共19页。试卷主要包含了选择题．，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
第17章 勾股定理 单元测试（二）
一、选择题．
1．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，则AB的长是（　　）
A．1 B．3 C．2 D．5
【分析】根据勾股定理即可得到结论．
【解析】在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝1，AC＝2，
∴AB=AC2−BC2=22−12=3，
故选：B．
2．下列几组数中，为勾股数的是（　　）
A．4，5，6 B．12，16，18
C．7，24，25 D．0.8，1.5，1.7
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解析】A、42+52≠62，不是勾股数；
B、122+162≠182，不是勾股数；
C、72+242＝252，是勾股数；
D、0.82+1.52＝1.72，但不是正整数，不是勾股数．
故选：C．
3．一个三角形的三边长分别为a2+b2，a2﹣b2，2ab，则这个三角形的形状为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．形状不能确定
【分析】根据勾股定理的逆定理可以推知该三角形是直角三角形．
【解析】∵该三角形的三边长分别为a2+b2，a2﹣b2，2ab，且a2+b2＞2ab，a2+b2＞a2﹣b2，
∴（a2﹣b2）2+（2ab）2＝a4﹣2a2b2+b4+4a2b2＝（a2+b2）2，
∴该三角形是直角三角形．
故选：B．
4．已知，△ABC的三边分别为a，b，c，其对角分别为∠A，∠B，∠C．下列条件能判定△ABC一定不是直角三角形的是（　　）
A．a：b：c=5：12：13 B．b2﹣a2＝c2
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D．∠B＝∠A+∠C
【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
【解析】A．∵a：b：c=5：12：13，
∴a2+b2≠c2，
∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意；
B．∵b2﹣a2＝c2，
∴a2+c2＝b2，
∴∠ABC＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C．∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C=52+3+5×180°＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D．∵∠B＝∠A+∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，即△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
5．如图所示的是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分的面积是（　　）

A．50 B．16 C．25 D．41
【分析】根据勾股定理求出AB2，再根据勾股定理计算即可．
【解析】由勾股定理得，AB2＝132﹣122＝25，
∴CD2+BD2＝BC2＝25，
∴阴影部分的面积＝25+25＝50，
故选：A．

6．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，树干顶部在离根部12米处，则这棵大树的高度为（　　）

A．13 B．17 C．18 D．25
【分析】根据勾股定理求出BC的长，将AB和BC相加即可得到大树的实际高度．
【解析】由勾股定理得，BC=AB2+AC2=122+52=13（m）．
则大树折断前的高度为：13+5＝18（m）．
故选：C．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发，沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，当△ABP为等腰三角形时，t的值不可能为（　　）

A．5 B．8 C．254 D．258
【分析】根据勾股定理求出BC，分AB＝BP、AB＝AP、BP＝AP三种情况，根据勾股定理、等腰三角形的概念解答即可．
【解析】在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，
∴BC＝4cm，
如图1，当AB＝BP＝5cm时，t＝5；
如图2，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，
∴t＝8；
如图3，当BP＝AP时，设AP＝BP＝xcm，
则CP＝（4﹣x）cm，AC＝3cm．
在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，
∴x2＝32+（4﹣x）2，
解得，x=258，
∴t=258，
综上所述，当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t=258，
当t=254时，△ABP不是等腰三角形，
故选：C．



8．如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（　　）

A．1 B．1.4 C．2 D．3
【分析】根据勾股定理求出OB，进而得到OA的长，根据数轴的概念解答即可．
【解析】由勾股定理得，OB=12+12=2，
则OA＝OB=2，
∴点A表示的数是2，
故选：C．

9．下列结论中，正确的有（　　）
①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形；
②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形；
④若三角形的三边长之比为1：2：3，则该三角形是直角三角形．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【分析】根据勾股定理的逆定理、勾股定理和三角形内角和逐个判断即可．
【解析】①△ABC的三边长分别为a，b，c，若b2+c2＝a2，则△ABC是直角三角形，选项说法正确；
②在Rt△ABC中，已知两边长分别为6和8，则第三边的长为10或27，选项说法错误；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：5：6，则△ABC是直角三角形，选项说法正确；
④若三角形的三边长之比为1：2：3，则该三角形是直角三角形，选项说法正确；
故选：A．
10．如图，“赵爽弦图”是用四个相同的直角三角形与一个小正方形无缝隙地铺成一个大正方形，已知大正方形面积为25，（x+y）2＝49，用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），下列选项中正确的是（　　）

A．小正方形面积为4 B．x2+y2＝5
C．x2﹣y2＝7 D．xy＝24
【分析】根据勾股定理解答即可．
【解析】根据题意可得：x2+y2＝25，故B错误，
∵（x+y）2＝49，
∴2xy＝24，故D错误，
∴（x﹣y）2＝1，故A错误，
∴x2﹣y2＝7，故C正确；
故选：C．
二、填空题．
11．直角坐标平面内的两点P（﹣4，﹣5）、Q（2，3）的距离为　10　．
【分析】根据两点间的距离公式得到PQ即可．
【解析】根据题意得PQ=(−4−2)2+(−5−3)2=10，
故答案为：10．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．若BC＝28，则BD的长为　14　．

【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质推知点D是线段BD的中点．
【解析】在△ABC中，∵AB＝AC，AD⊥BC于点D，
∴AD是边BC上的中线，
∴点D是线段BD的中点．
又∵BC＝28，
∴BD=12BC＝14．
故答案是：14．

13．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，则正方形B的面积为　8　．

【分析】根据勾股定理的几何意义：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E解得即可．
【解析】由题意：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形D﹣S正方形C＝S正方形E，
∴S正方形A+S正方形B＝S正方形D﹣S正方形C
∵正方形A、C、D的面积依次为4、6、18，
∴S正方形B+4＝18﹣6，
∴S正方形B＝8．
故答案为：8．

14．等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝30°，以AC为边作等边△ACD，则点B到CD的距离为　23−2或4−23　．
【分析】分两种情况讨论，利用等边三角形的性质和勾股定理可求解．
【解析】当点D在AC的左侧时，设AB与CD交于点E，

∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝4，∠DAC＝60°，
又∵∠BAC＝30°，
∴∠DAE＝∠BAC＝30°，
∴AB⊥CD，
∵∠BAC＝30°，
∴CE=12AC＝2，AE=3EC＝23，
∴BE＝AB﹣AE＝4﹣23；
当点D在AC的右侧时，过点B作BE⊥CD，交DC的延长线于点E，连接BD，

∵△ACD是等边三角形，
∴AC＝AD＝CD＝AB＝4，∠DAC＝60°，
∴∠BAD＝90°，
∴BD=AB2+AD2=16+16=42，
∵AB＝AC，∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝75°，
∴∠BCE＝180°﹣∠ACD﹣∠ACB＝45°，
∵BE⊥CE，
∴∠BCE＝∠CBE＝45°，
∴BE＝CE，
∵BD2＝BE2+DE2，
∴32＝BE2+（CE+4）2，
∴BE＝23−2，
综上所述：点B到CD的距离为23−2或4﹣23．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4．以AB为边在点C同侧作正方形ABDE，则图中阴影部分的面积为　19　．

【分析】首先利用勾股定理求得AB边的长度，然后由三角形的面积公式和正方形的面积公式解答．
【解析】如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，由勾股定理知，AB=AC2+BC2=42+32=5．
故S阴影＝S正方形ABDE﹣S△ABC＝52−12×3×4=25﹣6＝19．
故答案是：19．
16．如图，有一四边形空地ABCD，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13，则四边形ABCD的面积为　36　．

【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD，进而判断出△BCD是直角三角形，最后用面积的和即可求出四边形ABCD的面积．
【解析】如图，连接BD，
∵在Rt△ABD中，AB⊥AD，AB＝3，AD＝4，
根据勾股定理得，BD＝5，
在△BCD中，BC＝12，CD＝13，BD＝5，
∴BC2+BD2＝122+52＝132＝CD2，
∴△BCD为直角三角形，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD
=12AB•AD+12BC•BD
=12×3×4+12×12×5
＝36．
故答案为：36．

17．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2，BC⊥AB于点B，且BC＝1，连接AC，在AC上截取CD＝BC，以A为圆心，AD的长为半径画弧，交线段AB于点E，则点E表示的实数是　5−1　．

【分析】根据垂直的定义得到∠ABC＝90°，根据勾股定理得到AC=AB2+BC2=5，求得AD＝AC﹣CD=5−1，根据圆的性质得到AE＝AD，即可得到结论．
【解析】∵BC⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，
∴AC=AB2+BC2=5，
∵CD＝BC，
∴AD＝AC﹣CD=5−1，
∵AE＝AD，
∴AE=5−1，
∴点E表示的实数是5−1．
故答案为：5−1．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，P为直线AB上一动点，连PC．
（1）线段PC的最小值是　4.8　．
（2）当PC＝5时，AP长是　5或2.2　．

【分析】（1）当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可；
（2）过C作CQ⊥BC于Q，同（1）得CQ＝4.8，由勾股定理求出AQ＝3.6，PQ＝1.4，当P在线段BQ上时，AP＝AQ+PQ＝5；当P在线段AQ上时，AP＝AQ﹣PQ＝2.2．
【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB=AC2+BC2=62+82=10，
由垂线段最短得：当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时，△ABC的面积=12•AB•PC=12•AC•BC，
∴AB•PC＝AC•BC，
∴PC=AC⋅BCAB=6×810=4.8，
故答案为：4.8；
（2）过C作CQ⊥BC于Q，如图所示：
同（1）得：CQ＝4.8，
由勾股定理得：AQ=AC2−CQ2=62−4．82=3.6，PQ=PC2−CQ2=52−4．82=1.4，
当P在线段BQ上时，AP＝AQ+PQ＝3.6+1.4＝5；
当P在线段AQ上时，AP＝AQ﹣PQ＝3.6﹣1.4＝2.2；
综上所述，AP的长为5或2.2，
故答案为：5或2.2．

三、解答题．
19．在边长为1的正方形网格中标有A、B、C、D、E、F六个格点，顶点在格点上的三角形叫做格点三角形，如格点三角形△ABC．
（1）△ABC的面积为　2　；
（2）△ABC的形状为　直角三角形　；
（3）根据图中标示的各点（A、B、C、D、E、F）位置，与△ABC全等的格点三角形是　△DBC，△DAB，△DAC　．

【分析】（1）根据长方形和三角形的面积公式求出即可；
（2）根据勾股定理求出AC、BC、AB的长，再根据勾股定理的逆定理判断即可；
（3）根据全等三角形的判定定理得出即可．
【解析】（1）△ABC的面积为：2×2−12×2×2−12×1×1−12×1×3=2，
故答案为：2；
（2）由勾股定理得：AC=22+22=22，BC=12+12=2，AB=12+32=10，
所以AC2+BC2＝AB2，
即∠ACB＝90°，
即△ABC是直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（3）与△ABC全等的格点三角形是△DBC，△DAB，△DAC，
故答案为：△DBC，△DAB，△DAC．
20．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°．
（1）△ACD是直角三角形吗？为什么？
（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米80元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

【分析】（1）先在Rt△ABC中，利用勾股定理可求AC，在△ACD中，易求AC2+CD2＝AD2，再利用勾股定理的逆定理可知△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°；
（2）分别利用三角形的面积公式求出△ABC、△ACD的面积，两者相加即是四边形ABCD的面积，再乘以80，即可求总花费．
【解析】（1）如图，连接AC，
在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2+CB2＝AC2
∴AC＝5cm，
在△ACD中，AC＝5cmCD＝12m，DA＝13m，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°；
（2）∵S△ABC=12×3×4＝6，S△ACD=12×5×12＝30，
∴S四边形ABCD＝6+30＝36，
费用＝36×80＝2880（元）．
答：铺满这块空地共需花费2880元．

21．如图，已知△ABC和△BDE是等腰直角三角形，∠ABC＝∠DBE＝90°，点D在AC上．
（1）求证：△ABD≌△CBE；
（2）若DB＝1，求AD2+CD2的值．

【分析】（1）根据SAS证明△ABD≌△CBE（SAS）即可．
（2）证明∠DCE＝90°，求出DE，利用勾股定理计算即可．
【解析】（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∠A＝∠ACB＝45°，
同理可得：DB＝BE，∠DBE＝90°，∠BDE＝∠BED＝45°，
∴∠ABD＝∠CBE，
在△ABD与△CBE中，
AB＝BC，∠ABD＝∠CBE，DB＝BE，
∴△ABD≌△CBE（SAS）．
（2）∵△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=2BD=2，
∵△ABD≌△CBE，
∴∠A＝∠BCE＝45°，AD＝CE，
∴∠DCE＝∠ACB+∠BCE＝90°，
∴DE2＝DC2+CE2＝AD2+CD2，
∴AD2+CD2＝2．
22．古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形？请说明理由．
【分析】根据m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，然后即可得到a2+b2的值，c2的值，再根据勾股定理的逆定理即可判断以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是什么样的三角形，本题得以解决．
【解析】以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形，
理由：∵m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，
∴c＞a，
∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝（m2+1）2，
c2＝（m2+1）2，
∴a2+b2＝c2，
∴以a，b，c为长度的线段首尾顺次相接形成的是直角三角形．
23．（1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，所以4×12ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为　125　．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．

【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【解析】（1）梯形ABCD的面积为12（a+b）（a+b）=12a2+ab+12b2，
也利用表示为12ab+12c2+12ab，
∴12a2+ab+12b2=12ab+12c2+12ab，
即a2+b2＝c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，
∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为12×3×4=12×5×h，
∴h=125，
故答案为125；
（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，
∴边长为a﹣2b，
由此可画出的图形为：

24．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路l上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：2=1.41，3=1.73）．

【分析】解直角三角形得到AB＝OA﹣OB＝73米，求得此车的速度≈86千米/小时＞80千米/小时，于是得到结论．
【解析】此车超速，
理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，
∴△POB是等腰直角三角形，
∴OB＝OP＝100米，
∵∠APO＝60°，
∴OA=3OP＝1003≈173米，
∴AB＝OA﹣OB＝73米，
∴733≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，
∴此车超速．
25．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝1.5千米，CH＝1.2千米，HB＝0.9千米．
（1）试判断△CHB是否为直角三角形并说明理由；
（2）求新路CH比原路CA少多少千米？

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解析】（1）是，
理由是：在△CHB中，
∵CH2+BH2＝（1.2）2+（0.9）2＝2.25，
BC2＝2.25，
∴CH2+BH2＝BC2，
∴△CHB是直角三角形；
（2）设AC＝x千米，
在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣0.9，CH＝1.2，
由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2
∴x2＝（x﹣0.9）2+（1.2）2，
解这个方程，得x＝1.25，
1.25﹣1.2＝0.05（千米）
答：新路CH比原路CA少0.05千米．
26．阅读理解：
【问题情境】
教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？
【探索新知】
从面积的角度思考，不难发现：
大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积
从而得数学等式：　（a+b）2＝c2+4×12ab　；（用含字母a、b、c的式子表示）
化简证得勾股定理：a2+b2＝c2
【初步运用】
（1）如图1，若b＝2a，则小正方形面积：大正方形面积＝　5：9　；
（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a＝4，b＝6此时空白部分的面积为　28　；
【迁移运用】
如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．
知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y：斜边x＝定值k．

【分析】【探索新知】根据大正方形的面积＝小正方形的面积+4个直角三角形的面积，构建关系式即可解决问题．
【初步运用】（1）如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可．
（2）根据空白部分的面积＝小正方形的面积﹣2个直角三角形的面积计算即可．
【迁移运用】根据大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积，构建关系式即可．
【解析】[探索新知]由题意：大正方形的面积＝（a+b）2＝c2+4×12ab，
∴a2+2ab+b2＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2
【初步运用】（1）由题意：b＝2a，c=5a，
∴小正方形面积：大正方形面积＝5a2：9a2＝5：9，
故故答案为5：9．
（2）空白部分的面积为＝52﹣2×12×4×6＝28．
故答案为28．
[迁移运用]结论：a2+b2﹣ab＝c2．
理由：由题意：大正三角形面积＝三个全等三角形面积+小正三角形面积
可得：12（a+b）×k（a+b）＝3×12×b×ka+12×c×ck，
∴（a+b）2＝3ab+c2
∴a2+b2﹣ab＝c2．