2022届新教材北师大版平面向量单元测试含答案19
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2022届新教材北师大版 平面向量 单元测试
一、选择题
1、在△ABC中，=（2，3），=（1，k）,若△ABC为直角三角形，则k的值为 （ ）
A． － B． C． －或 D． －、或
2、在矩形中， ， ， ，点在边上，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3、已知向量，满足，在上的投影（正射影的数量）为-2，则的最小值为（ ）
A. B.10 C. D.8
4、设x，，向量，，且，则等于
A．0 B．1 C．2 D．8
5、已知向量，,且，则（ ）
A． B． C． D．
6、已知向量，若，则与夹角为（ ）
A. B. C. D.
7、在中，边上的中线的长为，若动点满足 （），则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
8、已知向量若a=，b=，则|a+b|（）的最小值为（ ）
（A） 2 （B） （C） （D）6
9、已知,,若，则（ ）
A． B． C． D．
10、如图，在等腰直角三角形中，设向量为边上靠近点的四等分点，过点作的垂线，点为垂线上任意一点，则（ ）
A． B． C． D．
11、已知四边形是平行四边形，点为边的中点，则
A． B．
C． D．
12、已知在平行四边形中，点E为的中点，设，，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13、已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________________．
14、如图在等腰三角形ABC中，，．若D是所在平面内一点，且，设，则的最大值为________．
15、已知，若的夹角为，则__________.
16、已知在边长为2的等边中，D是BC中点， ，则_______.
三、解答题
17、（本小题满分10分）已知，若，且，求实数t的值.
18、（本小题满分12分）如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，．设，，求的值．
19、（本小题满分12分）已知a，b不共线，＝2a＋kb，＝a＋3b，＝2a－b，若A，B，D三点共线，求实数k的值．
参考答案
1、答案D
解析根据直角情况分类讨论，根据向量垂直坐标表示解k的值.
详解
当A为直角时，=0，所以，
当B为直角时，=0，=0,所以，
当C为直角时，=0，=0,
所以，
综上，选D.
点睛
向量平行：，向量垂直：，向量加减：
2、答案C
解析
建立如图所示的坐标系，则， ，设， ，解得， ，则，故选C.
3、答案D
解析在上的投影（正射影的数量）为可知，可求出，求的最小值即可得出结果.
详解
因为在上的投影（正射影的数量）为，
所以，
即，而，
所以，
因为
所以，即，故选D.
点睛
本题主要考查了向量在向量上的正射影，向量的数量积，属于难题.
4、答案C
解析根据即可得出，而根据即可得出，从而得出．
详解
；
；
；
；
；
；
，．
故选：C．
点睛
考查向量垂直、平行时坐标的关系，向量坐标的数量积运算．
5、答案C
解析将转化为向量的坐标运算，得到结果.
详解
由，转化为，
根据向量数量积的坐标运算可得，解得
故选C项.
点睛
本题考查对向量之间的位置关系的转化，数量积的坐标运算，属于简单题.
6、答案A
详解：由，，
因为，,
所以方向相反，
设的夹角为，则与夹角为，
由可得，
，
所以与夹角为，故选A.
点睛：本题主要考查平行向量的性质，平面向量夹角余弦公式的应用，属于中档题. 本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
7、答案B
解析由已知条件可知三点共线，因为为中点，所以，所以=，设，则，所以，当时，取得最小值．
考点：1.三点共线的向量表示；2.向量数量积的运算．
8、答案B
解析
9、答案A
解析因为，所以，解得：．
考点：向量平行的坐标表示．
10、答案A
解析以点为原点建立直角坐标系，所以，不妨设取点，∴，故选．
考点：向量数量积
11、答案A
解析由平面向量的加法法则运算即可.
详解：如图，过E作 由向量加法的平行四边形法则可知
故选A.
点睛
本题考查平面向量的加法法则，属基础题.
12、答案A
解析利用平面向量的基本定理结合向量的加减法有，由,可得到答案.
详解：如图所示：
因为，
所以，
故选：A.
点睛
本题主要考查平面向量的基本定理以及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
13、答案(0，)或(，0)
解析由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设点B坐标为(x，y)，则AB―→＝(x－1，y－2)＝b.
由？①
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
∴λ＝或λ＝－，代入①式得
B点坐标为(0，)或(，0)．
14、答案．
解析建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，求得点D的轨迹方程，再利用三角函数的有界性，即可得答案；
详解：建立如图所示的平面直角坐标系，则，，．
由知，所以点D在以BC为直径的圆上．
以BC为直径的圆的方程为，
所以可设，则．
因为，，．
所以解得
所以，
其中，
所以的最大值为．
故答案为：．
点睛
本题考查平面向量基本定理的坐标运算、参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意辅助角公式和三角函数有界性的运用.
15、答案
解析
16、答案-1
解析
17、答案
详解：由，可得，
由，可得，解得.
点睛
本题主要考查了平面向量的坐标表示，以及向量的共线条件的应用，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
解析
18、答案
详解：解：因为是的中点，所以．
又因为，
所以．
因为，，三点共线，所以，即．
点睛
本题主要考查平面向量的应用，熟记平面向量基本定理，以及三点共线的充要条件即可，属于常考题型.
解析
19、答案∵＝＋＝－＋＝a－4b，
而a与b不共线，∴≠0.
又∵A，B，D三点共线，∴，共线．
故存在实数λ，使＝λ，即2a＋kb＝λa－4λb.
又∵a与b不共线，
∴由平面向量基本定理，得？k＝－8.
解析
