数学第8章 整式乘法和因式分解8.4 因式分解图片课件ppt

这是一份数学第8章 整式乘法和因式分解8.4 因式分解图片课件ppt，共25页。PPT课件主要包含了学习目标及重难点，课程导入，运用乘法公式计算，1x+3y2，解原式，2x-3y2，x2-52，x2-25，课程讲授，完全平方公式等内容，欢迎下载使用。
1.探索并运用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）2.能会综合运用平方差公式和完全平方公式对多项式进行因式分解．（难点）
x2+2·x·3y+(3y)2
=x2+6xy+9y2
x2-2·x·3y+(3y)2
=x2-6xy+9y2
(3)(x+5)(x-5)
思考：这几道题我们运用了学过的什么公式？
探索1：用平方差公式进行因式分解
因式分解的完全平方公式：
因式分解的平方差公式：
不难发现，乘法公式反过来使用，就可以进行因式分解, 利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解的方法叫做公式法.
思考：符合什么结构特征的多项式可以用公式法因式分解？
a2-b2=(a+b)(a-b)
思考：(1)式子的左边具有什么特征？
(2)它们的结果有什么特征呢？
左边是二项式，每项都是平方的形式，且两项的符号相反；
右边是两个数的和乘以这两个数的差.
两个数的平方差等于这两个数的和乘以这两个数的差.
同学们，你能用语言叙述这个公式吗？
(1) x2－81； (2) 36a2－25b2.
解：(1) x2－81＝x2－92＝(x＋9)(x－9).
(2) 36a2－25b2 ＝(6a)2－(5b)2＝(6a＋5b)(6a－5b).
把下列各式分解因式.
分解因式：(1)x2y－4y；(2)(a＋1)2－1；(3)x4－1； (4)(x＋y＋z)2－(x－y＋z)2.
分析：对于(1)可先提取公因式，再利用平方差公式分解因式；对于(2)将(a＋1)视为一个整体运用平方差公式分解因式；对于(3)分解因式要完全；对于(4)分别将(x＋y＋z)与(x－y＋z)视为整体，运用平方差公式进行分解因式．
解：(1)原式＝y(x2－22)＝y(x＋2)(x－2)．
(2)原式＝(a+1)2-12=(a＋1＋1)(a＋1－1)＝a(a＋2)．
(3)原式＝(x2)2-12=(x2＋1)(x2－12)＝(x2＋1)(x＋1)(x－1)．
(4)原式＝[(x＋y＋z)＋(x－y＋z)][(x＋y＋z)－(x－y＋z)] ＝(x＋y＋z＋x－y＋z)(x＋y＋z－x＋y－z) ＝2y(2x＋2z) ＝4y(x＋z)．
计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
=4(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n，
方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
(a±b)2 = a2±2ab+b2
a2±2ab+b2=(a±b)2
探索2：利用完全平方公式分解因式
两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
同学们，你能用语言叙述这两个公式吗？
(1) x2+14x+49
a² +2 a b +b² =(a+b)2
利用公式法进行因式分解时，多项式是三项的则考虑用完全平方公式;多项式是两项的则考虑用平方差公式.
(2) 9a2-30ab+25b2
a² - 2 a b + b² = (a - b)2
- 2•(3a)•5b
(3)原式＝(x2－2x)2＋2(x2－2x)×1＋12＝(x2－2x＋1)2＝[(x－1)2]2＝(x－1)4.
解：(1)原式＝－2xy(x2－2x＋1)＝－2xy(x－1)2.
(2)原式＝(a－b)2＋2(a－b)×3＋32＝(a－b＋3)2.
分解因式：(1) －2x3y＋4x2y－2xy；(2)(a－b)2－6(b－a)＋9；(3)(x2－2x)2＋2(x2－2x)＋1.
把下列完全平方公式分解因式：(1)1002－2×100×99+99²； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)²=1.
(2)原式＝(34＋16)2＝2500.
分解因式：(1)ab2-ac2; (2)3ax2＋24axy＋48ay2.
(2)3ax2＋24axy＋48ay2＝3a(x2＋8xy＋16y2)＝3a(x＋4y)2.
解：(1)ab2-ac2＝a(b2-c2)＝a(b＋c)(b-c).
分解因式的方法步骤：一提(公因式)、二套(公式)、三查(是否分解彻底)
1．下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(　　)A．－a2＋b2 B．－a2－b2 C．a2＋b2 D．y2＋x
2．多项式x2－kx＋9能用完全平方公式分解因式，则k的值为(　　)A．±3 B．3 C．±6 D．6
1.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（　　）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)
2. 利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到一个含字母a，b的关于因式分解的公式是__________________．
a2+2ab+b2=(a+b)2
分解因式：(1)1－25b2；
解：(1)1－25b2＝1－(5b)2＝(1＋5b)(1－5b)．
(2)(x＋y)2－(x－y)2＝(x＋y＋x－y)(x＋y－x＋y)＝4xy.
(2)(x＋y)2－(x－y)2；
(3)25(a＋b)2－9(a－b)2＝[5(a＋b)]2－[3(a－b)]2＝[5(a＋b)＋3(a－b)][5(a＋b)－3(a－b)]＝(8a＋2b)(2a＋8b)＝4(4a＋b)(a＋4b)．
(3)25(a＋b)2－9(a－b)2；
(4) y2+2y+1－x2
(4) y2+2y+1－x2=(y+1)² －x²=(y+1+x)(y+1－x).
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．