高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第10章概率 10.2（教师版）

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一、选择题

1．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则(　　)

A．P1＝P2＜P3  B．P1＜P2＜P3

C．P1＜P2＝P3  D．P3＝P2＜P1

答案　B

解析　先后抛掷两枚骰子点数之和共有36种可能，而点数之和为12,11,10的概率分别为P1＝，P2＝，P3＝.故选B.

2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　因为从四张卡片中任取出两张的情况为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种．其中两张卡片上数字和为偶数的情况为(1,3)，(2,4)，共2种，所以两张卡片上的数字之和为偶数的概率为.故选B.

3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　从1,2,3,4中任取2个不同的数有以下六种情况：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，满足取出的2个数之差的绝对值为2的(1,3)，(2,4)，故所求概率是＝.故选B.

4．某校食堂使用大小、手感完全一样的餐票，小明口袋里有一元餐票2张，两元餐票2张，五元餐票1张，若他从口袋中随机地摸出2张，则其面值之和不少于四元的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　C

解析　小明口袋里共有5张餐票，随机地摸出2张，基本事件总数n＝10，其面值之和不少于四元包含的基本事件数m＝5，故其面值之和不少于四元的概率为＝＝.故选C.

5．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3}，若|a－b|≤1，则称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　甲任想一数字有3种结果，乙猜数字有3种结果，基本条件总数为3×3＝9.

设“甲、乙心有灵犀”为事件A，则A的对立事件B为“|a－b|＞1”，即|a－b|＝2，包含2个基本事件，

∴P(B)＝.∴P(A)＝1－＝.故选D.

6．从2名男生和2名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　设2名男生记为A1，A2,2名女生记为B1，B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2，A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，B1B2，A2A1，B1A1，B2A1，B1A2，B2A2，B2B112种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有A1B1，A1B2，A2B1，A2B24种情况，则发生的概率为P＝＝，故选A.

7．连掷骰子两次得到的点数分别记为a和b，则使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝4相切的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　连掷骰子两次总的试验结果有36种，要使直线3x－4y＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝4相切，则＝2，即满足|3a－4b|＝10，符合题意的(a，b)有(6,2)，(2,4)，共2种，由古典概型的概率计算公式可得所求概率为P＝.故选B.

8．抛掷两枚均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线＋＝1的斜率k≥－的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　记a，b的取值为数对(a，b)，由题意知(a，b)的所有可能取值有36种．由直线＋＝1的斜率k＝－≥－，知≤，那么满足题意的(a，b)可能的取值为(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，(5,1)，(5,2)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共有9种，所以所求概率为＝.故选D.

9．记连续投掷两次骰子得到的点数分别为m，n，向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角为α，则α∈的概率为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　B

解析　解法一：依题意，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈，即n<m的(m，n)可根据n的具体取值：第一类，当n＝1时，m有5个不同的取值；第二类，当n＝2时，m有4个不同的取值；第三类，当n＝3时，m有3个不同的取值；第四类，当n＝4时，m有2个不同的取值；第五类，当n＝5时，m有1个取值，因此满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(个)，所以所求概率为＝.故选B.

解法二：依题意可得向量a＝(m，n)共有6×6＝36(个)，其中满足向量a＝(m，n)与向量b＝(1,0)的夹角α∈，即n<m的向量a＝(m，n)有＝15(个)，所以所求概率为＝.故选B.

10．将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，则实数m的取值范围是(　　)

A.   B.

C.   D.

答案　D

解析　对于a与b各有6种情形，故总数为36种．

两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4或a＝3，b＝6，故概率为P1＝＝.

两条直线l1：ax＋by＝2，l2：x＋2y＝2相交的情形除平行与重合(a＝1，b＝2)即可，∴P2＝＝.

∵点(P1，P2)在圆(x－m)2＋y2＝的内部，

∴2＋2<，解得－<m<，故选D.

二、填空题

11．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．

答案　

解析　从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．

设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“A1和B1全被选中”，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，P()＝＝，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.

12．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则双曲线－＝1的离心率e>的概率是________．

答案　

解析　由e＝ >，得b>2a.当a＝1时，b＝3,4,5,6四种情况；当a＝2时，b＝5,6两种情况，总共有6种情况．又同时掷两颗骰子，得到的点数(a，b)共有36种结果．∴所求事件的概率P＝＝.

13．抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的点数分别为a，b，则使得直线bx＋ay＝1与圆x2＋y2＝1相交且所得弦长不超过的概率为________．

答案　

解析　根据题意，得到的点数所形成的数组(a，b)共有6×6＝36种，其中满足直线bx＋ay＝1与圆x2＋y2＝1相交且所得弦长不超过，则圆心到直线的距离不小于，即1＞≥，即1＜a2＋b2≤9的有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)四种，故直线bx＋ay＝1与圆x2＋y2＝1相交且所得弦长不超过的概率为＝.

14．已知k∈Z， ＝(k,1)， ＝(2,4)，若||≤4，则△ABC是直角三角形的概率是________．

答案　

解析　因为||＝≤4，所以－≤k≤，因为k∈Z，所以k＝－3，－2，－1,0,1,2,3，当△ABC为直角三角形时，应有AB⊥AC，或AB⊥BC，或AC⊥BC，由·＝0，得2k＋4＝0，所以k＝－2，因为＝－＝(2－k,3)，由·＝0，得k(2－k)＋3＝0，所以k＝－1或3，由·＝0，得2(2－k)＋12＝0，所以k＝8(舍去)，故使△ABC为直角三角形的k值为－2，－1或3，所以所求概率P＝.

三、解答题

15．为了解收购的每只小龙虾的重量，某批发商在刚从甲、乙两个水产养殖场收购的小龙虾中分别随机抽取了40只，得到小龙虾的重量的频数分布表如下．

从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表

从乙水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频数分布表

(1)试根据上述表格中的数据，完成从甲水产养殖场中抽取的40只小龙虾的重量的频率分布直方图；

(2)依据小龙虾的重量，将小龙虾划分为三个等级：

若规定二级以上(包括二级)的小龙虾为优质小龙虾，估计甲、乙两个水产养殖场的小龙虾哪个的“优质率”高？并说明理由．

(3)从乙水产养殖场抽取的重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中利用分层抽样的方法抽取6只，再从这6只中随机抽取2只，求至少有1只的重量在[15,25)内的概率．

解　(1)

(2)若把频率看作相应的概率，则

“甲水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝0.75，

“乙水产养殖场的小龙虾为优质小龙虾”的概率为＝0.8，

所以乙水产养殖场的小龙虾“优质率”高．

(3)用分层抽样的方法从乙水产养殖场重量在[5,15)，[15,25)，[45,55]内的小龙虾中抽取6只，则重量在[5,15)内的有1只，在[15,25)内的有3只，在[45,55]内的有2只，

记重量在[5,15)内的1只为x，在[15,25)内的3只分别为y1，y2，y3，在[45,55]内的2只分别为z1，z2，从中任取2只，可能的情况有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(x，z1)，(x，z2)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，(z1，z2)，共15种；

记“任取2只，至少有1只的重量在[15,25)内”为事件A，则事件A包含的情况有(x，y1)，(x，y2)，(x，y3)，(y1，y2)，(y1，y3)，(y1，z1)，(y1，z2)，(y2，y3)，(y2，z1)，(y2，z2)，(y3，z1)，(y3，z2)，共12种．

所以P(A)＝＝.

16．“累积净化量(CCM)”是空气净化器质量的一个重要衡量指标，它是指空气净化器从开始使用到净化效率为50%时对颗粒物的累积净化量，以克表示．根据GB/T18801－2015《空气净化器》国家标准，对空气净化器的累积净化量(CCM)有如下等级划分：

为了了解一批空气净化器(共2000台)的质量，随机抽取n台机器作为样本进行估计，已知这n台机器的累积净化量都分布在区间(4,14]中，按照(4,6]，(6,8]，(8,10]，(10,12]，(12,14]，均匀分组，其中累积净化量在(4,6]的所有数据有：4.5,4.6,5.2,5.3,5.7和5.9，并绘制了如下频率分布直方图．

(1)求n的值及频率分布直方图中的x值；

(2)以样本估计总体，试估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有多少台？

(3)从累积净化量在(4,6]的样本中随机抽取2台，求恰好有1台等级为P2的概率．

解　(1)∵在(4,6]之间的数据一共有6个，

再由频率分布直方图得：落在(4,6]之间的频率为0.03×2＝0.06，

∴n＝＝100，

由频率分布直方图的性质得：

(0.03＋x＋0.12＋0.14＋0.15)×2＝1，

解得x＝0.06.

(2)由频率分布直方图可知：落在(6,8]之间共：0.12×2×100＝24台，

又∵在(5,6]之间共4台，

∴落在(5,8]之间共28台，

∴估计这批空气净化器(共2000台)中等级为P2的空气净化器有560台．

(3)设“恰好有1台等级为P2”为事件B，

依题意落在(4,6]之间共6台，属于国标P2级的有4台，分别设为a1，a2，b1，b2，b3，b4，

则从(4,6]中随机抽取2台，基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，b4)，(b2，b3)，(b2，b4)，(b3，b4)，共15种．

事件B包含的基本事件为(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，b4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，b4)，共8种．

∴恰好有1台等级为P2的概率P(B)＝＝.