高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第12章选4系列 12.3（教师版）

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1．已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a>0)．

(1)当a＝4时，求不等式的解集；

(2)若不等式有解，求实数a的取值范围．

解　(1)当a＝4时，不等式为|2x＋1|－|x－1|≤2.

当x<－时，－x－2≤2，解得－4≤x<－；

当－≤x≤1时，3x≤2，解得－≤x≤；

当x>1时，x≤0，此时x不存在，

∴原不等式的解集为.

(2)令f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，

则f(x)＝

故f(x)∈，即f(x)的最小值为－.

若f(x)≤log2a有解，则log2a≥－，

解得a≥，即a的取值范围是.

2．设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.

(1)解不等式f(x)>4；

(2)若∀x∈，不等式a＋1<f(x)恒成立，求实数a的取值范围．

解　(1)∵f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|，

∴f(x)＝

f(x)>4⇔或或

⇔x<－2或0<x≤1或x>1.

∴不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．

(2)由(1)知，当x<－时，f(x)＝－3x－2，

∵当x<－时，f(x)＝－3x－2>，

∴a＋1≤，即a≤.

∴实数a的取值范围为.

3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x－1|(a∈R)．

(1)当a＝－1时，求f(x)≤2的解集；

(2)若f(x)≤|2x＋1|的解集包含集合，求实数a的取值范围．

解　(1)当a＝－1时，f(x)＝|2x＋1|＋|2x－1|，f(x)≤2⇒＋≤1，上述不等式的几何意义为数轴上点x到两点－，距离之和小于或等于1，则－≤x≤，即原不等式的解集为.

(2)∵f(x)≤|2x＋1|的解集包含，

∴当x∈时，不等式f(x)≤|2x＋1|恒成立，

∴当x∈时，|2x－a|＋2x－1≤2x＋1恒成立，

∴2x－2≤a≤2x＋2在x∈上恒成立，

∴(2x－2)max≤a≤(2x＋2)min，

∴0≤a≤3.故实数a的取值范围是[0,3]．

4．设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|.

(1)若f(x)≥5对于x∈R恒成立，求实数a的取值范围；

(2)当a＝1时，函数f(x)的最小值为t，且正实数m，n满足m＋n＝t，求证：＋≥2.

解　(1)|x＋1|＋|x－a|表示数轴上的动点x到两定点－1，a的距离之和，故当a≥4或a≤－6时，|x＋1|＋|x－a|≥5对于x∈R恒成立，即实数a的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞)．

(2)证明：因为|x＋1|＋|x－1|≥|x＋1＋1－x|＝2，所以f(x)min＝2，即t＝2，故m＋n＝2，又m，n为正实数，

所以＋＝＝≥×(2＋2)＝2，当且仅当m＝n＝1时取等号．

5．设f(x)＝|ax－1|.

(1)若f(x)≤2的解集为[－6,2]，求实数a的值；

(2)当a＝2时，若存在x∈R，使得不等式f(2x＋1)－f(x－1)≤7－3m成立，求实数m的取值范围．

解　(1)显然a≠0，当a>0时，解集为，

则－＝－6，＝2，无解；

当a<0时，解集为，令－＝2，＝－6，得a＝－.综上所述，a＝－.

(2)当a＝2时，令h(x)＝f(2x＋1)－f(x－1)

＝|4x＋1|－|2x－3|

＝

由此可知h(x)在上单调递减，在

上单调递增，在上单调递增，则当x＝－时，h(x)取到最小值－，由题意，知－≤7－3m，则实数m的取值范围是.

6．设f(x)＝|x－1|＋|x＋1|(x∈R)．

(1)求证：f(x)≥2；

(2)若不等式f(x)≥对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．

解　(1)证明：f(x)＝|x－1|＋|x＋1|＝|1－x|＋|x＋1|≥|1－x＋x＋1|＝2.

(2)g(b)＝≤＝3，

∴f(x)≥3，即|x－1|＋|x＋1|≥3，

当x≤－1时，－2x≥3，∴x≤－1.5；

当－1<x≤1时，2≥3不成立；

当x>1时，2x≥3，∴x≥1.5.

综上所述x的取值范围为(－∞，－1.5]∪[1.5，＋∞)．