高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第4章平面向量 4.1（教师版）

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[基础送分 提速狂刷练]一、选择题1．如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则＋＝(　　)A.    B.    C.     D.答案　D解析　在方格纸上作出＋，如图所示，则容易看出＋＝.故选D. 2．已知A，B，C三点不共线，且点O满足＋＋＝0，则下列结论正确的是(　　)A.＝＋   B.＝＋C.＝－   D.＝－－答案　D解析　∵＋＋＝0，∴O为△ABC的重心，∴＝－×(＋)＝－(＋)＝－(＋＋)＝－(2＋)＝－－.故选D.3．在△ABC中，＝，P是直线BN上的一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　)A．－4  B．－1  C．1  D．4答案　B解析　根据题意设＝n(n∈R)，则＝＋＝＋n＝＋n(－)＝＋n＝(1－n)＋，又＝m＋，∴解得故选B.4．A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(　　)A．(0,1)  B．(1，＋∞)  C．(1，]  D．(－1,0)答案　B解析　设＝m，则m>1，因为＝λ＋μ，所以m＝λ＋μ，即＝＋，又知A，B，D三点共线，所以＋＝1，即λ＋μ＝m，所以λ＋μ>1.故选B.5．已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且＝，则(　　)A．点P在线段AB上B．点P在线段AB的反向延长线上C．点P在线段AB的延长线上D．点P不在直线AB上答案　B解析　＝＝－＝＋(－)＝＋，即－＝＝，所以点P在线段AB的反向延长线上．故选B.6.已知向量i，j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则实数m，n应满足的条件是(　　)A．m＋n＝1   B．m＋n＝－1C．mn＝1   D．mn＝－1答案　C解析　因为A，B，D三点共线，所以∥，存在非零实数λ，使得＝λ，即i＋mj＝λ(ni＋j)，所以(1－λn)i＋(m－λ)j＝0，又因为i与j不共线，所以则mn＝1.故选C.7．下列命题中是真命题的是(　　)①对任意两向量a，b，均有：|a|－|b|<|a|＋|b|；②对任意两向量a，b，a－b与b－a是相反向量；③在△ABC中，＋－＝0；④在四边形ABCD中，(＋)－(＋)＝0；⑤－＝.A．①②③  B．②④⑤  C．②③④  D．②③答案　D解析　①假命题．∵当b＝0时，|a|－|b|＝|a|＋|b|.∴①不成立．②真命题．∵(a－b)＋(b－a)＝a＋(－b)＋b＋(－a)＝a＋(－a)＋b＋(－b)＝(a－a)＋(b－b)＝0，∴a－b与b－a是相反向量．②成立．③真命题．∵＋－＝－＝0，∴③成立．④假命题．∵＋＝，＋＝，∴(＋)－(＋)＝－＝＋≠0.∴该命题不成立．⑤假命题．∵－＝＋＝≠，∴该命题不成立．故选D.8．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0.其中正确的是(　　)A．①②  B．②③  C．③④  D．②③④答案　D解析　由＝a，＝b，则＝＋＝－a－b.＝＋＝a＋b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b.所以＋＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，所以命题②③④正确．故选D.9．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　)A.  B.  C.  D.答案　C解析　如图，连接AM，BM，延长AC到D使AD＝3AC，延长AM到E使AE＝5AM，因为5＝＋3，所以＝5－3＝－＝.连接BE，则四边形ABED是平行四边形(向量AB和向量DE平行且模相等)．由于＝3，所以S△ABC＝S△ABD.因为＝，所以S△AMB＝S△ABE，在平行四边形ABED中，S△ABD＝S△ABE＝S▱ABED，故＝＝.故选C.10．若O为△ABC所在平面内一点，且＋2＋3＝0，则S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝(　　)A．3∶2∶1  B．2∶1∶3  C．1∶3∶2  D．1∶2∶3答案　D解析　如图所示，延长OB到D，使得BD＝OB，延长OC到E，使得CE＝2OC.连接AD，DE，AE.∵＋2＋3＝0，∴点O为△ADE的重心．∴S△OBC＝S△ODE＝×S△ADE＝S△ADE；S△AOC＝S△OAE＝×S△ADE＝S△ADE；S△ABO＝S△OAD＝×S△ADE＝S△ADE.∴S△OBC∶S△AOC∶S△ABO＝∶∶＝1∶2∶3.故选D.二、填空题11．如图所示，在△ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．答案　解析　注意到N，P，B三点共线，因此有＝m＋＝m＋，从而m＋＝1⇒m＝.12．设e1，e2是不共线的向量，若＝e1－λe2，＝2e1＋e2，＝3e1－e2，且A，B，D三点共线，则λ的值为________．答案　2解析　∵＝2e1＋e2，＝3e1－e2，∴＝－＝(3e1－e2)－(2e1＋e2)＝e1－2e2，又A，B，D三点共线，则与共线，存在μ∈R使得＝μ，即e1－λe2＝μ(e1－2e2)，由e1，e2是不共线的向量，得解得λ＝2. 13．如图，已知平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．答案　6解析　如图，作平行四边形OB1CA1，则＝＋，因为与的夹角为120°，与的夹角为30°，所以∠B1OC＝90°.在Rt△OB1C中，∠OCB1＝30°，|OC|＝2，所以|OB1|＝2，|B1C|＝4，所以|OA1|＝|B1C|＝4，所以＝4＋2，所以λ＝4，μ＝2，所以λ＋μ＝6.14．如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N，若＝m，＝n，则m＋n的值为________．答案　2解析　连接AO，∵O是BC的中点，∴＝(＋)．又∵＝m，＝n，∴＝＋.∵M，O，N三点共线，∴＋＝1.∴m＋n＝2.三、解答题15．设两个非零向量a与b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．解　(1)证明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5.∴，共线．又它们有公共点B，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.16．如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.解　设＝ma＋nb，则＝－＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb.＝－＝－＝－a＋b.又∵A、M、D三点共线，∴与共线．∴存在实数t，使得＝t，即(m－1)a＋nb＝t.∴(m－1)a＋nb＝－ta＋tb.∴消去t，得m－1＝－2n，即m＋2n＝1.①又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，＝－＝b－a＝－a＋b.又∵C，M，B三点共线，∴与共线，∴存在实数t1，使得＝t1，∴a＋nb＝t1，∴消去t1，得4m＋n＝1.②由 ①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.