高考数学(文数)一轮课后刷题练习：第5章数列 5.4（教师版）

[重点保分 两级优选练]

A级

一、选择题

1．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S2＝10，S5＝55，则an＋100＋an－98＝(　　)

A．8n＋6  B．4n＋1  C．8n＋3  D．4n＋3

答案　A

解析　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d，

由S2＝10，S5＝55，可得得

所以an＝a1＋(n－1)d＝4n－1，则an＋100＋an－98＝2an＋1＝8n＋6.故选A.

2．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是(　　)

A．1  B．2  C．4  D．6

答案　B

解析　由－＝1得－＝a1＋d－＝＝1，

所以d＝2.故选B.

3．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知＝，则＝(　　)

A.  B.  C．7  D.

答案　D

解析　＝＝＝＝＝＝.故选D.

4．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100等于(　　)

A．0  B．100  C．－100  D．102

答案　B

解析　由题意，得a1＋a2＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.

5．已知数列{an}满足an＋1＝＋，且a1＝，则该数列的前2018项的和等于(　　)

A．1512  B．1513  C．1513.5  D．2018

答案　C

解析　因为a1＝，又an＋1＝＋，

所以a2＝1，从而a3＝，a4＝1，

即得an＝故数列的前2018项的和S2018＝1009×＝1513.5.故选C.

6．在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a＋a＋a＋…＋a等于(　　)

A．(3n－1)2   B.(9n－1)

C．9n－1   D.(3n－1)

答案　B

解析　因为a1＋a2＋…＋an＝3n－1，所以a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2)．则n≥2时，an＝2×3n－1.

当n＝1时，a1＝3－1＝2，适合上式，所以an＝2×3n－1(n∈N*)．则数列{a}是首项为4，公比为9的等比数列．故选B.

7．设直线nx＋(n＋1)y＝(n∈N*)与两坐标轴围成的三角形面积为Sn，则S1＋S2＋…＋S2017的值为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　D

解析　直线与x轴交于，与y轴交于，

∴Sn＝··＝＝－.

∴原式＝＋＋…＋＝1－＝.

故选D.

8．已知{an}为等比数列，Sn是它的前n项和．若a3a5＝a1，且a4与a7的等差中项为，则S5等于(　　)

A．35  B．33  C．31  D．29

答案　C

解析　设等比数列{an}的公比是q，所以a3a5＝aq6＝a1，得a1q6＝，即a7＝.又a4＋a7＝2×，解得a4＝2，所以q3＝＝，所以q＝，a1＝16，故S5＝＝＝31.故选C.

9．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法中一定成立的是(　　)

A．若a3>0，则a2017<0  B．若a4>0，则a2018<0

C．若a3>0，则S2017>0  D．若a4>0，则S2018>0

答案　C

解析　等比数列{an}的公比q≠0.对于A，若a3>0，则a1q2>0，所以a1>0，所以a2017＝a1q2016>0，所以A不成立；对于B，若a4>0，则a1q3>0，所以a1q>0，所以a2018＝a1q2017>0，所以B不成立；对于C，若a3>0，则a1＝>0，所以当q＝1时，S2017>0，当q≠1时，S2017＝>0(1－q与1－q2017同号)，所以C一定成立，易知D不一定成立．故选C.

10．已知数列{an}是等比数列，数列{bn}是等差数列，若a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，则tan的值是(　　)

A．1  B.  C．－  D．－

答案　D

解析　{an}是等比数列，{bn}是等差数列，且a1·a6·a11＝3，b1＋b6＋b11＝7π，∴a＝()3,3b6＝7π，∴a6＝，b6＝，∴tan＝tan＝tan＝tan＝tan＝－tan＝－.故选D.

二、填空题

11．Sn＝1＋11＋111＋…＋＝________.

答案　

12．数列{an}满足：a1＝，且an＋1＝(n∈N*)，则＋＋＋…＋＝________.

答案　2017＋

解析　由题意可知＝＋·⇒－1＝，又－1＝－，所以数列是以－为首项，以为公比的等比数列，所以＝1－，所以＋＋＋…＋＝n－＝n－＋·，

则＋＋＋…＋＝2018－＋×＝2017＋.

13．设f(x)＝，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值为________．

答案　3

解析　∵6＋(－5)＝1，∴f(－5)，f(－4)，…，f(5)，f(6)共有11＋1＝12项．

由f(－5)，f(6)；f(－4)，f(5)；…；f(0)，f(1)共有6对，且该数列为等差数列．

又f(0)＋f(1)＝＋＝＋＝＝＝，

∴f(－5)＋f(－4)＋…＋f(6)＝6×＝3.

14．已知数列{an}的各项均为正整数，其前n项和为Sn，若an＋1＝且S3＝10，则S2016＝________.

答案　6720

解析　当a1为奇数时，a2＝，此时若a2为奇数，则a3＝＝＝，∴S3＝a1＋＋＝＝10，解得a1＝5，此时数列{an}为5,3,2,5,3,2，….当a1为奇数时，a2＝，此时若a2为偶数，则a3＝3a2－1＝－1＝，

∴S3＝a1＋＋＝3a1＋1＝10，解得a1＝3，此时数列{an}为3,2,5,3,2,5，….当a1为偶数时，a2＝3a1－1，此时a2为奇数，则a3＝＝＝，∴S3＝a1＋3a1－1＋＝a1－1＝10，解得a1＝2，此时数列{an}为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{an}均为周期数列．

∵672×3＝2016，∴S2016＝672S3＝6720.

B级

三、解答题

15．已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4.

(1)证明：{Sn－n＋2}为等比数列；

(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.

解　(1)证明：由题意知Sn－2(Sn－Sn－1)＝n－4(n≥2)，即Sn＝2Sn－1－n＋4，

所以Sn－n＋2＝2[Sn－1－(n－1)＋2]，

又易知a1＝3，所以S1－1＋2＝4，

所以{Sn－n＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．

(2)由(1)知Sn－n＋2＝2n＋1，

所以Sn＝2n＋1＋n－2，

于是Tn＝(22＋23＋…＋2n＋1)＋(1＋2＋…＋n)－2n＝＋－2n＝.

16．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足a＝2Sn＋n＋4，a2－1，a3，a7恰为等比数列{bn}的前3项．

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)若cn＝－，求数列{cn}的前n项和Tn.

解　(1)因为a＝2Sn＋n＋4，所以a＝2Sn－1＋n－1＋4(n≥2)，两式相减得a－a＝2an＋1，所以a＝a＋2an＋1＝(an＋1)2，

所以an＋1－an＝1.

又a＝(a2－1)a7，所以(a2＋1)2＝(a2－1)(a2＋5)，解得a2＝3，又a＝2a1＋1＋4，所以a1＝2，所以{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n＋1.故b1＝2，b2＝4，b3＝8，所以bn＝2n.

(2)由(1)得，cn＝－，

故Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝－＋＋…＋.

设Fn＝＋＋…＋，则Fn＝＋＋…＋，作差得Fn＝＋＋…＋－，

所以Fn＝2－.

设Gn＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋－＝－，所以Tn＝2－－＝－＋.

17．(2017·山东高考)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2){bn}为各项非零的等差数列，其前n项和为Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求数列的前n项和Tn.

解　(1)设{an}的公比为q，

由题意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2，

又an>0，由以上两式联立方程组解得a1＝2，q＝2，

所以an＝2n.

(2)由题意知

S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1，

又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0，

所以bn＝2n＋1.

令cn＝，则cn＝.

因此Tn＝c1＋c2＋…＋cn

＝＋＋＋…＋＋，

又Tn＝＋＋＋…＋＋，

两式相减得

Tn＝＋－，

所以Tn＝5－.

18．在等比数列{an}中，a1>0，n∈N*，且a3－a2＝8，又a1，a5的等比中项为16.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝log4an，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得＋＋＋…＋<k对任意n∈N*恒成立，若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．

解　(1)设数列{an}的公比为q，由题意可得a3＝16，

a3－a2＝8，则a2＝8，q＝2，a1＝4，所以an＝2n＋1.

(2)bn＝log42n＋1＝，

Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝.

＝＝，

所以＋＋＋…＋

＝

＝

＝×－×

＝－×.

当n＝1时，＝1<2<；

当n≥2时，＋＋…＋

＝－<<3.

故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有

＋＋＋…＋<3.