冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试优秀同步训练题

八年级数学下册第二十二章四边形综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在中，DE平分，，则（       ）

A．30° B．45° C．60° D．80°

2、将一长方形纸条按如图所示折叠，，则（       ）

A．55° B．70° C．110° D．60°

3、如图，在中，，于E，DE交AC于点F，M为AF的中点，连接DM，若，则的大小为（       ）．

A．112° B．108° C．104° D．98°

4、如图，在平行四边形中，平分，交边于，，，则的长为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．5

5、下列命题中是真命题的是（       ）．A．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是菱形

C．对角线相等的四边形是矩形 D．有一个角为直角的四边形是矩形

6、下列说法不正确的是（　　）

A．矩形的对角线相等

B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

C．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

D．菱形的对角线互相垂直

7、如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是（　　）

A．AO＝CO B．AD∥BC C．AD＝BC D．∠DAC＝∠ACD

8、如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　）

A．1 B． C． D．

9、如图，DE是的中位线，若，则BC的长为（　　　）

A．8 B．7 C．6 D．7.5

10、如图，四边形中，，对角线，相交于点，于点，于点，连接，，若，则下列结论：

①；

②；

③四边形是平行四边形；

④图中共有四对全等三角形．

其中正确结论的个数是（       ）

A．4 B．3 C．2 D．1

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在矩形中，的角平分线交于点，连接，恰好平分，若，则的长为______．

2、如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：________，可使它成为正方形．

3、如图，正方形ABCD中，将边BC绕着点C旋转，当点B落在边AD的垂直平分线上的点E处时，∠AEC的度数为_______

4、如图，在中，，，射线AF是的平分线，交BC于点D，过点B作AB的垂线与射线AF交于点E，连结CE，M是DE的中点，连结BM并延长与AC的延长线交于点G．则下列结论正确的是______．

①       ②BG垂直平分DE       ③       ④             ⑤

5、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE平分∠ABC，与AD交于点E，BC＝5，DE＝2，则AB的长为 ___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，求证：DC＝CF．

2、如图，在平行四边形ABCD中，点M是AD边的中点，连接BM，CM，且BM＝CM．

(1)求证：四边形ABCD是矩形；

(2)若△BCM是直角三角形，直接写出AD与AB之间的数量关系．

3、如图，已知平行四边形ABCD．

(1)用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE，使CE＝CD，连接DE，作∠ABC的平分线BF交AD于点F．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)在（1）所作的图形中，证明四边形BEDF为平行四边形．

4、如图，直线，线段分别与直线、交于点、点，满足．

(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）

(2)求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）

证明：

____①____

垂直平分

，

∴____②____

____③____

∴四边形是___④_____

∴四边形是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．

5、如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．

(1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

(2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质得，故，由DE平分得，即可计算．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，

∴，

∵DE平分，

∴，

∴．

故选：C．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质，平行线的性质以及角平分线的定义，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．

【详解】

解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．

3、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形及垂直的性质可得为直角三角形，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角及三角形外角的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∴为直角三角形，

∵M为AF的中点，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角及三角形外角的性质和三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

4、B

【解析】

【分析】

先由平行四边形的性质得，，再证，即可求解．

【详解】

解：四边形是平行四边形，

，，

，

平分，

，

，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题．

5、A

【解析】

【分析】

根据平行线四边形的性质得到对边相等，加上一组邻边相等，可得到四边都相等，根据菱形的定义对A、B进行判断；根据矩形的判定方法对C、D进行判断．

【详解】

解：A、平行四边形的对边相等，若有一组邻边相等，则四边都相等，所以该选项正确；

B、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，所以该选项不正确；

C、对角线互相平分且相等的四边形为矩形，所以该选项不正确；

D、有三个角是直角的四边形是矩形，所以该选项不正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查了命题与定理：判断事情的语句叫命题；正确的命题叫真命题；经过证明其正确性的命题称为定理．也考查了平行四边形、矩形和菱形的判定与性质．

6、C

【解析】

【分析】

利用矩形的性质，直角三角形的性质，正方形的判定，菱形的性质依次判断可求解．

【详解】

解；矩形的对角线相等，故选项A不符合题意；

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故选项B不符合题意；

对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，故选项C符合题意；

菱形的对角线互相垂直，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，矩形的性质，菱形的性质，直角三角形的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质解答．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，故A正确；

∴，故B正确；

∴AD＝BC，故C正确；

故选：D．

【点睛】

此题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的性质是解题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．

【详解】

解：四边形是正方形，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．

9、A

【解析】

【分析】

已知DE是的中位线，，根据中位线定理即可求得BC的长．

【详解】

是的中位线，，

，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；掌握中位线定理是解题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

由DE=BF以及DF=BE，可证明Rt△DCF≌Rt△BAE，由FC=EA，以及双垂直可证，四边形CFAE是平行四边形由此可证明②③正确．

【详解】

解：，

，

在和中，

，

，

，（故①正确）；

于点，于点，

，

，

四边形是平行四边形，

，（故②正确）；

，

，

，

，

四边形是平行四边形，（故③正确）；

由以上可得出：，，，

，，，等．（故④错误），

故正确的有3个，

故选：．

【点评】

此题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键．

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

根据矩形的性质得，，，根据BE是的角平分线，得，则，，在中，根据勾股定理得，根据平行线的性质得，由因为EC平分则，等量代换得，所以，，即可得．

【详解】

解：∵四边形ABCD为矩形，

∴，，，

∵，BE是的角平分线，

∴，

∴，

在中，根据勾股定理得，

，

∵，

∴，

∵EC平分，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是掌握这些知识点．

2、

【解析】

【分析】

根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件．

【详解】

解：由于四边形 是菱形，

如果 ，

那么四边形是正方形．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．

3、或

【解析】

【分析】

分两种情况分析：当点E在BC下方时记点E为点，点E在BC上方时记点E为点，连接，，根据垂直平分线的性质得，，由正方形的性质得，，由旋转得，，故，是等边三角形，，是等腰三角形，由等边三角形和等腰三角形的求角即可．

【详解】

如图，当点E在BC下方时记点E为点，连接，

∵点落在边AD的垂直平分线，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∵BC绕点C旋转得，

∴，

∴是等边三角形，是等腰三角形，

∴，，

∴，

∴，

当点E在BC上方时记点E为点，连接，

∵点落在边AD的垂直平分线，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∵BC绕点C旋转得，

∴，

∴是等边三角形，是等腰三角形，

∴，，

∴，

∴．

故答案为：或．

【点睛】

本题考查正方形的性质、垂直平分线的性质、旋转的性质，以及等边三角形与等腰三角形的判定与性质，掌握相关知识点的应用是解题的关键．

4、①②⑤

【解析】

【分析】

先由题意得到∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，再由角平分线的性质得到∠BAE=∠DAC=22.5°，从而推出∠BEA=∠ADC，则∠BDE=∠BED，再由三线合一定理即可证明BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，即可判断②；得到∠MAG+∠MGA=90°，再由∠CBG+∠CGB=90°，可得∠DAC=∠GBC=22.5°，则∠GBE=22.5°，2∠GBE=45°，从而可证明△ACD≌△BCG，即可判断①；则CD=CG，再由AC=BC=BD+CD，可得到AC=BE+CG，即可判断⑤；由∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，即可判断④；延长BE交AC延长线于G，先证△ABH是等腰直角三角形，得到C为AH的中点，然后证BE≠HE，即E不是BH的中点，得到CE不是△ABH的中位线，则CE与AB不平行，即可判断③．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，BE⊥AB，AC=BC，

∴∠ABE=∠ACB=∠BCG=90°，∠BAC=45°，

∴∠BAE+∠BEA=90°，∠DAC+∠ADC=90°，

∵AF平分∠BAC，

∴∠BAE=∠DAC=22.5°，

∴∠BEA=∠ADC，

又∵∠ADC=∠BDE，

∴∠BDE=∠BED，

∴BD=ED，

又∵M是DE的中点，

∴BM⊥DE，∠GBE=∠DBG，

∴BG垂直平分DE，∠AMG=90°，故②正确，

∴∠MAG+∠MGA=90°，

∵∠CBG+∠CGB=90°，

∴∠DAC=∠GBC=22.5°，

∴∠GBE=22.5°，

∴2∠GBE=45°，

又∵AC=BC，

∴△ACD≌△BCG（ASA），故①正确；

∴CD=CG，

∵AC=BC=BD+CD，

∴AC=BE+CG，故⑤正确；

∵∠G=180°-∠BCG-∠CBG=67.5°，

∴∠G≠2∠GBE，故④错误；

如图所示，延长BE交AC延长线于G，

∵∠ABH=∠ABC+∠CBH=90°，∠BAC=45°，

∴△ABH是等腰直角三角形，

∵BC⊥AH，

∴C为AH的中点，

∵AB≠AH，AF是∠BAH的角平分线，

∴BE≠HE，即E不是BH的中点，

∴CE不是△ABH的中位线，

∴CE与AB不平行，

∴BE与CE不垂直，故③错误；

故答案为：①②⑤．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质与判定条件是解题的挂件．

5、3

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可得，，结合图形，利用线段间的数量关系可得，由平行线及角平分线可得，，得出，根据等角对等边即可得出结果．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，，

∵，

∴，

∵，BE平分，

∴，，

∴，

∴，

故答案为：3．

【点睛】

题目主要考查平行四边形的性质，利用角平分线计算及平行线的性质，等角对等边求边长等，理解题意，结合图形，综合运用这些知识点是解题关键．

三、解答题

1、见解析

【解析】

【分析】

根据平行四边形的性质可得AB∥CD，AB＝CD，根据平行线的性质可得∠BAE＝∠CFE，根据中点的定义可得EB＝EC，利用AAS可证明△ABE≌△FCE，可得AB＝CF，进而可得结论．

【详解】

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAE＝∠CFE；

∵E为BC中点，

∴EB＝EC，

在△ABE与△FCE中，

，

∴△ABE≌△FCE（AAS），

∴AB＝CF，

∴DC＝CF．

【点睛】

本题考查平行四边形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

2、 (1)见解析

(2)AD=2AB，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）由SSS证明△ABM≌△DCM，得出∠A=∠D，由平行线的性质得出∠A+∠D=180°，证出∠A=90°，即可得出结论；

（2）先证明△BCM是等腰直角三角形，得出∠MBC=45°，再证明△ABM是等腰直角三角形，得出AB=AM，即可得出结果．

(1)

证明：∵点M是AD边的中点，

∴AM=DM，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=DC，AB∥CD，

在△ABM和△DCM中，

，

∴△ABM≌△DCM（SSS），

∴∠A=∠D，

∵AB∥CD，

∴∠A+∠D=180°，

∴∠A=90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴四边形ABCD是矩形；

(2)

解：AD与AB之间的数量关系：AD=2AB，理由如下：

∵△BCM是直角三角形，BM=CM，

∴△BCM是等腰直角三角形，

∴∠MBC=45°，

由（1）得：四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠A=90°，

∴∠AMB=∠MBC=45°，

∴△ABM是等腰直角三角形，

∴AB=AM，

∵点M是AD边的中点，

∴AD=2AM，

∴AD=2AB．

【点睛】

本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABM≌△DCM是解题的关键．

3、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）延长CB到E使CE＝CD，然后作∠ABC的平分线交AD的延长线于F；

（2）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，ADBC，则CE＝AB，再证明∠ABF＝∠F得到AB＝AF，然后证明BE＝DF，从而可判断四边形BEDF为平行四边形．

(1)

如图，DE、BF为所作；

(2)

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，

∵CE＝CD，

∴CE＝AB，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵AFBC，

∴∠CBF＝∠F，

∴∠ABF＝∠F，

∴AB＝AF，

∴CE＝AF，即CB＋BE＝AD＋DF，

∴BE＝DF，

∵BEDF，

∴四边形BEDF为平行四边形．

【点睛】

本题考查了作线段，作角平分线，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．

4、 (1)见解析

(2)①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【解析】

【分析】

（1）分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；

（2）：根据，内错角相等得出∠2①，根据垂直平分       ，得出，，可证②△EOC，根据全等三角形性质得出OF③，再证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形④，根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）．

(1)

解：分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；

如图所示

(2)

证明：，

∠2①，

垂直平分       ，

，，

∴②△EOC，

OF③，

，

，

，

∴四边形是平行四边形④，

，

∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），

故答案为：①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【点睛】

本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．

5、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

（2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB．

(1)

如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

(2)

如图，连接

四边形是平行四边形

，

，

则

是的垂直平分线

又

在与中，

【点睛】

本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．