初中数学冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品课后练习题

八年级数学下册第二十二章四边形必考点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在中，，于E，DE交AC于点F，M为AF的中点，连接DM，若，则的大小为（       ）．

A．112° B．108° C．104° D．98°

2、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）

A． B． C． D．

3、如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（　　）

A．1 B．2 C． D．2

4、如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长是（       ）

A．1 B．4 C．2 D．6

5、小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该（     ）

A．测量三个角是否都是直角 B．测量对角线是否互相平分

C．测量两组对边是否分别相等 D．测量一组对角是否是直角

6、在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（       ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④

7、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

8、若n边形每个内角都为156°，那么n等于（       ）

A．8 B．12 C．15 D．16

9、如图，点A，B，C在同一直线上，且，点D，E分别是AB，BC的中点．分别以AB，DE，BC为边，在AC同侧作三个正方形，得到三个平行四边形（阴影部分）的面积分别记作，，，若，则等于（       ）

A． B． C． D．

10、在下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（            ）

A．AB∥CD，AD∥BC B．AB＝CD，AD＝BC

C．AB ∥CD，AB＝CD D．AB∥CD，AD＝BC

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，矩形纸片，，．如果点在边上，将纸片沿折叠，使点落在点处，如果直线经过点，那么线段的长是_______．

2、如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝120°，E是边CD的中点，F是边AD上的一个动点，将线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，连接AF'、BF'，则△ABF'的周长的最小值是________________．

3、如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．

4、一个多边形的每个内角都等于120°，则这个多边形的边数是______．

5、如图，四边形是菱形，与相交于点，添加一个条件：________，可使它成为正方形．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°．

(1)求作：AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论）

(2)在（1）的条件下，设直线MN交AD于E，且∠C＝22.5°，求证：NE＝AB．

2、如图，在菱形ABDE中，，点C是边AB的中点，点P是对角线AD上的动点（可与点A，D重合），连接PC，PB．已知，若要，求AP的取值范围．丞泽同学所在的学习小组根据学习函数的经验，设AP长为xcm，PC长为，PB长为．分别对函数，随自变量x的变化而变化的规律进行了探究，下面是丞泽同学所在学习小组的探究过程，请补充完整：

(1)按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了，与x的几组对应值，表格中的______；

(2)在同一平面直角坐标系xOy中，请在图中描出补全后的表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；

(3)结合函数图象，解决问题：当时，估计AP的长度的取值范围是____________；

请根据图象估计当______时，PC取到最小值．（请保留点后两位）

3、如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．

4、已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，，点E，F分别为垂足．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)求证：四边形AECF是矩形．

5、已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．

(1)求证：AF＝CG；

(2)连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？

-参考答案-

一、单选题

1、C

【解析】

【分析】

根据平行四边形及垂直的性质可得为直角三角形，再由直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角及三角形外角的性质得出，根据三角形内角和定理即可得出．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴，

∵，

∴，

∴为直角三角形，

∵M为AF的中点，

∴，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查平行四边形的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角及三角形外角的性质和三角形内角和定理，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

2、B

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

【详解】

解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：

（n-2）•180°=360°，

解得n=4．

故选：B．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．

3、C

【解析】

【分析】

根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠DAF，求得∠AOB=90°，根据三角形的面积公式得到OA=1，由勾股定理即可得到答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，

在△ABE与△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（SAS），

∴∠ABE=∠DAF，

∴∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°，

∴∠AOB=90°，

∵△ABE≌△DAF，

∴S△ABE=S△DAF，

∴S△ABE-S△AOE=S△DAF-S△AOE，

即S△ABO=S四边形OEDF=1，

∵OA=1，

∴BO=2，

∴AB=，

故选：C．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．

4、C

【解析】

略

5、A

【解析】

【分析】

根据矩形的判定方法解题．

【详解】

解：A、三个角都是直角的四边形是矩形，

选项A符合题意；

B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，

选项B不符合题意，

C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

选项C不符合题意；

D、一组对角是直角的四边形不是矩形，

选项D不符合题意；

故选：A．

【点睛】

本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．

6、C

【解析】

【分析】

利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．

【详解】

∵CM、BN分别是高

∴△CMB、△BNC均是直角三角形

∵点P是BC的中点

∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线

∴

故①正确

∵∠BAC=60゜

∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜

∴AB=2AN，AC=2AM

∴AN：AB=AM：AC=1：2

即②正确

在Rt△ABN中，由勾股定理得：

故③错误

当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形

∵CM⊥AB，BN⊥AC

∴M、N分别是AB、AC的中点

∴MN是△ABC的中位线

∴MN∥BC

故④正确

即正确的结论有①②④

故选：C

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

由题意依据全等三角形的判定得出△BOM≌△CON，进而根据正方形的性质即可得出的大小.

【详解】

解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，

∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD．

∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90°

∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°，

∴△BOM≌△CON（ASA），=S△BOM，

∴，

∵=S正方形ABCD，正方形的边长，，

∴=S正方形ABCD -=.

故选：D.

【点睛】

本题考查正方形的性质以及全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解答本题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

首先求得外角的度数，然后利用多边形的外角和是360度，列式计算即可求解．

【详解】

解：由题意可知：n边形每个外角的度数是：180°-156°=24°，

则n=360°÷24°=15．

故选：C．

【点睛】

本题考查了多边形的外角与内角，熟记多边形的外角和定理是关键．

9、B

【解析】

【分析】

设BE＝x，根据正方形的性质、平行四边形的面积公式分别表示出S1，S2，S3，根据题意计算即可．

【详解】

∵，

∴AB＝2BC，

又∵点D，E分别是AB，BC的中点，

∴设BE＝x，则EC＝x，AD＝BD＝2x，

∵四边形ABGF是正方形，

∴∠ABF＝45°，

∴△BDH是等腰直角三角形，

∴BD＝DH＝2x，

∴S1＝DH•AD＝，即2x•2x＝，

∴x2＝，

∵BD＝2x，BE＝x，

∴S2＝MH•BD＝（3x−2x）•2x＝2x2，

S3＝EN•BE＝x•x＝x2，

∴S2＋S3＝2x2＋x2＝3x2＝，

故选：B．

【点睛】

本题考查的是正方形的性质、平行四边形的性质，掌握正方形的四条边相等、四个角都是90°是解题的关键．

10、D

【解析】

略

二、填空题

1、

【解析】

【分析】

根据题意可知∠AFD=90°，利用勾股定理得DF=，再证明AD=DE，即可得出EF的长，从而解决问题．

【详解】

如图，∵将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，

∴AB=AF=3，∠B=∠AFE=90°，∠AEB=∠AED，

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AED，

∴∠DAE=∠AED，

∴AD=DE=4，

在Rt△ADF中，由勾股定理得：，

∴EF=DE-DF=，

∴BE=EF=，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了翻折变换，勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质等知识，证明AD=DE是解题的关键．

2、4+2

【解析】

【分析】

取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，利用全等三角形的性质证明∠F'GA＝60°，点F'的轨迹为射线GF'，易得A、E关于GF'对称，推出AF'＝EF'，得到BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，求出BE即可解决周长最小问题．

【详解】

解：取AD中点G，连接EG，F'G，BE，作BH⊥DC的延长线于点H，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB＝AD，

∵∠BAD＝120°，

∴∠CAD＝60°，

∴△ACD为等边三角形，

又∵DE＝DG，

∴△DEG也为等边三角形．

∴DE＝GE，

∵∠DEG＝60°＝∠FEF'，

∴∠DEG﹣∠FEG＝∠FEF'﹣∠FEG，

即∠DEF＝∠GEF'，

由线段EF绕着点E顺时针旋转60°得到线段EF'，

所以EF＝EF'．

在△DEF和△GEF'中，

，

∴△DEF≌△GEF'（SAS）．

∴∠EGF'＝∠EDF＝60°，

∴∠F'GA＝180°﹣60°﹣60°＝60°，

则点F'的运动轨迹为射线GF'．

观察图形，可得A，E关于GF'对称，

∴AF'＝EF'，

∴BF'+AF'＝BF'+EF'≥BE，

在Rt△BCH中，

∵∠H＝90°，BC＝4，∠BCH＝60°，

∴，

在Rt△BEH中，BE＝＝＝2，

∴BF'+EF'≥2，

∴△ABF'的周长的最小值为AB+BF'+EF'＝4+2，

故答案为：4+2．

【点睛】

本题考查了旋转变换，菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形等知识，解题关键在于学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．

3、

【解析】

【分析】

在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．证明，推出点在射线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，求出即可．

【详解】

解：在上取一点，使得，连接，，作直线交于，过点作于．

，，

是等边三角形，

，，

，，

是等边三角形，

，，

，

，

在和中，

，

，

，

，

点在射线上运动，

根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，

，，

，，

，

∴GT//AB

∵BG//AT

四边形是平行四边形，

，，

∴

在中，

∴

，

的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

4、6

【解析】

【分析】

先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除以外角的度数，即可得到边数．

【详解】

∵多边形的每一个内角都等于120°，

∴多边形的每一个外角都等于180°-120°=60°，

∴边数n=360°÷60°=6．

故答案为：6．

【点睛】

此题主要考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．

5、

【解析】

【分析】

根据“有一个角是直角的菱形是正方形”可得到添加的条件．

【详解】

解：由于四边形 是菱形，

如果 ，

那么四边形是正方形．

故答案为： ．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，解决本题的关键是熟练掌握正方形的判定定理．

三、解答题

1、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）根据题意作AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

（2）连接，根据平行四边形的性质求得，进而根据垂直平分线的性质以及导角可求得 是等腰直角三角形，进而证明即可得证NE＝AB．

(1)

如图，AB的垂直平分线MN，交AB于点M，交BD延长线于点N

(2)

如图，连接

四边形是平行四边形

，

，

则

是的垂直平分线

又

在与中，

【点睛】

本题考查了作垂直平分线，平行四边形的性质，垂直平分线的性质，等边对等角，三角形全等的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．

2、 (1)

(2)见解析

(3)0≤AP≤3，1.50

【解析】

【分析】

（1）证明△PAB为直角三角形，再根据勾股定理得出，而点C是线段AB的中点，即可求解；

（2）描点绘出函数图象即可；

（3）观察分析函数图象即可求解．

(1)

解：在菱形ABDE中，AB=BD

∵，

∴，

∵AD=6

当x=AP=3时，则P为AD的中点

∴，

∴AB=2BP，，

∴，

∵点C是边AB的中点，

∴，即

(2)

描点绘出函数图象如下（0≤x≤6）

(3)

当PC的长度不大于PB长度时，即y1≤y2，从图象看，此时，0≤x≤3，即0≤AP≤3，

从图象看，当x大约为1.50时，y1即PC取到最小值；

故答案为：0≤AP≤3；1.50．

【点睛】

本题考查函数的图象，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．

3、10cm

【解析】

【分析】

根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝5，即可得出答案．

【详解】

解：∵∠BOC＝120°，

∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝5cm，

∴OA＝OB＝AB＝5cm，

∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．

【点睛】

本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长，题目比较典型，是一道比较好的题目．

4、 (1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证；

（2）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证．

(1)

证明：四边形是平行四边形，

，

，

，

在和中，，

．

(2)

证明：，

，

四边形是平行四边形，

，

，

在四边形中，，

四边形是矩形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．

5、 (1)见解析

(2)当AD=AB时，四边形BEDH是正方形

【解析】

【分析】

（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；

（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形．

(1)

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，

∴∠AEF=∠CHG，

∵BE=2AB，DH=2CD，

∴BE=DH，

∴BE-AB=DH-DC，

∴AE=CH，

∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°，

∴∠EAF=∠GCH，

∴△EAF≌△HCG(ASA)，

∴AF=CG；

(2)

解：当AD=AB时，四边形BEDH是正方形；

理由：∵BE∥DH，BE=DH，

∴四边形EBHD是平行四边形，

∵EH⊥BD，

∴四边形EBHD是菱形，

∴ED=EB=2AB，

当AE2+DE2=AD2时，则∠BED=90°，

∴四边形BEDH是正方形，即AB2+(2AB)2=AD2，

∴AD=AB，

∴当AD=AB时，四边形BEDH是正方形．

．

【点睛】

本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．