初中冀教版第二十二章 四边形综合与测试优秀综合训练题

八年级数学下册第二十二章四边形综合测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、将一长方形纸条按如图所示折叠，，则（       ）

A．55° B．70° C．110° D．60°

2、一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是（       ）

A．5 B．4 C．7 D．6

3、在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（       ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④

4、下列命题是真命题的有（　　）个．

①一组对边相等的四边形是矩形；②两条对角线相等的四边形是矩形；③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是正方形；④四条边都相等的四边形是菱形；⑤一组邻边相等的矩形是正方形．

A．1 B．2 C．3 D．4

5、如图，DE是的中位线，若，则BC的长为（　　　）

A．8 B．7 C．6 D．7.5

6、下列多边形中，内角和与外角和相等的是（　　）

A． B． C． D．

7、如图，五边形中，，CP，DP分别平分，，则（　　　）

A．60° B．72° C．70° D．78°

8、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，下列结论中：①AB⊥AC；②四边形AEFD是平行四边形；③∠DFE＝150°；④S四边形AEFD＝8．错误的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

9、下列说法错误的是（       ）

A．平行四边形对边平行且相等 B．菱形的对角线平分一组对角

C．矩形的对角线互相垂直 D．正方形有四条对称轴

10、如图，在边长为的正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且于点F，连接DE，当时，（　　　）

A．1 B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在中，，D为外一点，使，E为BD的中点若，则__________．

2、如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC=62°，则∠DAC为____°．

3、如图，点M，N分别是的边AB，AC的中点，若，，则______．

4、如图，翠屏公园有一块长为12m，宽为6m的长方形草坪，绿化部门计划在草坪中间修两条宽度均为2m的石子路（两条石子路的任何地方的水平宽度都是2m），剩余阴影区域计划种植鲜花，则种植鲜花的面积为______m2．

5、在Rt中，，CD是斜边AB上的中线，已知，，则的周长等于______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在菱形ABCD中，点E、F分别是边CD、BC的中点

(1)求证：四边形BDEG是平行四边形；

(2)若菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，求EG的长．

2、如图，直线，线段分别与直线、交于点、点，满足．

(1)使用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点，交于点，交线段于点，连接、、、．（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）

(2)求证：四边形为菱形．（请补全下面的证明过程）

证明：

____①____

垂直平分

，

∴____②____

____③____

∴四边形是___④_____

∴四边形是菱形（______⑤__________）（填推理的依据）．

3、如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．

（1）计算AC2+BC2的值等于_____；

（2）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出一个以AB为一边的矩形，使该矩形的面积等于AC2+BC2，并简要说明画图方法（不要求证明）_____．

4、已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，，点E，F分别为垂足．

(1)求证：△ABE≌△CDF；

(2)求证：四边形AECF是矩形．

5、如图，已知平行四边形ABCD．

(1)用尺规完成以下基本作图：在CB上截取CE，使CE＝CD，连接DE，作∠ABC的平分线BF交AD于点F．（保留作图痕迹，不写作法）

(2)在（1）所作的图形中，证明四边形BEDF为平行四边形．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

从折叠图形的性质入手，结合平行线的性质求解．

【详解】

解：由折叠图形的性质结合平行线同位角相等可知，，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题考查折叠的性质及平行线的性质，解题的关键是结合图形灵活解决问题．

2、D

【解析】

【分析】

利用多边形内角和公式和外角和定理，列出方程即可解决问题．

【详解】

解：根据题意，得：（n-2）×180=360×2，

解得n=6．

故选：D．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，解答本题的关键是根据多边形内角和公式和外角和定理，利用方程法求边数．

3、C

【解析】

【分析】

利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．

【详解】

∵CM、BN分别是高

∴△CMB、△BNC均是直角三角形

∵点P是BC的中点

∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线

∴

故①正确

∵∠BAC=60゜

∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜

∴AB=2AN，AC=2AM

∴AN：AB=AM：AC=1：2

即②正确

在Rt△ABN中，由勾股定理得：

故③错误

当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形

∵CM⊥AB，BN⊥AC

∴M、N分别是AB、AC的中点

∴MN是△ABC的中位线

∴MN∥BC

故④正确

即正确的结论有①②④

故选：C

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．

4、B

【解析】

【分析】

根据两条对角线平分且相等的四边形是矩形，四条边都相等的四边形是菱形，如果对角线互相垂直平分且相等，那么这个四边形是正方形进行判断即可．

【详解】

解：①一组对边相等的四边形不一定是矩形，错误；

②两条对角线相等的平行四边形是矩形，错误；

③四条边都相等且对角线互相垂直的四边形是菱形，错误；

④四条边都相等的四边形是菱形，正确；

⑤一组邻边相等的矩形是正方形，正确．

故选：B．

【点睛】

此题考查考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，关键是根据矩形、正方形、菱形的判定解答．

5、A

【解析】

【分析】

已知DE是的中位线，，根据中位线定理即可求得BC的长．

【详解】

是的中位线，，

，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；掌握中位线定理是解题的关键．

6、B

【解析】

【分析】

根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可得解．

【详解】

解：设所求多边形的边数为n，根据题意得：

（n-2）•180°=360°，

解得n=4．

故选：B．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据五边形的内角和等于，由，可求的度数，再根据角平分线的定义可得与的角度和，进一步求得的度数．

【详解】

解：五边形的内角和等于，，

，

、的平分线在五边形内相交于点，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和公式，角平分线的定义，解题的关键是熟记公式，注意整体思想的运用．

8、A

【解析】

【分析】

利用勾股定理逆定理证得△ABC是直角三角形，由此判断①；证明△ABC≌△DBF得到DF＝AE，同理可证：△ABC≌△EFC，得到EF＝AD，由此判断②；由②可判断③；过A作AG⊥DF于G，求出AG即可求出 S▱AEFD，判断④．

【详解】

解：∵AB＝3，AC＝4，32+42＝52，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴AB⊥AC，故①正确；

∵△ABD，△ACE都是等边三角形，

∴∠DAB＝∠EAC＝60°，

∴∠DAE＝150°，

∵△ABD和△FBC都是等边三角形，

∴BD＝BA，BF＝BC，

∴∠DBF＝∠ABC，

在△ABC与△DBF中，

，

∴△ABC≌△DBF（SAS），

∴AC＝DF＝AE＝4，

同理可证：△ABC≌△EFC（SAS），

∴AB＝EF＝AD＝3，

∴四边形AEFD是平行四边形，故②正确；

∴∠DFE＝∠DAE＝150°，故③正确；

过A作AG⊥DF于G，如图所示：

则∠AGD＝90°，

∵四边形AEFD是平行四边形，

∴∠FDA＝180°﹣∠DFE＝180°﹣150°＝30°，

∴AG＝AD＝，

∴S▱AEFD＝DF•AG＝4×＝6；故④错误；

∴错误的个数是1个，

故选：A．

．

【点睛】

此题考查了等边三角形的性质，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的30度角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质分别进行判断即可．

【详解】

解：A、平行四边形对边平行且相等，正确，不符合题意；

B、菱形的对角线平分一组对角，正确，不符合题意；

C、矩形的对角线相等，不正确，符合题意；

D、正方形有四条对称轴，正确，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、菱形的性质和正方形的性质，掌握以上性质定理是解题的关键．

10、C

【解析】

【分析】

证明，则，计算的长，得，证明是等腰直角三角形，可得的长．

【详解】

解：四边形是正方形，

，，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

是等腰直角三角形，

，

故选：C．

【点睛】

本题考查正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是在正方形中学会利用等腰直角三角形的性质解决问题，属于中考常考题型．

二、填空题

1、##30度

【解析】

【分析】

延长BC、AD交于F，通过全等证明C是BF的中点，然后利用中位线的性质即可．

【详解】

解：延长BC、AD交于F，

在△ABC和△AFC中

，

∴△ABC≌△AFC（ASA），

∴BC=FC，

∴C为BF的中点，

∵E为BD的中点，

∴CE为△BDF的中位线，

∴CE//AF，

∴∠ACE=∠CAF，

∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠ACE=∠CAF=∠BAC=30°，

故答案为：30°．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形中位线的定义与性质，以及平行线的性质，作出正确的辅助线是解题的关键．

2、28

【解析】

【分析】

由全等三角形的性质可证△AOM≌△CON，可得AO=CO，由等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即可求解．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB//CD，AB=BC，BC//AD，

∴∠MAO=∠NCO，∠BCA=∠CAD．

在△AOM和△CON中，

，

∴△AOM≌△CON（AAS），

∴AO=CO，

又∵AB=BC，

∴BO⊥AC，

∴∠BCO=90°﹣∠OBC=28°=∠DAC．

故答案为：28．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．

3、45°##45度

【解析】

【分析】

根据三角形中位线定理得出，进而利用平行线的性质解答即可．

【详解】

解：、分别是的边、的中点，

，

，

，，

，

，

故答案是：．

【点睛】

本题考查三角形中位线定理，解题的关键是根据三角形中位线定理得出．

4、48

【解析】

【分析】

利用长方形的面积减去石子路的面积，即可求解．

【详解】

解：根据题意得：种植鲜花的面积为 ．

故答案为：48

【点睛】

本题主要考查了求平行四边形的面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

5、##

【解析】

【分析】

过点作，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，根据等腰三角形的三线合一可得,中位线的性质求得，根据勾股定理求得，继而求得的周长．

【详解】

解：如图，过点作

在Rt中，，CD是斜边AB上的中线，

为的中点，

又为的中点，则

在中，

的周长等于

故答案为：

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一，中位线的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．

三、解答题

1、 (1)证明见解析

(2)10

【解析】

【分析】

（1）利用AC平分∠BAD，AB∥CD，得到∠DAC＝∠DCA，即可得到AD＝DC，利用一组对边平行且相等可证明四边形ABCD是平行四边形，再结合AB＝AD，即可求证结论；

（2）根据菱形的性质，得到CD＝13，AO＝CO＝12，结合中位线性质，可得四边形BDEG是平行四边形，利用勾股定理即可得到OB、OD的长度，即可求解．

(1)

证明：∵AC平分∠BAD，AB∥CD，

∴∠DAC＝∠BAC，∠DCA＝∠BAC，

∴∠DAC＝∠DCA，

∴AD＝DC，

又∵AB∥CD，AB＝AD，

∴AB∥CD且AB＝CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形．

(2)

解：连接BD，交AC于点O，如图：

∵菱形ABCD的边长为13，对角线AC＝24，

∴CD＝13，AO＝CO＝12，

∵点E、F分别是边CD、BC的中点，

∴EF∥BD（中位线），

∵AC、BD是菱形的对角线，

∴AC⊥BD，OB＝OD，

又∵AB∥CD，EF∥BD，

∴DE∥BG，BD∥EG，

∵四边形BDEG是平行四边形，

∴BD＝EG，

在△COD中，

∵OC⊥OD，CD＝13，CO＝12，

∴，

∴EG＝BD＝10．

【点睛】

本题考查了平行四边形性质判定方法、菱形的判定和性质、等腰三角形性质、勾股定理等知识，关键在于熟悉四边形的判定方法和在题目中找到合适的判定条件．

2、 (1)见解析

(2)①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形

【解析】

【分析】

（1）分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；

（2）：根据，内错角相等得出∠2①，根据垂直平分       ，得出，，可证②△EOC，根据全等三角形性质得出OF③，再证，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判定四边形是平行四边形④，根据对角线互相垂直即可得出四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤）．

(1)

解：分别以A、D为圆心，大于AD的一半长为半径，画弧，两弧交于两点，然后过这两点作直线交l1于E，交l2于F，直线EF为线段AD的垂直平分线，连接、、、即可；

如图所示

(2)

证明：，

∠2①，

垂直平分       ，

，，

∴②△EOC，

OF③，

，

，

，

∴四边形是平行四边形④，

，

∴四边形是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形⑤），

故答案为：①；②；③；④平行四边形；⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

【点睛】

本题考查尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定，掌握尺规作图，垂直平分线性质，三角形全等判定与性质，菱形的判定是解题关键．

3、     11     见解析

【解析】

【分析】

（1）直接利用勾股定理求出即可；

（2）首先分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；进而得出答案．

【详解】

解：（1）AC2+BC2＝（）2+32＝11；

故答案为：11；

（2）分别以AC、BC、AB为一边作正方形ACED，正方形BCNM，正方形ABHF；

延长DE交MN于点Q，连接QC，平移QC至AG，BP位置，直线GP分别交AF，BH于点T，S，则四边形ABST即为所求，如图，

【点睛】

本题考查了勾股定理，无刻度直尺作图，平行四边形与矩形的性质，掌握勾股定理以及特殊四边形的性质是解题的关键．

4、 (1)证明见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）先根据平行四边形的性质可得，再根据垂直的定义可得，然后根据三角形全等的判定定理（定理）即可得证；

（2）先根据平行四边形的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据矩形的判定即可得证．

(1)

证明：四边形是平行四边形，

，

，

，

在和中，，

．

(2)

证明：，

，

四边形是平行四边形，

，

，

在四边形中，，

四边形是矩形．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握各判定定理与性质是解题关键．

5、 (1)见解析

(2)见解析

【解析】

【分析】

（1）延长CB到E使CE＝CD，然后作∠ABC的平分线交AD的延长线于F；

（2）先根据平行四边形的性质得到AD＝BC，AB＝CD，ADBC，则CE＝AB，再证明∠ABF＝∠F得到AB＝AF，然后证明BE＝DF，从而可判断四边形BEDF为平行四边形．

(1)

如图，DE、BF为所作；

(2)

证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD＝BC，AB＝CD，AD∥BC，

∵CE＝CD，

∴CE＝AB，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∵AFBC，

∴∠CBF＝∠F，

∴∠ABF＝∠F，

∴AB＝AF，

∴CE＝AF，即CB＋BE＝AD＋DF，

∴BE＝DF，

∵BEDF，

∴四边形BEDF为平行四边形．

【点睛】

本题考查了作线段，作角平分线，平行四边形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．