初中数学冀教版八年级下册第二十二章 四边形综合与测试精品课时训练

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八年级数学下册第二十二章四边形综合训练
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、在平行四边形ABCD中，∠A ∶∠ B ∶∠ C ∶∠ D的值可以是（ ）
A．1∶2∶3∶4 B．1∶2∶2∶1 C．2∶2∶1∶1 D．1∶2∶1∶2
2、如图，在正方形ABCD中，点E、点F分别在AD、CD上，且AE＝DF，若四边形OEDF的面积是1，OA的长为1，则正方形的边长AB为（　　）

A．1 B．2 C． D．2
3、已知锐角∠AOB，如图．

（1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交射线OB于点D，连接CD；
（2）分别以点C，D为圆心，CD长为半径作弧，两弧交于点P，连接CP，DP；
（3）作射线OP交CD于点Q．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（　　　）
A．四边形OCPD是菱形 B．CP=2QC
C．∠AOP=∠BOP D．CD⊥OP
4、如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE=AD，则∠ACE的度数为（　　　）

A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°
5、如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是各边上的点，对于四边形E，F，G，H的形状，小聪进行了探索，下列结论错误的是（　　　）

A．E，F，G，H是各边中点．且AC=BD时，四边形EFGH是菱形
B．E，F，G，H是各边中点．且AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形
C．E，F，G，H不是各边中点．四边形EFGH可以是平行四边形
D．E，F，G，H不是各边中点．四边形EFGH不可能是菱形
6、已知：在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至点F，使得EF=DE，那么四边形AFCD一定是（ ）
A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形
7、如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴，y轴于A、B两点，C为线段OB上一点，过点C作轴交l于点D，若的顶点E恰好落在直线上，则点C的坐标为（ ）

A． B． C． D．
8、如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则下列四个说法：①x2+y2=49，②x﹣y=2，③2xy+4=49，④x+y=9．
其中说法正确的是（　　　）

A．②③ B．①②③ C．②④ D．①②④
9、如图，为了测量一块不规则绿地B，C两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点A，然后测量出AB，AC的中点D，E，如果测量出D，E两点间的距离是8m，那么绿地B，C两点间的距离是（　　）

A．4m B．8m C．16m D．20m
10、如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B′恰好落在AD边上，则BE的长度为（ ）

A．1 B． C． D．2
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在菱形ABCD中，点M、N分别交于AB、CD上，AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠OBC=62°，则∠DAC为____°．

2、如图，矩形的两条对角线相交于点，已知，，则矩形对角线的长为_______．

3、在任意△ABC中，取AB、AC边中点D、E，连接DE．像DE这样，连接三角形两边中点的线段叫做三角形的______．
一个三角形有______条中位线．

4、长方形纸片按图中方式折叠，其中为折痕，如果折叠后在一条直线上，那么的大小是________度．

5、如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB＝，且AC：BD＝2：3，那么AC的长为___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、已知：在平行四边形ABCD中，分别延长BA，DC到点E，H，使得BE＝2AB，DH＝2CD．连接EH，分别交AD，BC于点F，G．

(1)求证：AF＝CG；
(2)连接BD交EH于点O，若EH⊥BD，则当线段AB与线段AD满足什么数量关系时，四边形BEDH是正方形？
2、在平面直角坐标系中，已知点，，，以点，，为顶点的平行四边形有三个，记第四个顶点分别为，，，如图所示．

(1)若，则点，，的坐标分别是（　　），（　　），（　　）；
(2)若△是以为底的等腰三角形，
①直接写出的值；
②若直线与△有公共点，求的取值范围．
(3)若直线与△有公共点，求的取值范围．
3、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

(1)试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；
(2)如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；
(3)如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．
4、已知：线段m．
求作：矩形ABCD，使矩形宽AB＝m，对角线AC＝m．

5、如图，在中，于点E，延长BC至点F，使，连接AF，DE，DF．

(1)求证：四边形AEFD为矩形；
(2)若，，，求DF的长．

-参考答案-
一、单选题
1、D
【解析】
略
2、C
【解析】
【分析】
根据正方形的性质得到AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，根据全等三角形的性质得到∠ABE=∠DAF，求得∠AOB=90°，根据三角形的面积公式得到OA=1，由勾股定理即可得到答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠ADF=90°，
在△ABE与△DAF中，
，
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE=∠DAF，
∴∠ABE+∠BAO=∠DAF+∠BAO=90°，
∴∠AOB=90°，
∵△ABE≌△DAF，
∴S△ABE=S△DAF，
∴S△ABE-S△AOE=S△DAF-S△AOE，
即S△ABO=S四边形OEDF=1，
∵OA=1，
∴BO=2，
∴AB=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得△ABE≌△DAF是解题的关键．
3、A
【解析】
【分析】
根据作图信息可以判断出OP平分，由此可以逐一判断即可．
【详解】
解：由作图可知，平分
∴OP垂直平分线段CD
∴∠AOP=∠BOP，CD⊥OP
故选项C，D正确；
由作图可知，
∴是等边三角形，
∴
∵OP垂直平分线段CD
∴
∴CP=2QC
故选项B正确，不符合题意；
由作图可知，,不能确定四边形OCPD是菱形，故选项A符合题意，
故选：A
【点睛】
本题考查了基本作图，解题的关键是熟练掌握作图的依据．
4、A
【解析】
【分析】
利用正方形的性质证明∠DBC=45°和BE=BC，进而证明∠BEC=67.5°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=AD，∠DBC=45°，
∵BE=AD，
∴BE=BC，
∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，
∵AC⊥BD，
∴∠COE=90°，
∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，
故选：A．
【点睛】
本题考查正方形的性质，以及等腰三角形的性质，掌握正方形的性质并加以利用是解决本题的关键．
5、D
【解析】
【分析】
当为各边中点，，，四边形是平行四边形；A中AC=BD，则，平行四边形为菱形，进而可判断正误；B中AC⊥BD，则，平行四边形为矩形，进而可判断正误；E，F，G，H不是各边中点，C中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是平行四边形，进而可判断正误；D中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是菱形，进而可判断正误．
【详解】
解：如图，连接当为各边中点时，可知分别为的中位线

∴
∴四边形是平行四边形
A中AC=BD，则，平行四边形为菱形；正确，不符合题意；
B中AC⊥BD，则，平行四边形为矩形；正确，不符合题意；
C中E，F，G，H不是各边中点，若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是平行四边形；正确，不符合题意；
D中若四点位置满足，则可知四边形EFGH可以是菱形；错误，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，中位线等知识．解题的关键在于熟练掌握特殊平行四边形的判定．
6、B
【解析】
【分析】
先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明AC=DF即可．
【详解】
解：∵E是AC中点，
∴AE=EC，
∵DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AD=DB，AE=EC，
∴DE=BC，
∴DF=BC，
∵CA=CB，
∴AC=DF，
∴四边形ADCF是矩形；
故选：B．

【点睛】
本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相等的平行四边形是矩形是解决问题的关键．
7、D
【解析】
【分析】
设点 ，根据轴，可得点 ，再根据平行四边形的性质可得点轴， ，则， ，即可求解．
【详解】
解：设点 ，
∵轴，
∴点 ，
∵四边形是平行四边形，
∴轴， ，
∴点 ，
∴ ，
∵直线分别交y轴于B两点，
∴当 时， ，
∴点 ，
∴ ，
∴，解得： ，
∴ ，
∴点 ．
故选：D
【点睛】
本题主要考查了一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，熟练掌握一次函数的图形和性质，平行四边形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
8、B
【解析】
【分析】
根据正方形的性质，直角三角形的性质，直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答即可．
【详解】
如图所示，

∵△ABC是直角三角形，
∴根据勾股定理：，故①正确；
由图可知，故②正确；
由图可知，四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和为大正方形的面积，
列出等式为，
即，故③正确；
由可得，
又∵，
两式相加得：，
整理得：，
，故④错误；
故正确的是①②③．
故答案选B．
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的应用，正方形性质，完全平方公式的应用，算术平方根，准确分析判断是解题的关键．
9、C
【解析】
【分析】
根据三角形中位线定理即可求出．
【详解】
解：中，、分别是、的中点，
为三角形的中位线，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半．
10、D
【解析】
【分析】
由正方形的性质得出∠EFD=∠BEF=60°，由折叠的性质得出∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，由直角三角形的性质可得：2（3-x）=x，解方程求出x即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠A=90°，
∴∠EFD=∠BEF=60°，
∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，
∴∠BEF=∠FEB'=60°，BE=B'E，
∴∠AEB'=180°-∠BEF-∠FEB'=60°，
∴B'E=2AE，
设BE=x，则B'E=x，AE=3-x，
∴2（3-x）=x，
解得x=2．
故选：D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键．
二、填空题
1、28
【解析】
【分析】
由全等三角形的性质可证△AOM≌△CON，可得AO=CO，由等腰三角形的性质可得BO⊥AC，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB//CD，AB=BC，BC//AD，
∴∠MAO=∠NCO，∠BCA=∠CAD．
在△AOM和△CON中，
，
∴△AOM≌△CON（AAS），
∴AO=CO，
又∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BCO=90°﹣∠OBC=28°=∠DAC．
故答案为：28．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握菱形的性质是本题的关键．
2、5
【解析】
【分析】
由矩形的性质可证△AOB为等边三角形，可求BO=AB的长，即可求BD的长．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=CO=BO=DO，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，且AO=BO，
∴△ABO为等边三角形，
∴AO=BO=AB=2.5，
∴BD=5，
故答案为：5．
【点睛】
本题考查矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是本题的关键，①矩形的对边平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等且互相平分．
3、 中位线 3
【解析】
略
4、90
【解析】
【分析】
根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，利用平角，计算∠2+∠3的度数即可．
【详解】
如图，根据折叠的性质，∠1=∠2，∠3=∠4，

∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，
∴2∠2+2∠3=180°，
∴∠2+∠3=90°，
∴=90°，
故答案为：90．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，两个角的和，熟练掌握折叠的性质，灵活运用两个角的和是解题的关键．
5、4
【解析】
【分析】
四边形是平行四边形，可得，由，可知，由可知在中勾股定理求解的值，进而求解的值．
【详解】
解：∵四边形是平行四边形
∴
∵
∴
∵
∴
∴设
则
解得：
则
故
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了勾股定理，平行四边形的性质等知识．解题的关键在于正确的求解．
三、解答题
1、 (1)见解析
(2)当AD=AB时，四边形BEDH是正方形
【解析】
【分析】
（1）要证明AF=CG，只要证明△EAF≌△HCG即可；
（2）利用已知可得四边形BEDH是菱形，所以当AE2+DE2=AD2时，∠BED=90°，四边形BEDH是正方形．
(1)
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，∠BAD=∠BCD，
∴∠AEF=∠CHG，
∵BE=2AB，DH=2CD，
∴BE=DH，
∴BE-AB=DH-DC，
∴AE=CH，
∴∠BAD+∠EAF=180°，∠BCD+∠GCH=180°，
∴∠EAF=∠GCH，
∴△EAF≌△HCG(ASA)，
∴AF=CG；
(2)
解：当AD=AB时，四边形BEDH是正方形；
理由：∵BE∥DH，BE=DH，
∴四边形EBHD是平行四边形，
∵EH⊥BD，
∴四边形EBHD是菱形，
∴ED=EB=2AB，
当AE2+DE2=AD2时，则∠BED=90°，
∴四边形BEDH是正方形，即AB2+(2AB)2=AD2，
∴AD=AB，
∴当AD=AB时，四边形BEDH是正方形．
．
【点睛】
本题考查了正方形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，结合图形分析并熟练掌握正方形的判定，平行四边形的性质，是解题的关键．
2、 (1)-3，3，1，3，-3，-1
(2)①-2；②
(3)或
【解析】
【分析】
（1）分别以、、为对角线，利用平行四边形以及平移的性质可得点，，的坐标；
（2）①根据平行公理得，、在同一直线上，、、在同一直线上，可得是等腰三角形△的中位线，求出，即可得的值；
②由①求得的的值可得，的坐标，分别求出直线过点，时的值即可求解；
（3）由题意用表示出点，，的坐标，画出图形，求出直线与△交于点，时的值即可求解．
(1)
解：，，
，轴．
以为对角线时，
四边形是平行四边形，
，，
将向左平移2个单位长度可得，即；
以为对角线时，
四边形是平行四边形，
，，
将向右平移2个单位长度可得，即；
以为对角线时，
四边形是平行四边形，
对角线的中点与的中点重合，
的中点为，，
．
故答案为：，，；
(2)
解：①如图，若△是以为底的等腰三角形，

四边形，，是平行四边形，
，，，
、、在同一直线上，、、在同一直线上，，
是等腰三角形△的中位线，
，，
，，，
，
；
②由①得，
，．
当直线过点时，，解得：，
当直线过点时，，解得：，
的取值范围为；
(3)
解：如图，，，，
，．

连接、交于点，
四边形是平行四边形，
点、关于点对称，
，
直线与△有公共点，
当直线与△交于点，，解得：，
时，直线与△有公共点；
当直线与△交于点，，解得：，
时，直线与△有公共点；
综上，的取值范围为或．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形性质，平移的性质，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征等知识，解题的关键是利用数形结合与分类讨论的思想进行求解．
3、 (1)AE＝t，AD＝12﹣2t，DF＝t
(2)见解析
(3)3，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意用含t的式子表示AE、CD，结合图形表示出AD，根据直角三角形的性质表示出DF；
（2）根据对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（3）根据矩形的定义列出方程，解方程即可．
(1)
解：由题意得，AE＝t，CD＝2t，
则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，
∵DF⊥BC，∠C＝30°，
∴DF＝CD＝t；
(2)
解：∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，
∴，
∵AE＝t，DF＝t，
∴AE＝DF，
∴四边形AEFD是平行四边形；
(3)
解：当t＝3时，四边形EBFD是矩形，
理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝AC＝6cm，
∵，
∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，
解得，t＝3，
∵∠ABC＝90°，
∴四边形EBFD是矩形，
∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．
【点睛】
此题考查了30度角的性质，平行四边形的判定及性质，矩形的定义，一元一次方程，三角形与动点问题，熟练掌握四边形的知识并综合应用是解题的关键．
4、见详解
【解析】
【分析】
先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，然后以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，利用作一个角等于已知角，过A作BC的平行线AD，过C作AB的平行线CD，两线交于D即可．
【详解】
解：先作m的垂直平分线，取m的一半为AB，
以点A为圆心，以m长为半径画弧，交m的垂直平分线于C，连结AC，
过A作BC的平行线，与过C作AB的平行线交于D，
则四边形ABCD为所求作矩形；

∵AD∥BC，CD∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∵AB=，AC=m，
∴矩形的宽与对角线满足条件，
∴四边形ABCD为所求作矩形．
【点睛】
本题考查矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法，掌握矩形作图，线段垂直平分线，作线段等于已知线段，平行线作法是解题关键．
5、 (1)见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据线段的和差关系可得BC＝EF，根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，即可得出AD＝EF，可证明四边形AEFD为平行四边形，根据AE⊥BC即可得结论；
（2）根据矩形的性质可得AF＝DE，可得△BAF为直角三角形，利用“面积法”可求出AE的长，即可得答案．
(1)
∵BE＝CF，
∴BE+CE＝CF+CE，即BC＝EF，
∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD为矩形．
(2)
∵四边形AEFD为矩形，
∴AF＝DE＝4，DF=AE，
∵，，，
∴AB2+AF2＝BF2，
∴△BAF为直角三角形，∠BAF＝90°，
∴，
∴AE=，
∴．
【点睛】
本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．