初中数学第30章 二次函数综合与测试精品单元测试同步达标检测题

九年级数学下册第三十章二次函数单元测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、对于抛物线下列说法正确的是（       ）

A．开口向下 B．其最大值为-2 C．顶点坐标 D．与x轴有交点

2、二次函数图像的顶点坐标是（       ）

A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）

3、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）

A． B．

C． D．

4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝﹣bx+c的图象不经过（　　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）

A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)

6、将关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线经过三点、、，则、、的大小关系是（       ）

A． B． C． D．

7、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（       ）

A．正方体集装箱的体积，棱长xm

B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm

C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm

8、在抛物线的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

9、将二次函数y=2x2的图像先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的函数图像的表达式为（     　）

A．y=2(x+2)2+3 B．y=2(x-2)2+3 C．y=2(x+2)2-3 D．y=2(x-2)2-3

10、二次函数y＝a+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0，④4a-2b+c＞0；其中正确结论的个数是（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、二次函数 y  2x21 的图象开口方向______．（填“向上”或“向下”）

2、抛物线与x轴的两个交点之间的距离为4，则t的值是______．

3、若抛物线与轴交于原点，则的值为 __．

4、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．

5、已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有______（只填序号）．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．

(1)求此抛物线的表达式；

(2)若 ，求点P的坐标；

(3)连接AC，求 PAC面积的最大值及此时点P的坐标．

2、抛物线与x轴交和点B，交y轴于点C，对称轴为直线．

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图，若点D为线段BC下方抛物线上一点，过点D作轴于点E，再过点E作于点F，请求出的最大值．

3、（1）解方程：2x2﹣3x﹣1＝0；

（2）用配方法求抛物线y＝x2+4x﹣5的开口方向、对称轴和顶点坐标．

4、如图，Rt中，．点P从点A出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，将线段绕点P旋转使（点在点P右侧），过点作交射线于点M，设点P运动的时间为t（秒）．

(1)的长为___________（用含t的代数式表示）

(2)当落在的角平分线上时，求此时t的值．

(3)设与重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S关于t的函数关系式．并求当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

5、如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．

(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为       ；

(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为      ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为      ；

(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．

①求碗顶M的坐标；

②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

根据二次函数的性质对各选项分析判断即可得解．

【详解】

解：由y=（x-1）2-2，可知，a=1＞0，则抛物线的开口向上，

∴A选项不正确；

由抛物线，可知其最小值为-2，∴B选项不正确；

由抛物线，可知其顶点坐标，∴C选项不正确；

在抛物线中，△=b²-4ac=8>0，与与x轴有交点，∴D选项正确；

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握开口方向，对称轴、顶点坐标以及与x轴的交点坐标的求法是解决问题的关键．

2、C

【解析】

【分析】

直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．

3、D

【解析】

【分析】

分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．

【详解】

解：∵，，，

∴BC=，

过CA点作CH⊥AB于H，

∴∠ADE=∠ACB=90°，

∵，

∴CH=4.8，

∴AH=，

当0≤x≤6.4时，如图1，

∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，

∴△ADE∽△ACB，

∴，即，解得：x=，

∴y=•x•=x2；

当6.4＜x≤10时，如图2，

∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，

∴△BDE∽△BCA，

∴，

即，解得：x=，

∴y=•x•=；

故选：D．

【点睛】

本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．

4、D

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的开口方向、对称轴判断出a、b的正负情况，再由一次函数的性质解答．

【详解】

解：由势力的线与y轴正半轴相交可知c>0，

对称轴x=-＜0，得b<0．

∴

所以一次函数y＝﹣bx+c的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数图象和一次函数图象的性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．

5、A

【解析】

【分析】

根据顶点式的顶点坐标为求解即可

【详解】

解：抛物线的顶点坐标是

故选A

【点睛】

本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．

6、C

【解析】

【分析】

根据题意求得平移后的二次函数的对称轴以及开口方向，根据三个点与对称轴的距离大小判断函数值的大小即可

【详解】

解：∵关于x的二次函数的图像向上平移1单位，得到的抛物线解析式为，

∴新抛物线的对称轴为，开口方向向上，则当抛物线上的点距离对称轴越远，其纵坐标越大，即函数值越大，

平移后的抛物线经过三点、、，

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的对称轴直线x=，图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线的开口向上，x＜时，y随x的增大而减小；x＞时，y随x的增大而增大；x=时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线的开口向下，x＜时，y随x的增大而增大；x＞时，y随x的增大而减小；x=时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点，掌握二次函数的性质是解题的关键．

7、D

【解析】

【分析】

根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．

【详解】

A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

把三个点，，的横坐标代入解析式，然后比较函数值大小即可．

【详解】

解：把三个点，，的横坐标代入解析式得，

；；；

所以，，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出函数值，再比较大小．

9、A

【解析】

【分析】

按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式．

【详解】

解：抛物线y=2x2先向左平移2个单位得到解析式：y=2（x+2）2，再向上平移3个单位得到抛物线的解析式为：y=2（x+2）2+3．

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．

10、B

【解析】

【分析】

看抛物线与x轴交点个数，判定判别式的符号；根据抛物线开口方向，对称轴与x轴的交点位置，与y轴的交点位置，确定a，b，c的符号；根据对称轴，确定a，b之间的关系；当x= -2时，利用图像，观察直线x=-2与抛物线的交点位置，判定函数值的正负即可．

【详解】

∵抛物线与x轴有两个不同的交点，

∴﹣4ac＞0；

故①正确；

∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，＞0，

∴a＜0，b＞0， c＞0，

∴abc＜0；

故②正确；

∵，

∴4a+b＝0，

故③正确；

x= -2时，y=4a-2b+c，

根据函数的增减性，得4a-2b+c＜0；

故④错误.

故选B．

【点睛】

本题考查了抛物线的图像与各项系数的关系，抛物线与x轴的交点，对称性，增减性，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．

二、填空题

1、向上

【解析】

【分析】

根据二次函数图象的性质，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下可求解．

【详解】

∵a=2>0，

∴二次函数y=2x2+1图象的开口方向是向上，

故答案为：向上．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，由a的符号确定抛物线的开口方向是解题的关键．

2、

【解析】

【分析】

设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为 则是的两根，且 再利用两个交点之间的距离为4列方程，再解方程可得答案.

【详解】

解：设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为

是的两根，且

两个交点之间的距离为4，

解得： 经检验：是原方程的根且符合题意，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，两个交点之间的距离，掌握“求解二次函数与轴的交点坐标”是解本题的关键.

3、-3

【解析】

【分析】

根据函数图象经过原点时，，，代入即可求出的值．

【详解】

解：抛物线与轴交于原点，

当时，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当时，是解决问题的关键．

4、x＝﹣1

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.

【详解】

解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线：

故答案为：

【点睛】

本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.

5、③④⑤

【解析】

【分析】

先利用二次函数的开口方向，与轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：判断的符号，可判断①，由图象可得：在第三象限，可判断②，由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，可得点在第一象限，可判断③，由在第四象限，抛物线的对称轴为： 即 可判断④，当时，，当， 此时： 可判断⑤，从而可得答案.

【详解】

解：由二次函数的图象开口向下可得：

二次函数的图象与轴交于正半轴，可得

二次函数的对称轴为： 可得

所以： 故①不符合题意；

由图象可得：在第三象限，

故②不符合题意；

由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，

点在第一象限，

故③符合题意；

在第四象限，

抛物线的对称轴为：

故④符合题意；

当时，，

当，

此时：

故⑤符合题意；

综上：符合题意的有：③④⑤，

故答案为：③④⑤．

【点睛】

本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.

三、解答题

1、 (1)；

(2)P(，﹣2)；

(3)面积的最大值为8，此时点P(﹣2，﹣5)．

【解析】

【分析】

（1）由题意及抛物线解析式可得：，而，得出，，即可确定点A、B、C的坐标，利用交点式代入即可确定解析式；

（2）根据（1）中解析式可得抛物线的对称轴为，当时，点P、C的纵坐标相同，横坐标之和除以2为对称抽，即可求解；

（3）过点P作轴交AC于点H，设直线AC的解析式为：，将点、代入确定直线解析式，结合图象可得，与底为同底，高的和为OA长度，代入三角形面积得出，据此即可得出面积的最大值及此时点P的坐标．

(1)

解：抛物线，则，

∴，

∵，

∴，，

∴点A、B、C的坐标分别为、、，

∴，

将代入可得，

解得：，

∴，

故抛物线的表达式为：；

(2)

解：，

其中：，，，

∴抛物线的对称轴为，

∵，

∴点P、C的纵坐标相同，

∴根据函数的对称性得点；

(3)

解：过点P作轴交AC于点H，

设直线AC的解析式为：，

将点、代入可得：

，

解得：，

直线AC的解析式为：，

∴，

∴，

，

，

，

∵，

∴当时，，此时面积最大，

当时，

，

∴，

答：的面积最大为8，此时点．

【点睛】

题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数图象的基本性质等，理解题意，结合图象作出相应辅助线，综合运用二次函数基本性质是解题关键．

2、 (1)

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据二次函数的对称轴及过一点，建立等式进行求解；

（2）先证明出是等腰三角形，再利用二次函数的性质结合配方法求解即可．

(1)

解：对称轴为，

把代入得：，

解得：，

抛物线的解析式为；

(2)

解：设点D的坐标为，

点D在BC的下方，

，

，

，

，

，

是等腰三角形，

，

轴，

E的坐标为，

，

，

，

当时，的最大值是．

【点睛】

本题考查了求解二次函数的解析式、二次函数的性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是求解出解析式．

3、（1） ；（2）抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为

【解析】

【分析】

（1）利用公式法，即可求解；

（2）先将抛物线解析式化为顶点式，即可求解．

【详解】

解：（1）

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ；

（2）

∴抛物线的开口向上，对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，二次函数的图象和性质，熟练掌握一元二次方程的解法，二次函数的图象和性质是解题的关键．

4、 (1)

(2)

(3)，当时，S有最大值

【解析】

【分析】

（1）先利用勾股定理求出，然后证明，得到，即，则，，即可得到；

（2）延长交BC于D，由，得到，，则

再由在∠ABC的角平分线上，，，得到，则，由此求解即可；

（3）先求出当点正好落在BC上时，，然后讨论当△ABC与重叠部分即为，然后求出当点M恰好与B重合时，，讨论当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，由此求解即可．

(1)

解：由旋转的性质可得，

∵在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，

∴，

∵，，

∴，，

∴，

∴，即，

∴，，

∴；

(2)

解：如图所示，延长交BC于D，

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BC，

∵，

∴，，

∴

∵在∠ABC的角平分线上，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

解得；

(3)

解：如图2所示，当点正好落在BC上时，

∴，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

又∵，

∴，

解得，

当，如图1所示，△ABC与重叠部分即为，

∴此时；

当点M恰好与B重合时，此时，

∴，

解得，

当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，

∴，

同理可证，

∴，即，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴即，

∴，

∴，

∴；

当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，

同理可证，

∴，即，

∴，，

∴，

∴综上所述，

∴，

∴由二次函数的性质可知，

∴当时，S有最大值．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．

5、 (1)4

(2)，

(3)（2，-3），

【解析】

【分析】

（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m），代入抛物线的解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．

（2）利用（1）中方法可求碗宽，根据等腰直角三角形可知碗高是碗宽的一半．

（3）①由碗高为3求出a，再求顶点坐标即可；②作QS⊥BP于S，找到PQ和QS的关系后即可解决问题．

(1)

解：根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．

把B（m，m）代入y＝x2，得，解得，m＝2或0（舍去），

∴A（﹣2，2），B（2，2），

∴AB＝4，即碗宽为4；

故答案为：4．

(2)

解：类似（1）设B（n，n）,代入y＝a x2，得，解得，n＝或0（舍去），AB＝，即碗宽为；

抛物线y＝a（x﹣2）2+3是由抛物线y＝ax2平移得到的，所以，它们的碗宽一样为，根据等腰直角三角形的性质，可知可知碗高是碗宽的一半，即；

故答案为：，．

(3)

解：①抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．由（2）可知，

解得，，抛物线解析式为，化成顶点式为；

则M的坐标为（2，-3）；

②如图，作QS⊥BP于S，由旋转可知∠PBO=30°，因为过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q，

∴PQ⊥OB，

∴∠QPB=60°，∠PQS=30°，

∴PQ=2PS，，

当QS等于碗高时，QS最大，此时PQ长度的最大，

由（2）可知QS最大为3，则，；

PQ长度的最大值为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质和直角三角形的性质，解题关键是准确理解题意，熟练运用二次函数的性质和直角三角形的性质求解．