初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品练习

这是一份初中数学冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试精品练习，共26页。试卷主要包含了抛物线y＝42+3的顶点坐标是，二次函数y＝ax2﹣4ax＋c等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数同步测评 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题  30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（       ）A． B． C． D．2、抛物线的对称轴是（       ）A．直线 B．直线 C．直线 D．直线3、下列函数中，随的增大而减小的是（       ）A． B．C． D．4、2020年2月3日，随着南立交匝道最后一条交通线划线完毕，蒙山大道祊河桥迎来了南北东西方向全线通车，蒙山高架路“踏实落地”，市民从此可一路畅通．蒙山大道祊河桥（如图1），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图2所示，此钢拱（近似看成二次函数的图象－抛物线）在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A，B两点，拱高为78米（即最高点O到AB的距离为78米），跨径为90米（即AB＝90米），以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为轴建立平面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为（       ）A． B． C． D．5、已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（       ）A．该函数图象与轴的交点坐标是B．当时，的值随值的增大而减小C．当取1和3时，所得到的的值相同D．将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象6、抛物线y＝4(2x﹣3)2+3的顶点坐标是（　　）A．(，3) B．(4，3) C．(3，3) D．(﹣3，3)7、如图，在中，，，，是边上一动点，沿的路径移动，过点作，垂足为．设，的面积为，则下列能大致反映与函数关系的图象是（       ）A． B．C． D．8、抛物线的函数表达式为，若将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（       ）A． B．C． D．9、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（       ）A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜010、二次函数的图像如图所示，那么点在（       ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限第Ⅱ卷（非选择题  70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、抛物线与y轴的交点坐标为_________．2、抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线______．3、抛物线的顶点坐标是______．4、二次函数 y &#xF03D; 2x2&#xF02B;1 的图象开口方向______．（填“向上”或“向下”）5、将抛物线y=x2向左平移3个单位所得图象的函数表达式为___．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长为，宽为，抛物线的最高点离路面的距离为．(1)求抛物线的函数表达式；(2)一大型货车装载设备后高为，宽为．如果隧道内设双向行驶车道，那么这辆货车能否安全通过？2、如图，抛物线经过点，，．(1)求抛物线的解析式；(2)若点为第三象限内抛物线上的一点，设的面积为，求的最大值并求出此时点的坐标；(3)设抛物线的顶点为，在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．3、如图，二次函数（m是实数，且）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C，已知点D位于第一象限，且在对称轴上，，点E在x轴的正半轴上，．连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．(1)求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；(2)已知点Q在抛物线的对称轴上，当的周长的最小值等于，求m的值．4、图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m．以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，若点P的坐标为．(1)求拱桥所在抛物线的函数表达式；(2)因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少？（结果保留根号）5、某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可看作一次函数：，已知当销售单价定为25元时，李明每月获得利润为1250元．(1)求的值；(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？（注：利润=（销售单价-进价）×销售量） -参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．【详解】解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．故选：C．【点睛】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．2、C【解析】【分析】抛物线的对称轴为：，根据公式直接计算即可得．【详解】解：，其中：，，，，故选：C．【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴的公式是解本题的关键，注意对称轴是直线．3、C【解析】【分析】根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．【详解】解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；B．在中，y随x的增大与增大，不合题意；C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．4、B【解析】【分析】直接利用图象设出抛物线解析式，进而得出答案．【详解】∵拱高为78米(即最高点O到AB的距离为78米)，跨径为90米(即AB=90米)，以最高点O为坐标原点，以平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，∴设抛物线解析式为y=ax2，点B(45，-78)，∴-78=452a，解得：a=，∴此抛物线钢拱的函数表达式为，故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，正确设出抛物线解析式是解题关键．5、C【解析】【分析】把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D．【详解】∵二次函数的图象与轴的交点坐标是，∴A选项错误；∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，∴当时，的值随值的增大而增大，∴B选项错误；∵当取和时，所得到的的值都是11，∴C选项正确；∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象，∴D选项错误．故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．6、A【解析】【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可【详解】解：抛物线的顶点坐标是故选A【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．7、D【解析】【分析】分两种情况分类讨论：当0≤x≤6.4时，过C点作CH⊥AB于H，利用△ADE∽△ACB得出y与x的函数关系的图象为开口向上的抛物线的一部分；当6.4＜x≤10时，利用△BDE∽△BCA得出y与x的函数关系的图象为开口向下的抛物线的一部分，然后利用此特征可对四个选项进行判断．【详解】解：∵，，，∴BC=，过CA点作CH⊥AB于H，∴∠ADE=∠ACB=90°，∵，∴CH=4.8，∴AH=，当0≤x≤6.4时，如图1，∵∠A=∠A，∠ADE=∠ACB=90°，∴△ADE∽△ACB，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=x2；当6.4＜x≤10时，如图2，∵∠B=∠B，∠BDE=∠ACB=90°，∴△BDE∽△BCA，∴，即，解得：x=，∴y=•x•=；故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出y与x的函数关系式．8、C【解析】【分析】此题可以转化为求将抛物线“向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为 ，∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线顶点坐标为 ，∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为，∴将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为．故选：C【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律——左加右减，上加下减是解题关键．9、C【解析】【分析】根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．【详解】解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，∵-2＜0＜2＜3＜5，∴y3＜y2＜y4＜y1，若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．10、C【解析】【分析】根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置即可判断出a、b、c的符号，进而求出的符号．【详解】由函数图像可得：∵抛物线开口向上，∴a＞0，又∵对称轴在y轴右侧，∴，∴b<0，又∵图象与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴∴在第三象限故选：C【点睛】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定．根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置判断出a、b、c的符号是解题的关键．二、填空题1、【解析】【分析】根据二次函数图像的性质，时，通过计算即可得到答案．【详解】当时，∴抛物线与y轴的交点坐标为 故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．2、x＝﹣1【解析】【分析】抛物线的对称轴方程为： 利用公式直接计算即可.【详解】解：抛物线y＝x2＋2x＋的对称轴是直线： 故答案为：【点睛】本题考查的是抛物线的对称轴方程，掌握“抛物线的对称轴方程的公式”是解本题的关键.3、 (2，-1)【解析】【分析】先把抛物线配方为顶点式，再确定顶点坐标即可．【详解】解：，∴抛物线的顶点坐标为（2，-1）．故答案为（2，-1）．【点睛】本题考查抛物线的顶点坐标，掌握抛物线配方为顶点式的方法是解题关键．4、向上【解析】【分析】根据二次函数图象的性质，a＞0，抛物线开口向上，a＜0，抛物线开口向下可求解．【详解】∵a=2>0，∴二次函数y=2x2+1图象的开口方向是向上，故答案为：向上．【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，由a的符号确定抛物线的开口方向是解题的关键．5、y=(x＋3)2【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x2向左平移3个单位所得直线的解析式为：y=（x+3）2．故答案是：y=（x+3）2．【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，正确理解平移法则是关键．三、解答题1、 (1)(2)这辆货车能安全通过，理由见解析【解析】【分析】（1）根据题意得： ， ，抛物线的顶点坐标为点 ，从而得到点 ，设抛物线的函数表达式为 ，把点代入，即可求解；（2）根据题意得：当 时， ，即可求解．(1)解：∴ ，设抛物线的函数表达式为 ，∴ ，解得： ，∴抛物线的函数表达式为；(2)解：这辆货车能安全通过，理由如下：根据题意得：当 时， ，∴这辆货车能安全通过．【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键．2、 (1)(2)当时，有最大值，此时点的坐标为(3)在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．【解析】【分析】（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点，先运用待定系数法求出直线的解析式，设点坐标为，根据的解析式表示出点的坐标，再根据就可以表示出的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：①以为直角顶点；②以为直角顶点；③以为直角顶点；设点的坐标为，根据勾股定理列出方程，求出的值即可．(1)解：抛物线经过点，，，，解得．抛物线的解析式为：；(2)如图，过点作轴的垂线交于，过点作轴的垂线，交于点．设直线的解析式为，由题意，得，解得，直线的解析式为：．设点坐标为，则点的坐标为，．，，当时，有最大值，此时点的坐标为；(3)解：在轴上是存在点，能够使得是直角三角形．理由如下：，顶点的坐标为，，．设点的坐标为，分三种情况进行讨论：①当为直角顶点时，如图3①，由勾股定理，得，即，解得，所以点的坐标为；②当为直角顶点时，如图3②，由勾股定理，得，即，解得，所以点的坐标为；③当为直角顶点时，如图3③，由勾股定理，得，即，解得或，所以点的坐标为或；综上可知，在轴上存在点，能够使得是直角三角形，此时点的坐标为或或或．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的顶点式的运用，勾股定理等知识，解题的关键是运用数形结合、分类讨论及方程思想进行求解．3、 (1)，，(2)【解析】【分析】（1）把代入函数解析式，可得，再利用因式分解法解方程可得的坐标，再求解函数的对称轴，可得的坐标；（2）先证明，利用相似三角形的性质求解，利用三角形的中位线定理再求解．再利用勾股定理求解，如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．可得．再利用勾股定理列方程，解方程可得答案．(1)令 则， ∴，，∴对称轴为直线，∴．(2)在中， ，∴∠ODC=∠CBD， ， ，． ．∵轴，轴，∴．∵，∴．∴．在中，，∴，即．（负根舍去）∵点与点关于对称轴对称，∴．∴如图，当点、、三点共线时，的长最小，此时的周长最小．∴的周长的最小值为，∴的长最小值为，即．∵，∴．∴．∵，∴．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图象的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，根据对称性求最值，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．4、 (1)(2)【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）在所求函数解析式中求出时的值即可得．(1)解：设抛物线的解析式为，将点、代入，得：，解得：，所以抛物线的解析式为；(2)当时，，即，解得：，则水面的宽为．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数的问题求解，并熟练掌握待定系数法求函数解析式．5、 (1)的值是500；(2)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元【解析】【分析】（1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量列方程求解即可；（2）根据利润=（销售单价-进价）×销售量得到w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．(1)解：由题意可得，，解得：，答：的值是500；(2)解：设利润为w元，由题意：，，∵-10<0，∴时，取得最大值，此时， 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．【点睛】本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键．