吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（理）试题（含答案）

2020——2021学年度下学期期末考试

高二理科数学试题答案

本试卷共22小题，满分150分.用时120分钟.

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1 集合 易

1. 设，，则=

A．       B．      C．       D．

2 常用逻辑用语 易

2.设，则“”是“”的

A.充分而不必要条件   B.必要而不充分条件    C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

3 函数三要素 易

3.下列4个函数中，定义域和值域均为的是

A．          B．          C．          D．

4 函数图象 易

4.函数的图象大致是

5 随机变量及其分布 易

5.设随机变量服从二项分布，且，则       

A.              B.              C.               D.

6 分段函数 易

6. 已知函数，则等于

   A．              B．     　　　    C．                D．      　

7 二次函数与幂函数 中

7.若函数的两个零点一个大于，一个小于，则实数的取值范围是

A.      B.         C.          D.

8 定积分 中

8. 定积分

A.              B.               C.               D.

9 基本初等函数 中

9. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的函数是

A．     B.       C.      D.

10 指数与对数综合 中

10．方程的非零实数解为

  A．            B．      　   C．     　 D．

11 函数的性质 中

11．已知定义域为的偶函数满足条件，则下面给出的等式中不恒成立的是

A.      B.      C.      D.

12 函数方程与零点 难

12.若函数有且只有一个零点，实数的取值范围是

A.     B.      C.     D.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)

13 导数的几何意义 易

13．曲线在点处的切线的方程为_______________．

14 函数的性质 中

14.若函数是定义域为的奇函数，则实数         ．

15 导数及其应用 中

15．若函数不存在极值点，则的取值范围是_________．

16 函数方程与零点 难

16.设函数. ① 若，则的最大值为       （2分）；

 ② 若有且只有2个零点，则实数的取值范围是               （3分）.

一、选择题

二、填空题

13. ,     14. ,       15.         16. ,.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17 极坐标与参数方程 易

17．（本题10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）判断与公共点的个数，并说明理由．

17．解：

（1）曲线的参数方程为（是参数），

，的普通方程是.…………………3分

曲线的极坐标方程为，

，由，得

的直角坐标方程为          …………………………………………6分

（2）与有且只有1个公共点                 ………………………………………7分

由（1）联立与，得，，

整理得，，                 …………………………………………8分

与有且只有1个公共点                       …………………………………10分

18 函数的应用 易

18. （本题12分）

某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假设该同学生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.

18. 解：

（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，             …………………1分

由题意可得，当时，； …3分

当时，；      ………5分

所以；              ……………………………………………6分

（2）由（1）可得，

当，，

当且仅当时，等号成立；                 ……………………………………………8分

当时，，则，    …………………9分

所以，当时，，即函数单调递增；

当时， ，即函数单调递减；        …………10分

所以当时，取得最大值；………11分

综上，即当年产量为万件时，该同学所获最大年利润是万元.    …………12分

19 离散型随机变量的分布列及均值与方差 中

19．（本题12分）

在迎来中国共产党成立100周年的重要时刻，我国脱贫攻坚战取得全面胜利，创造了又一个彪炳史册的人间奇迹.习近平总书记指出：“脱贫摘帽不是终点，而是新生活､新奋斗的起点.”为了解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对两个地区2019年脱贫家庭进行简单随机抽样，共抽取600户家庭作为样本，获得数据如下表：

假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过1万元相互独立.

（1）分别从地区和B地区2019年脱贫家庭中各随机抽取1户，记X为这2户家庭中2019年人均年纯收入超过1万元的户数，且把频率视作概率.求的分布列和数学期望；

（2）从样本中地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，发现这4户家庭2020年人均年纯收入都超过1万元.根据这个结果，能否认为样本中地区2020年人均年纯收入超过1万元的户数相比2019年有变化？请说明理由.    

参考数据：.

19.解：

（1）设事件：从地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过1万元，则可以估计为；        ………………………………………………………1分

设事件：从样本中地区2019年脱贫家庭中随机抽取1户，该家庭2019年人均纯收入超过1万元，则可以估计为.             ………………………………………………………2分

由题意知，的可能取值为0，1，2，    ………………………………………………………3分

………………………………………………4分

……………………5分

   ………………………………………………………6分

所以的分布列为：

所以的数学期望为.     ………………………………8分

（2）设事件为“从样本中地区的300户脱贫家庭中随机抽取4户，这4户家庭2020年人均年纯收入都超过1万元”，

假设样本中地区2020年人均年纯收入超过1万元的户数相比2019年没有变化，则由2019年的样本数据可得                            ………………………………10分

答案示例1：可以认为有变化，理由如下：

比较小，小概率事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为样本中地区2020

年人均年纯收入超过1万元的户数相比2019年发生了变化，所以可以认为有变化. ………12分

答案示例2：无法确定有没有变化，理由如下：

事件是随机事件，比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有

没有变化.                                                 ………………………………12分

20 基本初等函数 中

20. （本题12分）

已知函数的定义域为.

（1）求的取值范围；

（2）若，函数在上的最大值与最小值互为相反数，求实数的值．

20.解：

（1）因为的定义域为

对任意的上恒成立        ……………………………………1分

① 当时，符合题意          …………………………………2分

② 当时,    解得，，  ……………………………5分

综上所述：，即                 ……………………………………6分

（2）令

开口向上的二次函数的对称轴为     ……………………………………7分

当时，递减，也递减；

  当时，递增，也递增       ……………………………………8分

       ……………………………………9分

而，

                ……………………………………10分

                   ……………………………………11分

解得（舍）或，.           ……………………………………12分

21 函数性质综合 中

21．（本题12分）

定义在上的函数满足且．当时，．

（1）求在上的解析式；

（2）当为何值时，关于的方程在区间上有实数解．

21．解：

（1）由，得，所以，     ……………………1分

又，所以，所以，

所以，又因为，

所以．                  ……………………………………………………3分

设，则，．  …………………5分

综上，                ……………………………………6分

（2）由（1）知

当时，，                       ……………………………………7分

当时，为增函数  ，……………………9分

所以，          

所以，                      ……………………………………11分

若关于方程在上有实数解，则，

所以．                          ……………………………………12分

22 导数及其应用 难

22.（本题12分）

已知函数，

（1）直接写出函数的零点个数（不要求写过程）；

（2）若，使关于的不等式能成立，求实数的取值范围.

22.解：

（1）函数只有1个零点.         ……………………………………………………3分

(,,

当时，，或；当时，，

所以在和上递增，在上递减，

所以有极大值和极小值，且，

所以函数只有1个零点.）

（2）令 ，则，  ……………………4分

当时，，或，         

当时，， 当时，，或         …………5分

则当变化时，及的变化情况如下表：

由上表可知，函数的增区间是 ，减区间是和，…………7分

当时, 函数取得极小值，

当时, 函数取得极大值，             ………………………………………8分

由，当时，，当时，，

所以，轴是函数的图象的渐近线

所以，当时, 函数的最小值为，       ……………………………………10分

若，使关于的不等式能成立，

则大于的最小值，即，

所以，实数的取值范围是                 ……………………………………12分

（2）另法：

关于的不等式能成立等价于不等式能成立，………5分

当时，能成立，满足条件；   ……………………………………6分

当时，抛物线开口向上，  

，使成立，满足条件；…………………………………8分

当时，只需 ，

即 ，解得；    ……………………………………11分

综上，实数的取值范围是.       ……………………………………12分