吉林省梅河口市第五中学2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题（含答案）

2020——2021学年度下学期期末考试

高二文科数学试题答案

本试卷共22小题，满分150分.用时120分钟.

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．设集合，，则=

A．       B．      C．       D．

2. 不等式 “”是不等式“”的

A.充分而不必要条件   B.必要而不充分条件    C.充要条件    D.既不充分也不必要条件

3. 下列4个函数中，定义域为的是

A．    B．     C．     D．

4. 函数的图象大致是

5. 下列函数是同一个函数的是

 A．与    B．与   C．与    D．与

6. 已知函数，则等于

   A．            B．      　    　 C．     　　　 D．

7.若函数的两个零点一个大于，一个小于，则实数的取值范围是

A.        B.          C.        D.

8. 下列函数中，既是奇函数，又在上单调递减的函数是

A．     B.       C.      D.

9．某种杂志原来以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本，据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本.若使提价后的销售总收入不低于20万元，应该确定的价格元的取值范围为

A.    B.   C.   D. 或

10．方程的非零实数解为

   A．               B．     　　　  C．              D．

11．已知定义域为的偶函数满足条件，则下面给出的等式中不恒成立的是

A.     B.      C.      D.

12. 若关于的方程有且只有2个零点，则的取值范围是

A.         B．          C．          D．

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上)

13．曲线在点处的切线的斜率为       ．

14.若函数是定义域为的奇函数，则实数         ．

15．若函数存在极值点，则实数的取值范围是_________．

16.设函数. ① 若，则的最大值为       （2分）；2

 ② 若有且只有1个零点，则实数的取值范围是               （3分）.

三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．（本题10分）

在直角坐标系中，曲线的参数方程为（是参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求的普通方程和的直角坐标方程；

（2）判断与公共点的个数，并说明理由．

18. （本题12分）

某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产万件，需另投入流动成本万元，当年产量小于万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）.已知每件产品售价为元，假设该同学生产的商品当年能全部售完.

（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）

（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取）.

19．（本题12分）

已知斜率为的直线过点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为,直线和曲线的交点为．

（1）求直线的参数方程；

（2）求 .

20. （本题12分）

已知函数的定义域为.

（1）求的取值范围；

（2）若，函数在上的最大值与最小值互为相反数，求实数的值．

21．（本题12分）

定义在上的函数满足且．当时，．

（1）求在上的解析式；

（2）若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围．

22.（本题12分）

已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.

参考答案

一、选择题

二、填空题

13. ,     14. ,     15. ,       16. ,.

17．解：

（1）曲线的参数方程为（是参数），

，的普通方程是.…………………3分

曲线的极坐标方程为，

 ，由，得

的直角坐标方程为          …………………………………………6分

（2）与有且只有1个公共点                 ………………………………………7分

由（1）联立与，得，，

整理得，，                 …………………………………………8分

与有且只有1个公共点                       …………………………………10分

18. 解：

（1）因为每件产品售价为元，则万件商品销售收入为万元，             …………………1分

由题意可得，当时，； …3分

当时，；      ………5分

所以；              ……………………………………………6分

（2）由（1）可得，

当，，

当且仅当时，等号成立；                 ……………………………………………8分

当时，，则，    …………………9分

所以，当时，，即函数单调递增；

当时， ，即函数单调递减；        …………10分

所以当时，取得最大值；………11分

综上，即当年产量为万件时，该同学所获最大年利润是万元.    …………12分

19．解：

（1）因为直线的斜率为，所以倾斜角，所以.……1分

设点是直线上的任意一点， ，向量表示直线的单位方向向量，…2分

则直线的参数方程为 （是参数）   …………………………5分

（2）由可得，，即

所以，曲线的直角坐标方程为,   ……………………………………6分

由此，得,即 .     ……………8分

设为此方程的两个根，因为和的交点为，所以分别是点所对应的参数，

由韦达定理得 ，所以，     ………………………10分

  ………………………12分

20.解：

（1）因为的定义域为

对任意的上恒成立        ……………………………………1分

① 当时，符合题意          …………………………………2分

② 当时,    解得，，  ……………………………5分

综上所述：，即                 ……………………………………6分

（2）令

开口向上的二次函数的对称轴为     ……………………………………7分

当时，递减，也递减；

  当时，递增，也递增       ……………………………………8分

       ……………………………………9分

而，

                ……………………………………10分

                   ……………………………………11分

解得（舍）或，.           ……………………………………12分

21．解：

（1）由，得，所以，     ……………………1分

又，所以，所以，

所以，又因为，

所以．                  ……………………………………………………3分

设，则，．  …………………5分

综上，                ……………………………………6分

（2）由（1）知

当时，，                       ……………………………………7分

当时，为增函数  ，……………………9分

所以，          

所以，                      ……………………………………11分

若关于方程在上有实数解，则，

所以．                          ……………………………………12分

22.解：

（1），当时，，或，   …………3分

当时，， 当时，，或         …………5分

则当变化时，及的变化情况如下表：

由上表可知，函数的增区间是 ，减区间是和，…………7分

（2）由（1）知：当时, 函数取得极小值，

当时, 函数取得极大值，            ………………………………………8分

由，当时，，当时，，

所以，轴是函数的图象的渐近线

所以，当时, 函数取得最大值.        ……………………………………10分

若恒成立，则大于的最大值，即，

所以，实数的取值范围是          ……………………………………12分

（2）另法：关于的不等式恒成立等价于不等式恒成立，

当时，不恒成立，不满足条件；

当时，只需 ，即 ，解得，

所以，实数的取值范围是 .