吉林省通化县某校2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题人教A版

这是一份吉林省通化县某校2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题人教A版，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知命题：，，那么命题为( )
A.，B.，
C.， D.，

2. 过点且与直线垂直的直线方程为( )
A.B.C.D.

3. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A.46B.48C.36D.32

4. 已知A为抛物线C:y2=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=( )
A.2B.3C.6D.9

5. 已知椭圆的焦点为(−1, 0)和(1, 0)，点在椭圆上，则椭圆的方程为( )
A.=1B.+y2=1C.=1D.+x2=1

6. 以点为圆心且与直线相切的圆的方程是( )
A.B.
C.D.

7. 如图，为正方体，下面结论错误的是（ ）

A.平面
B.
C.平面
D.异面直线与所成的角为

8. 若平面的一个法向量，直线的一个方向向量为，则与所成角的正弦值为( )
A.B.C.D.

9. “”是“直线和直线平行”的
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10. 若圆与圆内切，则实数的值为( )
A.1B.11C.121D.1或121
二、填空题

已知长方体的长､宽､高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是________.

已知，且，则动点的轨迹方程是________

已知双曲线和抛物线有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．

下列各项中，描述正确的是________．（填序号）
①，不等式成立；
②已知；．则“或”为假
③命题“若且，则”的逆否命题是真命题；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．
三、解答题

已知直线与圆相交于点和点．
（1）求圆心所在的直线方程；

（2）若圆的半径为1，求圆的标准方程．

如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.
（1）证明：平面；

（2）若为的中点，求三棱锥的体积.

中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标是，求此椭圆的方程．

已知抛物线 ： （ ）的焦点为 ，点 在抛物线 上，且 ，直线 与抛物线 交于 ， 两点， 为坐标原点.
（1）求抛物线 的方程；

（2）求 的面积.

如图，矩形和菱形所在的平面相互垂直，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.
参考答案与试题解析
吉林省通化县某校2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题
一、单选题
1.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
含有量词的命题的否定形式，量词换为相反，然后否定结论即可．
【解答】
根据含有量词的命题的否定形式，则
￢P为∀x∈R,32≥x3
所以选C
2.
【答案】
B
【考点】
简单线性规划
幂函数的概念、解析式、定义域、值域
二次函数的应用
【解析】
设要求的直线方程为：2x+3y+m=0，把点2,1代入解得m即可得出．
【解答】
设要求的直线方程为：2x+3y+m=0
把点2,1代入可得：4+3+m=0，解得m=−7
可得要求的直线方程为：2x+3y−7=0
故选：B．
3.
【答案】
B
【考点】
由三视图求体积
由三视图求体积（组合型）
由三视图还原实物图
【解析】
由三视图知：几何体是四棱柱，再由柱体的体积公式可得选项．
【解答】
由三视图知：几何体是四棱柱，且四棱柱的高为4，底面是上底边长为2，下底边长为4，高为4的等腰梯形，…几何体的体积为
12×2+4×4=48
故选：B．
4.
【答案】
C
【考点】
抛物线的标准方程
抛物线的求解
抛物线的性质
【解析】
利用抛物线的定义建立方程即可得到答案
【解答】
设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知/AF=xA+p2=12，即12=9+p2，解得p=6
故选：C．
【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题．
5.
【答案】
A
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
根据题意可得4c=1,a=2，从而求出b=3，代入即可得解．
【解答】
由焦点为−1,0和1,0，可得：c=
由点P2,0在椭圆上，可得P2,0为椭圆右顶点，故a=2
所以b=3
所以椭圆的方程为x24+y23=1
答案：A．
6.
【答案】
C
【考点】
二次函数的应用
函数的最值及其几何意义
勾股定理
【解析】
根据题意，结合点到直线距离公式，求出圆的半径，即可得出结果．
【解答】
由题意知，圆的半i加y=|3×2−4×−1+5|32+−42=3，故所求圆的方程为x−22+y+12=9
故选C
7.
【答案】
D
【考点】
二次函数的应用
函数的最值及其几何意义
勾股定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
在正方体中BD与B1D1平行，因此有BD与平面CB1O1平行，A正确；
AC1在平面ABCD内的射影AC垂直于BD，因此有AC1⊥BD，B正确；
与B同理有AC1与B1D1,CB，垂直，从而AC1平面CB1O1，C正确；
由AD//BC知AD与CB1所成角为45∘，D错．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
异面直线及其所成的角
直线与平面所成的角
二面角的平面角及求法
【解析】
由于线面角的正弦值等于|cs⟨n→,α→⟩⟩，进而可求得结果．
【解答】
平面α的一个法向量n→=2,1,1，直线！的一个方向向量为a→=1,2,3
所以1与α所成角的正弦值等于|cs⟨n→,α→⟩|=2×1+1×2+1×34+1+1×1+4+9=216
故选：B．
9.
【答案】
A
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
充分条件、必要条件、充要条件
两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
【解析】
【）2H.1
当a=3时，直线ax+2y+2a=0即3x+2y+6=0，直线3x+a−1y−a+7=0即3x+2y+4=0，可知两直线的斜率相等，且在y轴上的截距不等，此时，两直线平行；
反过来，当直线ax+2y+2a=0与直线3x+a−1y+a+7=0平行时，能得出a=3或a=−2
综上所述，选A．
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
D
【考点】
不等式的基本性质
复数的运算
三点共线
【解析】
根据题意，由圆的方程求出两个圆的圆心与半径，求出圆心距，由圆与圆的位置关系有|m−6|=5，解可得m的值，即可得
答案
【解答】
根据题意，圆x+12+y2=m，必有m>0，其圆心为−1,0，半径R=m
圆x2+y2−4x+8y−16=0，即x−22+y+42=36，其圆心为2,−4，半径r=6
两圆的圆心距d=9+16=5
若两圆内切，则有|m−6|=5，解可得m=1或121，
故选：D．
二、填空题
【答案】
50π
【考点】
球的表面积和体积
【解析】
长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【解答】
长方体的一个顶点上的三条棱长分别是34,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：32+42+52=52
所以球的半径为：522
则这个球的表面积是：4π⋅5222=50π
故答案为：50π
【答案】
加加加x2+y2=1
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】
」由向量垂直的坐标运算可得答案
【解答】
设Mx,y，则MA→=−1−x,−1MB→=1−x,−1
因为MA→⋅MB→=0，所以MA→⋅MB→=x2−1+y2=0
所以轨迹方程为x2+y2=1
故答案为：x2+v2=1
【答案】
加加加2
【考点】
双曲线的特性
抛物线的求解
抛物线的性质
【解析】
抛物线y2=8x的焦点为2,0，由具有相同的焦点，可得a2+2=4⇒a=2，进而根据离心率公式可得答案【加加加】因为抛物线y2=8x的焦点为2,0，所以双曲线x2a2−y22=1a>0的焦点也为2,0
所以a2+2=4⇒a=2
所以双曲线的离心率为e=ca=22=2
故答案为：2
【解答】
此题暂无解答
【答案】
I加加
【考点】
基本不等式
【解析】
①化简后配方可作判断；
②检验0是否满足不等式即可；
③可根据不等式的性质判断；
④可作图解释
【解答】
②x2+2x>4x−3可化为x2−2x+3>0，即x−12+2>0，故O对；
④易知0满足不等式x+2x−3<0，故？正确
q:加=0不正确，故“？或9”为真命题；
③a>b>0，则1a<1b，又c<0，故ca>cb
原命题为真，逆否命题为真；
④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．如图可见．
故答案为：①③④
三、解答题
【答案】
（1）y=x；
（2）x2+y2=1或:x−12+y−12=1
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
直线与圆相交的性质
【解析】
（1）直接根据圆的性质，圆心在PQ的中垂线上即可得结果；
（2）利用待定系数法设x−a2+y−b2=1，列出关于a,b的方程解出即可．
【解答】
（1）PQ的斜率为kPB=−1，PC中点M12,12
因为以圆心所在的直线与PQ垂直，所以所求直线的斜率为1
所以圆心所在的直线方程为y−12=x−12
即y=x
（2）由条件设圆的方程为x−a2+y−b2=1
由圆过P.Q点得1−a2+b2=1,a2+1−b2=1,
解得a=0b=0，或a=1b=1
所以圆C的标准方程为x2+y2=1或x−12+y−12=1
【答案】
（1）见解析；
（2）VA−PB=14
【考点】
点、线、面间的距离计算
【解析】
（1）先证明AD⊥BD，再说明BC⊥BD，根据PD⊥底面ABCD，可得PD⊥BC，即可证出；
（2）因为三棱锥A−PB的体积VA−PB与三棱锥A−QBC的体积相等，可转化为求三棱锥A−QBC的体积，再换顶点为Q，并利用Q是中点转化为14VP−ABC求解即可．
【解答】
（1）证明：AD2+BD2=AB2，∴ AD⊥BD
∵AD//BC，…BC⊥BD
又PD⊥底面ABCD，∴ PD⊥BC
PD⊥BD=D∵BC⊥平面PBD．
（2）三棱锥A−PBQ的体积VA−PB与三棱锥A−QBC的体积相等，
而VA−QBC=V−ABC=12VF−ABC=14VP−ABCD=14×13×3×3×3=14
所以三棱锥A−PBQ的体积VA−PBQ=14
【答案】
y275+x225=1
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的定义
【解析】
首先由条件可知a2−b2=50，再根据点差法求得a2=3b2，联立解方程组，求椭圆方程．
【解答】
设椭圆：y2a2+x2b2=1a>b>0，则a2−b2=50①
又设弦为4B,Ax1,y1,Bx2,y2，弦AB中点x0,y0
由x1+x22=x0=12,y12a2+x12b2=1⇒​12−y22a2=−x12−x12b2
(y1+y2)(y1−y2)a2=x2)(x1−x2)b2，x1≠x2，两边同时除以x1−x2
得kAB=y1−y2x1−x2=−a2b2⋅x0y0=3∴a2=3b2②
解①，②得：a2=75,b2=25
…椭圆方程为y275+x225=1
【答案】
（1）y2=4x
（2）22
【考点】
抛物线的求解
直线与抛物线的位置关系
抛物线的性质
【解析】
（1）因为点D2,y在抛物线C上，且|DF|=3，由抛物线的定义，可得2+p2=3，解可得p=2，代入标准方程，即可得抛物线C的方程；
（2）联立直线与抛物线的方程，消去．y得x2−6x+1=0，设Ax1,y1,Bx2,y2，由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=6，结合抛物线的几何性质，可得|AB|的长，由点到直线距离公式可得（到直线y=x−1，进而由三角形面积公式计算可得答案
【解答】
（1）D2,y0在抛物线C上，且|DF|=3
…由抛物线定义得，2+p2=3
p=2
…所求抛物线C的方程为y2=4x
（2）由y=x−1y2=4x消去）
并整理得，x2−6x+1=0
设Ax1,y1Bx2,y2，则x1+x2=6
由（1）知F1,0
…直线y=x−1过抛物线y2=4x的焦点F
|AB|=x1+x2+P=6+2=8
又一点0到直线y=x−1的距离d=12=22
△AOB的面积S=12|AB|d=12×8×22=22
【答案】
（1）证明见解析；
（2）−217
【考点】
直线与平面所成的角
二面角的平面角及求法
平面与平面垂直的判定
【解析】
（1）利用面面垂直和线面垂直的性质定理可证得AD⊥AG；由菱形边长和角度的关系可证得AG⊥AF；利用线面垂直的判
定定理可证得结论；
（2）以A为坐标原点建立起空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值．
【解答】
（1）：平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=ABAD⊥AB且AD⊂平面ABCDAD⊥平面
ABEF，
．AG平面ABEFAD⊥AG
四边形ABEF为菱形且G为BE中点，AB=2BG，又∠ABE=60∘．AG⊥BE
又BE/AFAG⊥AF
AD,AF=平面ADFAD∩AF=A．AG平面ADF
（2）以A为坐标原点可建立如下图所示的空间直角坐标系，
设BC=2，则AB=23AG=3
A0,0,0G3,0,0C3,−3,2D0,0,2
则AG→=3,0,0,AC→=3,−3,2,AD→=0,0,2
设平面4DC的法向量n1→=x1,y1,z1
则AD→⋅n1→=2z1=0ADAC⋅n1→=3x1−3y1+2z1=0，令y1=3，则x1=1z1=0n1→=1,3,0
设平面ACG的法向量n2→=x2,y2
则AC→⋅n2→=3x2−3y2+2z2=0AG→⋅n2→=3x2=0，令z2=3，则x2=0y2=2n2→=0,2,3
：二面角D−CA−G为钝二面角，二面角D−CA−G的余弦值为−217