吉林省通化市梅河口市第五中学2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题(含答案)

梅河口市第五中学2022~2023学年度下学期期末考试

高二数学试题

说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至4页，第Ⅱ卷5至6页，共6页。满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共80分）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上并将条形码粘贴在粘贴处。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请仔细审题，认真做答）

1．设，则“”是“直线与直线垂直”的（    ）

A．充要条件        B．必要不充分条件

C．充分不必要条件      D．既不充分也不必要条件

2．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱锥是阳马，平面，且，若，，，则（    ）

A．      B．

C．       D．

3．已知等比数列的各项均为正数，且，则（    ）

A．3     B．4     C．5     D．6

4．我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走里，九天他共行走了一千二百六十里，求的值．关于该问题，下列结论正确的是（    ）

A．          B．此人第三天行走了一百一十里

C．此人前七天共行走了九百里      D．此人前八天共行走了一千零八十里

5．如图，圆内有一点，为过点的弦，若弦被点平分时，则直线的方程是（    ）

A．  B．  C．  D．

6．直线与椭圆交于，两点，是椭圆的右焦点，且，则椭圆的离心率为（    ）

A．     B．    C．     D．

7．已知抛物线的焦点为，准线为，过的直线与抛物线交于点、，与直线交于点，若，，则（    ）

A．1      B．3     C．2     D．4

8．过直线上一点作圆的切线，切点为，．则四边形的面积的最小值为（    ）

A．      B．    C．     D．

9．已知椭圆与双曲线具有相同焦点、，是它们的一个交点，则，记椭圆与双曲线的离心率分别为、，则的最小值是（    ）

A．3     B．4     C．5     D．6

10．对于数列，定义为的“优值”．现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则下列说法错误的是（    ）

A．   B．   C．   D．的最小值为

二、多选题（本大题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请仔细审题，认真做答）

11．已知点在圆上，直线，则（    ）

A．直线过定点

B．存在实数，使直线与圆相切

C．直线与圆相交的弦长取值范围为

D．点到直线距离的取值范围为

12．已知双曲线，两个焦点记为，，下列说法正确的是（    ）

A．

B．离心率为

C．渐近线方程为：

D．点在双曲线上且线段的中点为，若，则

13．已知圆和圆的交点为，，则（    ）．

A．两圆的圆心距

B．圆上存在两点和使得

C．直线的方程为

D．圆上的点到直线的最大距离为

14．已知椭圆的左、右两个端点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列说法不正确的是（    ）

A．的周长为6      B．的最大面积为

C．存在点使得     D．的最大值为7

15．设数列的前项和为，若，，则下列说法正确的是（    ）

A．       B．

C．        D．为等比数列

16．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．以为直径的圆与相切

C．设，则

D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条

第Ⅱ卷（非选择题，共70分）

三、填空题（本大题共7小题，每题5分，共35分。请将答案直接填写在答题卡内指定处。）

17．若，，则___________．

18．若直线与直线平行，则___________．

19．已知数列满足，，则___________．

20．抛物线的焦点为，为抛物线上一动点，定点，则的最小值为___________．

21．已知动点，分别在圆和圆上，动点在直线上，则的最小值是___________．

22．双曲线的左顶点为，右焦点，若直线与该双曲线交于、两点，为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为___________．

23．已知在数列中，，且是公比为3的等比数列，则使的正整数的值为___________．

四、解答题（本大题共3小题，第24题10分，第25题10分，第26题15分，共35分。）

24．在四棱锥中，平面底面，底面是菱形，是的中点，，，．

（1）证明：平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

25．已知各项均不为零的数列满足，且．

（1）证明：为等差数列，并求的通项公式；

（2）令，为数列的前项和，求．

26．已知椭圆过点，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点关于原点对称的点为，过点且斜率存在的直线交椭圆于点，，直线，分别交直线于点，，求证为定值．

参考答案

1．C

直线与直线垂直

则，解得或，

2．D

，

所以．

3．D

4．D

设此人第天走里，则数列是公差为的等差数列，记数列的前项和为，

由题意可得，解得，，，

，

5．D

当弦被点平分时，直线与直线垂直，

因为，所以，

则直线的方程为，即．

6．A

记椭圆的左焦点为，

由对称性可知：四边形为平行四边形，，

；

，，四边形为矩形，，

又，，又，，

，，，

椭圆的离心率．

7．B

设准线与轴的交点为，作，，垂足分别为，

则．根据抛物线定义知，，

又，，所以，，

设，因为，所以，

则．

所以，又，可得，所以，

所以，

可得，即．

8．D

如图，由切线性质可知，，，，所以，圆的标准方程为，圆心为，半径为，点到直线距离，

，要使最小，需使，

故．

9．A

设为第一象限的交点，，，

则由椭圆和双曲线的定义可知，

在中由余弦定理得：

即：

，即：

当且仅当，即时，取得最小值为3．

10．B

由题意可知，，则①，

当时，，

当时，②，

①-②得，，解得，当时也成立，，A正确；

，B错误；

，当时，即，且，故当或9时，的前项和取最小值，最小值为，CD正确．

11．AC

直线，

令，解得，即直线过定点，故A正确；

由，故点在圆内，

则直线过圆内定点，即直线与圆相交恒成立，

且点到直线距离最小值为0，

圆心，，定点，则，

则圆心到直线距离的最大值为，

此时弦长取最小值为，弦长最大值为圆的直径为4．

12．AB

13．CD

由圆和圆，

可得圆和圆，

则圆的圆心坐标为，半径为2，

圆的圆心坐标为，半径为，

两圆的圆心距，故A错误；

将两圆方程作差可得，即得直线的方程为，

直线经过圆的圆心坐标，所以线段是圆的直径，

故圆中不存在比长的弦；

圆的圆心坐标为，半径为2，

圆心到直线的距离为，

所以圆上的点到直线的最大距离为．

14．AC

对于A，因为椭圆，所以，，则，，，，

所以的周长为，故A错误；

对于B，当为椭圆短轴顶点时，点到的距离最大，则的面积最大，

所以，故B正确；

对于C，假设存在点使得，则，

所以点的轨迹是以原点为圆心，为直径的圆，则，

因为椭圆上的任一点到原点的最小距离是短轴顶点与原点的距离，即，

由可知，圆与椭圆没有交点，

所以假设不成立，即不存在点使得，故C错误；

对于D，由选项A易得，又，所以，

所以，故D正确．．

15．BCD

，则，即，

数列是以首项，公比的等比数列，则，

又，

显然不符合上式，则，

16．AC

取的中点，在上的投影为，在的投影为，如图所示：

对于选项A，因为，所以，故A正确；

对于选项B，根据抛物线的性质，，为梯形的中位线，

故，以为直径的圆与准线相切，故B选项错误；

对于选项C，因为，所以，故C正确；

对于选项D，显然直线，与抛物线只有一个公共点，设过的直线方程为，联立可得，令，解得，所以直线与抛物线也只有一个公共点，此时有三条直线符合题意，故D错误．

17．

18．2

因为，

所以，

所以或．

当时，，，

，重合；

当时，，，

，符合题意．

故答案为：2．

19．

【详解】求不动点，设，令得：，化简得：，

显然该方程无解，这种情况下一般是周期不大的周期数列，我们只需算出前几项，找规律即可，由题意，，所以，，，，

，，从而是以6为周期的周期数列

20．7

21．

解：由题知圆的圆心为，半径为，

圆的圆心为，半径为，

如图，设点关于直线对称的点为，

所以，，解得，，即，

所以，

所以，，即的最小值是．

故答案为：

22．2

联立可得则，

因为点、关于轴对称，且为线段的中点，则．

又因为为等腰直角三角形，所以，，即，

即，所以，，可得，

因此，该双曲线的离心率为．

23．4

由题意，知是首项为，公比为3的等比数列，所以，所以

．所以，

所以，

，

解得．

24．（1）证明见详解（2）

（1）如图1，连接，设与交于点，连接．

因为底面是菱形，所以为的中点，又是的中点，

所以，又平面，平面，

所以平面；

（2）如图2，取的中点．

在中，，，为的中点，所以，

所以．

因为平面底面，平面底面，

所以底面，又底面，

所以．

在菱形中，，，所以与是等边三角形，

所以，，．

以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，

则，，．

设为平面的一个法向量，则，

即，令，则，，则．

．

所以直线与平面所成角的正弦值．

25．（1）证明见解析，（2）

（1）由，

得，

又，

是首项为5，公差为3的等差数列．

，故．

（2）由（1）知，，

所以①

②，

①-②得：

，

26．（1）（2）证明见解析

（1）依题意知，椭圆的方程为，

又椭圆过点，有，解得，，

椭圆的方程为．

（2）点与点关于原点对称，点，

当直线与轴重合时，不妨设，，

则直线，直线，

则，，（定值）．

当直线与轴不重合时，设直线，

与椭圆方程联立，化简得，

，解得．

设，，则，．

直线的方程为，则，

即．

直线的方程为，则，

即．

（定值）．

综上，为定值1．