2021_2022学年新教材高中数学章末综合测评1预备知识含解析北师大版必修第一册

预备知识

 (满分：150分　时间：120分钟)

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．命题“∀x∈R，使得x2≥0”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，x2＜0 B．∀x∈R，x2≤0

C．∃x∈R，x2≥0 D．∃x∈R，x2＜0

D　[命题“∀x∈R，x2≥0”的否定形式是∃x∈R，x2＜0，故选D.]

2．已知全集U＝R，集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为(　　)

A．{1} B．{1,2}

C．{3,4,5} D．{2,3,4,5}

A　[图中阴影部分所表示的集合为A∩(∁UB)，故选A.]

3．已知集合A＝，B＝{0,1,2,3}，则A∩B＝(　　)

A．{1,2} B．{0,1,2}

C．{1} D．{1,2,3}

A　[∵A＝＝{x|0＜x≤2}，

∴A∩B＝{1,2}．]

4．设x∈R，则“x3＞8”是“|x|＞2” 的(　　)

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

A　[解不等式x3＞8，得x＞2，解不等式|x|＞2，得x＞2或x＜－2，

所以“x3＞8”是“|x|＞2” 的充分而不必要条件．故选A.]

5．设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　)

A．{1，－3} B．{1,0}

C．{1,3} D．{1,5}

C　[∵A∩B＝{1}，∴1∈B.

∴1－4＋m＝0，即m＝3.

∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．

故选C.]

6．满足条件M∪{1,2}＝{1,2,3}的集合M的个数是(　　)

A．4 B．3

C．2 D．1

A　[∵M∪{1,2}＝{1,2,3}，∴3∈M，且可能含有元素1,2，

∴集合M的个数为集合{1,2}子集的个数4.故选A.]

7．已知实数a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，c－b＝a2－4a＋4，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c≥b＞a B．a＞c≥b

C．c＞b＞a D．a＞c＞b

A　[∵c－b＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，∴c≥b；

又b＋c＝3a2－4a＋6，

∴2b＝2a2＋2，∴b＝a2＋1，

∴b－a＝a2－a＋1＝2＋＞0，

∴b＞a，

∴c≥b＞a.]

8．已知a＞0，b＞0，若不等式≤恒成立，则m的最大值为　(　　)

A．4 B．16

C．9 D．3

B　[≤，即m≤；

又＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16，当且仅当a＝b时，取等号，

∴m≤16，故选B.]

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．

9．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集不可能是(　　)

A. B．R

C. D．∅

BCD　[因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是BCD.]

10．对于任意实数a，b，c，d，下列四个命题中其中假命题的是(　　)

A．若a>b，c≠0，则ac>bc

B．若a>b，则ac2>bc2

C．若ac2>bc2，则a>b

D．若a>b>0，c>d，则ac>bd

ABD　[若a>b，c<0时，ac<bc，A错；B中，若c＝0，则有ac2＝bc2，B错；C正确；D中，只有c>d>0时，ac>bd，D错，故选ABD.]

11．已知集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|x＜2m}，且A⊆∁RB，那么m的值可以是

(　　)

A．0 B．1

C．2 D．3

AB　[根据补集的概念，∁RB＝{x|x≥2m}．

又∵A⊆∁RB，

∴2m≤2.

解得m≤1，故m的值可以是0,1.]

12．设集合A＝{x|x2－(a＋2)x＋2a＝0}，B＝{x|x2－5x＋4＝0}，集合A∪B中所有元素之和为7，则实数a的值为(　　)

A．0 B．1

C．2 D．4

ABCD　[x2－(a＋2)x＋2a＝(x－2)(x－a)＝0，解得x＝2或x＝a，则A＝{2，a}．x2－5x＋4＝(x－1)(x－4)＝0，解得x＝1或x＝4，则B＝{1,4}．当a＝0时，A＝{0,2}，B＝{1,4}，A∪B＝{0,1,2,4}，其元素之和为0＋1＋2＋4＝7；当a＝1时，A＝{1,2}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝2时，A＝{2}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7；当a＝4时，A＝{2,4}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,2,4}，其元素之和为1＋2＋4＝7.则实数a的取值集合为{0,1,2,4}．]

三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．

13．若0＜a＜1，则不等式(a－x)＞0的解集是________.

　[原不等式可化为(x－a)＜0，

由0＜a＜1，得a＜，

∴a＜x＜.]

14．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围________．

(－∞，1]　[用数轴表示集合A，B，若A∪B＝R，则a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1]．]

15．“∃x∈[0,3]，x2－a＞0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

[9，＋∞)　[由题意得“∀x∈[0,3]，x2－a≤0”是真命题，即a≥x2，所以a≥(x2)max＝9. ]

16．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x的最小值为________．

20　[由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，所以一月份至十月份的销售总额为3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－(舍去)或1＋x%≥，即x%≥20%，所以x的最小值为20.]

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分10分)若集合A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}．

(1)若m＝3，全集U＝A∪B，试求A∩(∁UB)．

(2)若A∩B＝A，求实数m的取值范围．

[解]　(1)当m＝3时，由x－m＜0，得x＜3，

∴B＝{x|x＜3}，

∴U＝A∪B＝{x|x＜4}，

则∁UB＝{x|3≤x＜4}，

∴A∩(∁UB)＝{x|3≤x＜4}．

(2)∵A＝{x|－2＜x＜4}，B＝{x|x－m＜0}＝{x|x＜m}，

由A∩B＝A得A⊆B，

∴m≥4，即实数m的取值范围是[4，＋∞)．

18．(本小题满分12分)解下列不等式：

(1)3＋2x－x2≥0；(2)x2－(1＋a)x＋a＜0.

[解]　(1)原不等式化为x2－2x－3≤0，即(x－3)(x＋1)≤0，

故所求不等式的解集为{x|－1≤x≤3}．

(2)原不等式可化为(x－a)(x－1)＜0，

当a＞1时，原不等式的解集为(1，a)；

当a＝1时，原不等式的解集为∅；

当a＜1时，原不等式的解集为(a,1)．

19．(本小题满分12分)已知集合A＝，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2＜0}，p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围．

[解]　由＞0得：－1＜x＜3，∴A＝{x|－1＜x＜3}．

由x2－(2m＋1)x＋m2＋m－2＜0，得m－1＜x＜m＋2.

∴B＝{x|m－1＜x＜m＋2}，

∵p是q的必要不充分条件，

∴BA.

∴，

∴0≤m≤1，

经检验符合题意，∴m的取值范围为[0,1]．

20．(本小题满分12分)已知a>0，b>0且＋＝1.

(1)求ab的最小值；

(2)求a＋b的最小值．

[解]　(1)因为a>0，b>0且＋＝1，

所以＋≥2＝2，则2≤1，

即ab≥8，当且仅当

即时取等号，所以ab的最小值是8.

(2)因为a>0，b>0且＋＝1，

所以a＋b＝(a＋b)

＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，

当且仅当

即时取等号，

所以a＋b的最小值是3＋2.

21．(本小题满分12分)已知a＞b＞0，求证：a＋b＋3＞＋2＋.

[证明]　a＋b＋3－－2－

＝(2a＋2b－2－4－2)＋3

＝(a－4＋b－2＋a＋b－2)＋3

＝(a－4＋4＋b－2＋1＋a＋b－2－5)＋3

＝[(－2)2＋(－1)2＋(－)2－5]＋3

＝(－2)2＋(－1)2＋(－)2＋，

∵(－2)2≥0，(－1)2≥0，(－)2＞0，

∴a＋b＋3－－2－＞0，

∴a＋b＋3＞＋2＋.

22．(本小题满分12分)已知“∃x∈{x|－1<x<1}，使等式x2－x－m＝0成立”是真命题．

(1)求实数m的取值集合M；

(2)设不等式(x－a)(x＋a－2)<0的解集为N，若x∈N是x∈M的必要条件，求实数a的取值范围．

[解]　(1)由题意，知m＝x2－x＝2－.

由－1<x<1，得－≤m<2，

故M＝.

(2)由x∈N是x∈M的必要条件，知M⊆N.

①当a>2－a，即a>1时，N＝{x|2－a<x<a}，则解得a>.

②当a<2－a，即a<1时，N＝{x|a<x<2－a}，则解得a<－.

③当a＝2－a，即a＝1时，N＝∅，不满足M⊆N.

综上可得，实数a的取值范围为.