八年级数学三角形 辅助线构造全等 专项练习卷（无答案）

这是一份八年级数学三角形 辅助线构造全等 专项练习卷（无答案），共12页。试卷主要包含了什么情况下才能构造全等？，如何构造全等？，构造全等的步骤，主要解决哪些问题？，如图，等边△ABC 中，点 D，等边△ABC 中，点 D等内容，欢迎下载使用。
八年级上册几何辅助线 构造全等
主要研究以下几个问题：
▲1、什么情况下才能构造全等？
两个三角形满足 SA 对应相等，且 S 和 A 是相邻的关系时，考虑构造全等. 注意：这里对应相等的 SA，可能是已知条件，也可能是所证.
▲▲2、如何构造全等？
利用 SAS 来改造另一组边（S 是 A 的另一条邻边），使得对应相等.
构造全等的过程就是改造第二组边的过程，也是画出全等三角形的过程.
如图，△ABC 和△DEF 中， A D
AB＝DE，∠B＝∠E，BC≠EF.
满足 SA，只需改造 BC 和 EF 这组边.
B C E F
三种改造方式如下：
①BC 不变，改造 EF：在 EF 上取 M，使得 EM＝BC.
那么△ABC≌△DEM（SAS）
②EF 不变，改造 BC，延长 BC 到 M，使得 BM＝EF.
那么△ABM≌△DEF（SAS）

③EF 和 BC 都改造，作 AM⊥BC，DN⊥EF.
那么△ABM≌△DEN（AAS）
▲3、构造全等的步骤
第一步：利用 SA 准则判断； 第二步：利用 SAS 画图；
第三步：选择合适的辅助线说法证明全等.
注意：构造全等和证明全等的辅助线说法可能不一样，视情况而定.
▲4、主要解决哪些问题？
①线段相等，a＝b；
②角度相等，α＝β；
③线段倍数关系，a＝kb.


【例 1】如图，Rt△ABC 中，AB＝AC，∠BAC=90°，D 是 AB 的中点，连接 DC， AE⊥CD 于 E 点，交 BC 于 F 点，连接 DF.
D
E
求证：∠BDF＝∠ADE. A

分析：条件转化↓
▲等腰 Rt△ABC→边等，45°；
▲中点 D→平分线段；
▲AE⊥CD→互余； B F C
所证：∠BDF＝∠ADE
▲判断：利用 SA 标准判断
①∠BDF、∠ADE 各自所在的三角形：△BDF、△ADE；
A
?：?? = ??(?已知)
D
E
M
②满足 SA：{ ；
?：∠???＝∠???（?所证）
注：S 和 A 是相邻关系.
▲▲画图：根据 SAS 画出全等结构
?：?? = ??(已知) B C
①SAS：{?：∠???＝∠???(所证) F
?：??和??(待改造)
②改造：DF 不变，改造 DE 或 DE 不变，改造 DF.
这里以改造 DE 为例，在 DC 上取点 M，使得 DM＝DF，连接 AM.

注意：构造时把∠BDF＝∠ADE 当已知条件来处理，证明时不能当已知条件来用. 证明时辅助线不能说 DM＝DF（？），需要换个说法.
▲选择辅助线说法：从△ADM≌△BDF 的结论或结论转化中选择. 全等的其他结论有：∠B＝∠DAM＝45°，BF＝AM.
而∠B＝∠DAM＝45°可以转化为 AM 平分∠BAC.
▲作法：作 AM 平分∠BAC 交 DC 于 M.
证明△ADM≌△BDF 即可，只需证明 AM＝BF 即可. 接下来关注 AM 和 BF 各自所在的另一组三角形.
▲结构：①△AMC≌△BFA（ASA）←∠BAF＝∠ACM←AE⊥CD；
②△ADM≌△BDF（SAS）→∠BDF＝∠ADE.

总结：∠ADE 所在的三角形还有△ADC，本题以△ADE 为例.
另外，DE 不变，改造 DF，这种做法得不到相应的结构，所以行不通.
本题还有其他证明方法，这里就不提了.
▲构造三角形全等的本质就是改造某一组对应边中的一条边.
.

交∠BCD 的外角平分线于点 F.
（1） 如图 1，若 E 在线段 BC 上，求证：AE＝EF；
（2） 如图 2，若 E 在 BC 延长线上，判断 AE 和 EF 的数量关系，并证明；
（3） 如图 3，若 E 在 CB 延长线上，判断 AE 和 EF 的数量关系，并证明.

D
F
A
C E M
E
B

F M
A D A D




F
B E C M B C

图 1 图 2 图 3

分析：条件和问题转化↓
▲正方形 ABCD→边等、90°；
▲AE⊥EF→互余；
▲外角平分线→45°；
所证：AE＝EF→构造全等.
（1） 如图 1，步骤如下：
▲判断：利用 SA 标准判断
①AE 和 EF 各自所在的三角形：△AEB 和△EFC；
F
②△AEB 和△EFC 是否满足 SA↓ A D
{ ?: ?? = ??(所证)
?: ∠??? = ∠???
注：SA 相邻，且 A 可知.
▲画图：利用 SAS 画出全等结构 N
另一组边 S：AB 和 EC.
改造：EC 不变，改造 AB，作 AN＝EC. B E C M
▲证明：按照图中结构的顺序写出过程
作法：如右图，在 AB 上取点 N，使得 AN＝EC，连接 NE， 结构：①等腰 Rt△BEN→∠ANE＝135°；
②△AEN≌△EFC（ASA）←∠ANE＝∠ECF＝135°；
∴AE＝EF.
（2） 如图 2，判断 AE＝EF，步骤如下↓
▲判断：利用 SA 标准判断 F
①AE 和 EF 各自所在的△：△AEC、△EFC（连接 AC）
A D
②△AEC 和△EFC 是否满足 SA↓
S：AE＝EF（ 所 证 ） A：∠CAE＝∠CFE（可知）
▲画图：改造另一组边 AC 和 CF N
AC 不变，改造 CF，作 AC＝NF.

▲证明
B C E M

作法：作 NE⊥CE 交 CF 于 N 点，连接 AC.
结构：①等腰 Rt△CEN→CE＝EN，∠ACE＝∠FNE＝135°；

（3） 如图 3，判断 AE＝EF，步骤如下↓
▲判断：领用 SA 判断 A D
①AE 和 EF 各自所在的△：△AEB 和△ECF
②△AEB 和△ECF 是否满足 SA？ S：AE＝EF（所证）
B
A：∠EAB＝∠CEF（可知）
▲画图：改造另一组边 AB 和 EC E C
EC 不变，改造 AB，作 AN＝EC. N F
▲证明
作法：延长 AB 到 N，使得 BN＝BE，连接 EN. M
结构：①等腰 Rt△EBN→∠N＝45°；
②△AEN≌△EFC（ASA）.
∴AE＝EF.

总结：一定要选择满足 SA 的两个三角形，改造的时候，视情况而定，有时只有一种改造方式.

【例 3】等腰 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，E 是线段 BC 上一动点（与点 B、C 不重合），连接 AE，延长 BC 至点 F，使得 CF＝CE，过点 F 作 FN⊥AE 于点 N， 交 AB 于点 M.
（1） 若∠EAC＝α，求∠AMF 的大小（用含 α 的式子表示）.
M
N
（2） 探究 BM 与 EF 之间的数量关系，并证明. A
分析：条件转化↓
▲等腰 Rt△ABC→AC＝BC，45°；
▲CE＝CF→垂直平分，连接出等腰；
▲FN⊥AE→互余；
（1）∠AMF＝∠B＋∠F＝α＋45°. F C E B
（2）通过测量可知：EF＝√?BM.

关键：“√?”与等腰 Rt△有关，构造以 CE 或 BM 为直角边的等腰 Rt△结构.

思路 1：研究 BM 和√?CE 或 CE 各自所在的三角形.
思路 2：研究 EF 和√?BM 或 BM 各自所在三角形. A
● 思路 1：如图，研究 BM 和√?CE 或 CE 各自所在的△. M
步骤如下↓ N

▲第一步：判断△ACE 和△FMB，满足 SA；
F C E B

S：AE＝FM（测量或可证）；A：∠F＝∠CAE（可知）
▲第二步：延长 AC 到 P，使得 CP＝CE； P
理论上△APE≌△FBM（SAS）
▲第三步：证明
作法：延长 AC 到 P，使得 CP＝CE，连接 EP.

结构①等腰RT△CEP→∠P= 45° PE= 2CE

②△APE≌△FBM（ASA）→PE＝MB.
∴EF＝√?BM.

● 思路 2；如图，研究 EF 和√?BM 或 BMB 各自所在的三角形.
步骤如下↓
EF 所在△：连接 AF，出现△AEF；
M
N
C
E
√?MB 所在△：构造等腰 Rt△MBP，出现△FMP. A
▲第一步：画出全等三角形
①连接 AF，得到△AEF；
②作 PB⊥MB 且 PB＝BM，连接 MP，CP.
▲第二步：证明 F B

结构：①等腰 Rt△MBP→MP＝√?BM；
P
②等腰△AEF 和等腰△FMP；
③△AEF≌△FMP（SAS）.
∴EF＝MP＝√?BM.

总结：关于线段之间的√?关系，重点是构造出等腰直角三角形结构.

【例 4】如图，正方形 ABCD 中，E 是边 BC 上的动点(不与点 B，C 重合)，连接AE，点 B 关于直线AE 的对称点为 F，连接 EF 并延长交 CD 于点 G，连接 AG， 过点 E 作 EH⊥AE 交 AG 的延长线于点 H，连接 CH.
（1） 求证：GF＝GD;
G
·
F
（2） 探究线段 CH 与 BE 的数量关系，并证明. A D

分析：条件和问题转化↓
▲正方形 ABCD→边等、90°；
▲对称→连接出现全等结构； H
▲AE⊥EH→互余、导角等；
▲求证 GF＝GD→全等或等量代换； B E C
▲CH 与 BE→构造相应结构.

● （1）如右图，连接 AF.
结构：①△AEB≌△AEF；②△AGF≌△AGD.
G
F
·
A D

● （2）如右图，判断 CH＝√?BE.
由（1）可得，∠EAH＝45°，∴AE＝EH.
▲判断：利用 SA 判断
①BE、CH 各自所在的△：△ABE、△ECH; M H
②△ABE、△ECH 是否满足 SA？
S：AE＝EH（可证）；A：∠BAE＝∠CEH（可证）. B E C

▲画图：利用 SAS 画出全等结构
①在△ABE 和△ECH 中
?: ?? = ??
{?: ∠??? = ∠???
?: ??和??(待改造)
②改造：改造 AB 或改造 EC.
这里以改造 AB 为例.
③画法：在 AB 上取点 M，使得 AM＝EC，连接 ME.
理论上△AME≌△ECH.
▲证明：根据图中结构的顺序写出过程作法：与画法的说法一致.
结构：①△AME≌△ECH；②等腰 Rt△BME.
结论：CH＝ME＝√?BE.

总结：这里也可以改造 EC，具体作法略.


【例 5】如图，在△ABC 中，AC⊥BC，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，AD 交
BE 于 F，且 AE＝CD，AC＝BD，求∠BFD 的度数.

F
分析：条件和问题转化↓ A
▲AC⊥BC→90°、互余等；
▲AE＝CD→等量代换、构造全等； E
▲AC＝BD→等量代换、构造全等；
▲求∠BFD→导角或特殊结构证明.
C D B
注：当线段相等作为主要条件时，考虑构造全等.
考虑以 AE、CD 为对应边构造全等或以 AC、BD 为对应边构造全等. 这里考虑以 AC、BD 为对应边构造全等.
▲判断：利用 S 标准判断
①AC 所在△为Rt△ACD，BD 所在△是△BDF 或△BDA；
②Rt△ACD 和△BDF（或△BDA）满足 S.
▲画图：利用 SAS 画出全等结构
①AC 与 BD 是对应边，则 C 点与 B 点（或 D 点）是对应顶点. 这里选定点 B 为对应顶点，即点 B 为直角顶点.
②画法：如图 1，过 B 作 BG⊥BD 且 BG＝CD，连接 DG、AG.
▲证明：按照图中结构的顺序写出过程
F
作法：与画法的说法一致. A
结构：①Rt△ACD≌Rt△BDG；
②等腰 Rt△ADG；③平行四边形 AEBG. E
G
▲注：结构①→AD＝DG 且 AD⊥DG；

结构②→∠DAG＝45°；
结构③→AG∥EB→∠BFD＝∠DAG＝45°.
B
C D 图 1

● 也可以考虑以 AE、CD 为对应边构造全等.
作法：如图 2，过点 A 作 AG⊥AC 且 AG＝AC， A G
F
连接 GE、GB.
结构：①Rt△AEG≌Rt△ACD； E
②平行四边形 ADBG；
③等腰 Rt△BGE.
结论：∠BFD＝∠EBG＝45°.


总结：①如果连接能出现结构，考虑连接；
②S 标准往往用于构造 Rt△；
C D B
图 2

③图 1 中过点 D 向上或向下作垂线没有结构，过点 B 向下作垂线也没有结构.

【例 6】如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AC＝BC，E 在 AB 边上，EC＝ED. 求证：∠ADE＝∠ACE.


分析：条件和问题转化↓
▲AD∥BC→导角；
▲AC＝BC→等腰、角等、构造全等 ；
▲EC＝ED→等腰、角等、构造全等；
▲证明∠ADE＝∠ACE→导角、构造全等.
▲判断：利用 SA 标准判断
A D
E

B C

①∠ADE、∠ACE 各自所在的△：△ADE、△ACE;
②△ADE、△ACE 是否满足 SA？
S：ED＝EC（已知）；A：∠ADE＝∠ACE（所证）.
注：这里的∠ADE＝∠ACE 当已知看. G A D
F
E
▲画图：根据 SAS 画出全等结构
①在△ADE 和△ACE 中
?: ?? = ??
{?: ∠???＝∠???
?: ??, ??
②改造：改造 AD 或改造 AC 或同时改造. B C
注：同时改造 AD、AC，就是作垂线.
③画法：作 EF⊥AC 于 F，EG⊥AD 于 G.
▲证明：根据图中结构的顺序写出过程作法：与画法的说法一致.
结构：①EA 平分∠GAF；②Rt△EGD≌Rt△EFC.
总结：当改造 AD 或 AC 不行时，考虑同时改造 AD、AC.

【例 7】如左图，若 D 为等腰 Rt△ABC 的边 BC 上一点，且 DE⊥AD，BE⊥AB，
（1）求证：△ADE 为等腰 Rt△；
*（2）如右图，当 D 在 CB 上任意运动时，若 BC＝a，过 B 作 BM⊥BC 交 AE 于
M，现给两个结论，
①∠BMD 的度数不变；②BD＋BM＋DM 值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请判断哪一个结论正确，证明正确的结论，并求其值。






【例 8】如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D 点是△ABC 内一点，
∠ADC＝∠BAC，过点 B 作 BE∥CD 交 AD 的延长线于点 E.
（1） 依题意补全图形；
（2） 求证：∠CAD＝∠ABE；
（3） 在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与 CD 相等的线段并加以证明.


【课后练习】

1、如图，等腰△ABC 中，AB＝AC，D 在 AC 边的延长线上，E 在 AB 边上，且
BE＝CD，连接 DE 交 BC 于点 F. 求证：DF＝EF.
A





E
F
C
B

D


2、已知等边△ABC，D 是 BC 上一动点（不与 B、C 重合），DE 交∠ACB 的外角平分线 CF 交于 E，∠ADE＝60°.
（1） 如图 1，当 D 在线段 BC 上时，求证：AD＝DE；
（2） 如图 2，当 D 在 CB 延长线上时，（1）中结论是否成立？并证明；
（3） 如图 3，当 D 在 BC 延长线上时，（1）中结论是否还成立？并证明.
F

F
E
B
C
E
F
E
A
A A





B D C D B C D

图
图 1 图 2 图 3




3、如图，正六边形 ABCDEF，G 是 BC 边上一点（G 不与 B、C 重合），CP 是
∠BCD 的外角∠DCQ 的平分线，GH 交 CP 于 H 点，∠AGH＝120°. 猜想 AG 与 GH 的数量关系，并证明.
A
D
P
H
F E







B G C Q

4、在四边形 ABCD 中，AB＝BC，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点 E、F 分别在 BC、CD 上，且∠AEF＝∠ACD.
（1） 如图 1，若 AB＝AC，猜想线段 AE 与 EF 之间的数量关系;
（2） 如图 2，若 AB≠AC，（1）中的结论是否成立？并证明.

A D
F
F
A D





B E C
B E C


图 1 图 2



5、如图，等边△ABC 中，点 D、E 是 BC 边上的两个动点（不与点 B、C 重合），点 D 在点 E 的左侧，且 AD＝AE，∠BAD＝α，点 E 关于直线 AC 的对称点为 F， 连接 DF.
（1） 求∠CDF 的大小（用含 α 的式子表示）；
（2） 求证：AD＝DF.
A




F
B D E C





6、如图，四边形 ABCD 中，AC⊥BC，CD 平分∠BCA 的外角∠ACE，连接 BD， 且 AB⊥BD，
用等式表示线段 AD 与 BD 之间的数量关系，并证明.
A






D
B C E

7、如图，在四边形 ABCD 中，∠BDC＋∠ABD＝180°，∠A＝∠C． 求证：AD＝BC．

A






D
B C





8、如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC，∠B＝60°，点 E 在线段 AB 上， 且∠DEC＝60°.
E
求证：△DEC 是等边三角形. D






B C




9、等边△ABC 中，点 D、E、F 分别为边 AB、AC、BC 的中点，点 M 在直线 BC
上，以点 M 为旋转中心，将线段 MD 顺时针旋转 60º 至 MN，连接 EN.
（1） 如图 1，当点 M 在点 B 左侧时，线段 EN 与 MF 的数量关系是 ；
（2） 如图 2，当点 M 在 BC 边上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
（3） 当点 M 在点 C 右侧时，请在．图．3．中．画．出．相．应．的．图．形．，直．接．判．断．（1）中的结论是否成立？不必给出证明或说明理由.
D
E
B M F C
A A A

D E D E N
· ·

B M F C
N
B F C M


图 1 图 2 图 3

10、在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，BC＝√?.将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 α（0°＜α≤120°）得到△A'BC'，点 A、C 的对应点分别为点 A'、C'.
（1） 如图 1，当点 C'恰好为线段 AA'的中点时，α＝ °，AA'＝ ；
（2） 当线段 AA'与线段 CC'有交点时，记交点为 D 点.
①在图 2 中补全图形，猜想线段 AD 与 A'D 的数量关系，并证明；
②连接 BD，直接写出 BD 的长的取值范围. c











11、已知线段 AB 及过点 A 的直线 l．如果线段 AC 与线段 AB 关于直线 l 对称， 连接 BC 交直线 l 于点 D，以 AC 为边作等边△ACE，使得点 E 在 AC 的下方，作射线 BE 交直线 l 于点 F，连接 CF．
（1）根据题意将图 1 补全；
（2）如图 1，如果∠BAD＝α（30°＜α＜60°）．
① ∠BAE＝ ，∠ABE＝ （用含有 α 的式子表示）；
② 用等式表示线段 FA、FC、FE 的数量关系，并证明．
（3）如图 2，如果 60°＜α＜90°，直接写出线段 FA、FC、FE 的数量关系，不证
明．
A
A
l l




B


B




图 1 图 2