八年级数学三角形 几何辅助线 倍长中线 专项练习卷（无答案）

这是一份八年级数学三角形 几何辅助线 倍长中线 专项练习卷（无答案），共7页。试卷主要包含了什么是中线？，什么是倍长中线？ 步骤，什么情况下使用倍长中线？等内容，欢迎下载使用。
八年级上册几何辅助线 倍长中线（无答案）中点的三种重要用法↓①倍长中线；②中位线；③斜边中线. 这里主要研究倍长中线的用法：1、什么是中线？这里所说的中线是广义的中线，凡是和中点相连的线段（被中点平分的线段除外）  都可以看作是中线.如图，D 是 BC 中点，则 AD、FD 可以看作是中线 A但 BD 和 CD 不看作中线. 
▲2、什么是倍长中线？ 步骤：①确定中线；②将中线延长一倍，注意延长方向；③连接线段且出现对顶的两个三角形全等. 如下图
B D C
▲作法 1：如图 1，延长中线 FD 到 G，使得 DG＝FD，连接 BG， 结构：△CDF≌△BDG（SAS）结论：CF＝BG 且 CF∥BG.▲作法 2：如图 2，延长中线 AD 到 G，使得 DG＝AD，连接 CG， 结构：△BDA≌△CDG（SAS）结论：AB＝CG 且 AB∥CG.    B CB C G G 图 1 图 2 ▲3、什么情况下使用倍长中线？当条件中出现中点（尤其是只有 1 个中点）时，可以考虑倍长中线.特别地，有些题目利用倍长中线的思想作图，但辅助线的说法需要更换，以后会以  具体例子说明.
 【例 1】如图，在△ABC 中， D 是 BC 中点，连接 AD. 求证：AB＋AC＞2AD.              A 分析：条件转化↓▲中点 D→倍长中线另外，问题与三角形三边不等量关系有关. B D C● 突破点：中点 D▲作法：倍长中线延长 AD 到 E，使得 AD＝DE，连接 EC. A结构：①△ABD≌△ECD结论：AB＝CE 且 AB∥CE；②△ACE B D C结论：AB＋AC＝CE＋AC＞2AD. 注：若连接 BE，同样可以出现全等结构△ADC≌△EDB所以选择连接 BE 也可以解决问题. E 【例 2】如图，在△ABC 中，AB＞AC，E 是 BC 中点，AD 平分∠BAC 交 BC 于D 点，EF∥AD 交 AB 于 F，交 CA 的延长线于 G. G求证：BF＝CG. 分析：条件转为如下↓▲中点 E→倍长中线▲角平分线 AD→角相等 B C▲平行→角等或互补 E D● 突破点：中线 FE 或 GE G▲作法：延长 FE 到 M，使 EM＝FE，连接 MC.结构：①△BEF≌△CEM结论：BF＝CM 且 BF∥CM②等腰△GCM B C∵∠M＝∠BFE＝∠BAD＝∠CAD＝∠G. 注：这里也可以倍长 GE 到 M，连接 BM， M出现全等结构△BEM≌△CEG. 【例 3】如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，D 是 BC 中点，E、F 分别为 AB，AC 上的点，且 DE⊥DF，连接 EF.
求证：BE2＋CF2＝EF2. 分析：条件转为如下↓▲中点 D→倍长中线或斜边中线▲∠A＝90°→互余或勾股定理等▲DE⊥DF→直角、互余等▲BE2＋CF2＝EF2→构造有效直角三角形
A  B D  C A
②ED 垂直平分GF→连接出等腰 G③Rt△EBG 注：可以倍长中线 ED 到 G，连接 GC，则△BDE≌△CDG. 【例 4】如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E 是 BD 的中点，连接 AE、AD， 且 AB＝BD.求证：AC＝2AE. A 分析：对条件和问题转化↓▲中点 D、E→平分线段、倍长中线；▲AB＝BD→等腰、等量代换； B E D C▲证明 AC＝2AE→倍长 AE 或 AC 取中.● 突破点：中点 E 结合 AC＝2AE，考虑倍长中线. A作法：延长 AE 到 F，使得 AE＝EF，连接 BF..结构：①△AED≌△FEB；②△ABF≌△ADC.注：这里也可以连接 FD. B C另外，也可以取 AC 中点，同样有结构. 具体做法略. 总结：尝试倍长中线，将条件和问题结合起来. F 【例 5】等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△BDE 中，BE＜AB，点 A、D 是直角顶点，连接 EC，F 是 EC 中点，连接 AF、DF.（1）  如图 1，D、E 分别在 BC、AB 上，判断 AF 与 DF 的数量关系和位置关系；（2）   如图 2，D 在 AB 上，（1）中的结论成立吗？并证明；（3）   如图 3，D、E 在 AB 两侧，（1）中的结论是否仍然成立？并证明.A
B D C
B C B C
 图 1 图 2 图 3  分析：条件转化↓▲等腰△ABC、△BDE→互余、边等、45°等▲中点 F→斜边中线、倍长中线、中位线（1）   ●突破点：中点 F图 1 中，存在两个斜边中线结构.
结构：①斜边中线 AF；②斜边中线 DF； 结论：AF＝DF 且 AF⊥DF.（2）   ●突破点：中点 F可以考虑倍长中线或中位线， 这里以倍长中线为例.作法：延长 DF 交 BC 于 G B C（▲▲注意：这里不说倍长）结构：①△EFD≌△CFG；②等腰 Rt△ADG. 结论：AF＝DF 且 AF⊥DF.（3）   ●突破点：中点 F→倍长中线作法：延长 DF 到 G，使得 DF＝FG，连接 AD、AG、CG、作 EH⊥AB 于 H（？）▲结构：①△EFD≌△CFG；②△ABD≌△ACG；③等腰 Rt△ADG；结论：AF＝DF 且 AF⊥DF. 注：（1）中应用斜边中线结构； B C（2）   中应用倍长中线＋斜边中线，注意辅助线说法，也可以考虑中位线用法；（3）   中重点在于∠ABD＝∠ACG 的转化.  【例 6】已知点 P 为线段 AB 上一点，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60°，得到线段 AC；再将线段 BP 绕 B 点逆时针旋转 120°，得到线段 BD，连接 AD，取 AD 中点 M，连接 BM、CM.（1）   如图 1，当点 P 在线段 CM 上时，求证：PM∥BD；（2）  如图 2，当点 P 不在线段 CM 上，写出线段 BM 与 CM 的数量关系与位置关系，并证明.CC       DD图 1 图 2
【课后练习】 1、如图，在△ABC 中，分别以 AB，AC 为边向外作 Rt△ABD 和 Rt△ACE，且AB＝AD，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°，F 是 DE 中点．连接 FA.求证：FA⊥BC.  D E     B C     2、如图，在△ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AC 上一点，连接 BE 交 AD 与 F， 且 AE＝EF.求证：AC＝BF. A    B D C      3、如图，△ABC 中，AD⊥BC 于 D 点，AD＝BD，F 点在线段 AD 上，DF＝DC， E 点是 BC 的中点，连接 EF 并延长到 G 点，连接 CG 且 CG＝AC.求证：∠BFE＝∠G       B E D C
4、已知正方形 ABCD 和等腰 Rt△BEF，EF＝BE，∠BEF＝90°，连接 FD，G 是FD 中点，连接GC、GE.（1）   如图 1，E、F 分别在 BD、BC 上，判断 EG、CG 的关系；（2）   如图 2，E 在 BC 上，则（1）中的结论是否成立，并证明；（3）   将图 1 中△BEF 绕 B 点顺时针旋转 α（0°＜α＜45°）得到图 3，则（1）中结论是否成立，并证明.  A                                                               D A D A D
B                                   F C
B C B CFF
 图 1 图 2 图 3   5、如图，菱形 ABCD 中，∠BCD＝110°，E 是 AD 中点，F 是 AB 中点，G 在BC 上，EG⊥BC 于 G.（1）   求证：FE＝FG；
（2）   求∠FGB 的度数.
A                             E D
      B G C    6、如图，在△ABC 中，BD⊥AC 于点 D，点 E 是 BC 中点，连接 AE，AE＝BD， AE 交 BD 于 F.求证：AF＝2DF.A      B E C
7、如图，在△ABC 中，D 点是 AB 中点，E、F 点分别在 CA、BC 延长线上，且DE⊥DF，连接 EF.
（1）   求证：AE＋BF＞EF；（2）   若 AC⊥BC，求证：AE2＋BF2＝EF2.
E      B                                     C F