八年级数学 三角形 几何辅助线截长补短基础版 专项练习卷（无答案）

这是一份八年级数学 三角形 几何辅助线截长补短基础版 专项练习卷（无答案），共9页。试卷主要包含了什么是截长补短法？，什么情况下使用截长补短法？，解决以下问题，转移线段位置的方法等内容，欢迎下载使用。

主要研究以下几个方面：
1、什么是截长补短法？
截长补短法包括截长法和补短法.
截长就是把长边截成两条短边，补短就是延长短边.
原理：将 3 条线段之间的数量关系转化为 2 条线段之间的数量关系.
▲▲2、如何使用截长补短法？ 对于 a＋b＝c
▲截长法：将 c 截成 m 和 n 两段线段
①使得 m＝a，只需证 n＝b 或使得 n＝b，只需证 m＝a；
②使得 n＝a，只需证 m＝b 或使得 m＝b，只需证 n＝a.
▲补短法：这里以延长线段 AB 为例（证 AB＋CD＝MN）
①延长 AB 到 E，使得 BE＝CD（即 AE＝AB＋BE），只需证 AE＝MN；
②延长 AB 到 E，使得 AE＝MN（即 AE＝AB＋BE），只需证 BE＝CD.
▲3、什么情况下使用截长补短法？
当条件或问题中出现 a＋b＝c 或与之相关的形式时，考虑截长补短法. 注：有的题目只能用其中一种方法，视情况而定.
▲4、解决以下问题：
a＋b＝c
▲▲5、转移线段位置的方法：
旋转、对称、平移、全等、等边、特殊 Rt△、正方形、等量代换.
【典型例题】
【例 1】正方形 ABCD 中，E、F 分别在直线 BC、CD 上，连接 AE、AF、EF
且∠EAF=45°.
如图 1，E、F 分别在线段 BC、CD 上，求证：EF＝BE＋DF；
如图 2，E、F 分别在 BC、CD 延长线上，求证：BE＝EF＋DF；
如图 3，E、F 分别在 CB、DC 延长线上，求证：DF＝EF＋BE.
D
A
B
FD
DA
.
F
EC
ECBCE
F
图 1图 2图 3
分析：条件转化↓
▲∠EAF=45°→待定
▲正方形 ABCD→边等，90°
▲▲（1）通过尝试，采用补短法，如图 1－1.
▲作法 1：延长 EB 到 G，使得 BG＝DF，连接 AG.
只需证 EG＝EF.
结构：①△ABG≌△ADF（SAS）
②△AEG≌△AEF（SAS）←∠GAE＝∠FAE＝45° 结论：EG＝EF.
▲作法 2：延长 FD 到 G，使得 DG＝BE，连接 AG.
具体略.
▲▲（2）如下图.
AD
F
GBEC
图 1－1
G
D
F
F
AD
GCE
1
图 2
▲作法 1：截长法，如图 2－1.
BCE
2
图 2
在 BE 上取点 G，使得 BG＝DF，连接 AG.
结构：①△ABG≌△ADF（SAS）
②△AEG≌△AEF（SAS）←∠GAE＝∠FAE＝45°
∴EG＝EF，BE＝EF＋FD.
▲作法 2：补短法，如图 2－2.
延长 DF 到 G，使得 DG＝BE，连接 AG.
结构：①△ABE≌△ADG（SAS）；②△FAE≌△FAG（SAS）→FG＝FE.
▲▲（3）如下图
E
B
B
ADAD G
ECGC
F
图 3－1
图 3－2F
▲作法 1：截长法，如图 3－1.
在 DF 上取点 G，使得 DG＝BE，连接 AG.
结构：①△ADG≌△ABE（SAS）→AE＝AG，∠BAE＝DAG；
②△AFG≌△AFE（SAS）←∠GAF＝∠EAF＝45°.
∴DF＝EF＋BE.
▲作法 2：补短法，如图 3－2.
延长 BE 到 G，使得 BG＝DF，连接 AG.
结构：①△ADF≌△ABG（SAS）；②△AEG≌△AEF（SAS）.
∴DF＝BE＋EF.
总结：（1）问不适合截长法，（2）（3）问可以考虑补短法，但注意辅助线的说法.
【例 2】如图，在△ABC 中，∠ABC＝60°，D、E 分别在 BC、AB 上，AD 平分
∠BAC，CE 平分∠ACB，且 AD 交 CE 于点 F.A
E
F
判断 AC、AE、CD 之间的数量关系，并证明.
分析：判断数量关系的方法：测量结论：AC＝AE＋CD.
条件和问题转化↓BDC
▲角平分线→角等、构造全等
G
E
F
▲∠ABC＝60°→∠AFC＝120°等A
▲AC＝AE＋CD→考虑截长补短法
▲▲思路一：考虑截长法，截取长边 AC，如右图.
▲作法 1：在 AC 上取点 G，使得 AG＝AE，连接 FG.
只需证明 CG＝CD 即可.
结构：①△AFE≌△AFG（？）BDC
②△CFD≌△CFG←∠CFD＝∠CFG＝60°←∠AFC＝120°←∠ABC＝60° 结论：CD＝CG，∴AC＝AE＋CD.
▲作法 2：在 AC 上取点 G，使得 CG＝CD，连接 FG.
只需证明 AG＝AE 即可，具体作法略.
▲▲思路二：考虑补短法，这里以延长 AE 为例.
E
F
B
D
▲作法：如右图，延长 AB 到 G，使得 AG＝AC .A
只需证明 EG＝CD 即可.
结构：①△AFG≌△AFC（SAS）
→∠G＝∠ACF，FG＝FC .
②△FEG≌△FDC（AAS）C
这里也可以补短 CD，具体作法略.G
总结：这里补短法要注意辅助线的说法.
【例 3】如图，△ABC 中，AB＝AC，∠A＝100°，∠B 的平分线交 AC 于 D， 求证：AD＋BD＝BC.
【例 4】如图，△ABC 中，BC＝AC，∠C＝90°，∠A 的平分线交 BC 于 D， 求证：AC＋CD＝AB
【课后练习】
1、如图，正方形 ABCD，E、F 分别在 BC、CD 上，连接 EF，AE，AF， EF＝BE＋FD.
求证：∠EAF＝45°.AD
F
BEC
2、如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别在 BC、CD 上，连接 AE，AF，且
∠DAF＝∠FAE.
求证：AE＝BE＋FD.
D
F
EC
3、如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别在 BC、CD 上，连接 AE、AF、EF， AH⊥EF，且 AH＝AB.
求证：（1）EF＝BE＋DF；AD
H
（2）∠EAF＝45°.
F
BEC
4、如图，四边形 ABCD 中，AC 平分∠BCD，且∠BCD＝120°, ∠BAD 与
∠BCD 互补.
求证：AC＝BC＋CD。
A
B
D
5、如图，正方形 ABCD 中，对角线的交点是 O，P 是线段 OD 上一动点（不与
O、D 点重合），作直线 CP，BE⊥CP 于 E，DF⊥CP 于 F，连接 OE、OF，
求证：OE＝OF；
求证：BE＝DF＋EF；AD
F
P
O
E
判断 BE、DF、OE 之间的数量关系，并证明.
BC
6、如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝BC，∠B＝60°，点 E 在线段 AB 上， 且∠DEC＝60°.
E
求证：AD＋AE＝BC.
A D
BC
7、如图，△ABC 中，AB＞AC，AD、CE 分别平分∠BAC 和∠ACB 且交于 F 点，
M 在 BC 上，连接 FM， BM＋AC＝AB.
求证：FM＝FC.
E
F
A
BMDC
8、如图，△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D， 判断线段 AD、BD、BC 之间的数量关系，并证明.
D
A
BC
9、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D 点，∠ABC＝2∠ACB 求证：AC＝AB＋BD.
A
BDC
10、如图，已知△ABC 中，∠BAC＝60°，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D 点， 且 AB＝AC＋DC.
D
求∠ABC 的度数.A
C
B
11、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC 交 BC 于 D，∠ADC＝60°，E 在 AD 上， 且 DE＝DB，延长 CE 交 AB 于 F 点.
求证：AB＝AC＋CE；
求∠BFC 度数.
A
F
E
BDC
12、如图，等边△ABC 中，作射线 AD 交 BC 边于 D（D 不与 B、C 及 BC 中点重合），∠BAD＝α，B 关于射线 AD 的对称点是 E，延长 CE 交射线 AD 于 F.
求∠BCF 的度数（用含 α 的式子表示）；
用等式表示 AF、CF、EF 之间的数量关系，并证明.
D
·
A
BC
FE
13、如图，△ABC 中，∠ABC＝60°，D 在 BC 上，E 在 AB 上，AD＝AC，
BD＝BE，求证：AE＝DE＋DC.
E
A
1.
BDC
14、如图，在等边△ABC 中，D 是线段 BC 上一点，作射线 AD，点 B 关于射线
AD 的对称点为E，连接 EC 并延长，交射线 AD 于 F.
求∠AFE 的度数；
用等式表示线段 AF、CF、EF 之间的数量关系，并证明.
A
D
C
E
B
F
15、（1）如图 1，在正方形 ABCD 中，E、F 分别在 BC、CD 上，∠EAF＝45°， 求证：BE＋DF＝EF；
如图 2，四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E、F 分别在边 BC、
CD 上，∠EAF＝?∠BAD，则（1）中的结论是否成立？若成立，请证明，若不成
?
立，请说明理由；
在（2）中，将△AEF 绕点 A 逆时针旋转，当点 E、F 分别在 BC、CD 延长线上时，如图 3 所示，其它条件不变，求证：BE＝DF＋EF.
F
A D
C
DA D
FF
E
C
ECBEB
图 1图 2图 3
16、在△ABC，∠ BAC 为锐角，AB＞ AC， AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D．
（ 1）如图 1，若△ABC 是等腰直角三角形， 直接写出线段 AC， CD， AB
之间的数量关系；
（ 2） BC 的垂直平分线交 AD 延长线于点 E，交 BC 于点 F．
①如图 2，若∠ABE＝ 60°， 用等式表示 AC， CE， AB 之间的数量关系， 并证明；
②如图 3，若 AC＋ AB＝ √?AE， 求∠BAC 的度数．
C
D
F
C
E
D
F
E
D
ABABAB
图 1图 2图 3
17、如图，四边形 ABCD 中，AC⊥BC，CD 平分∠ACB 的外角∠ACE，连接 BD， 且 AD⊥BD，用等式表示线段 AC、BC、CD 之间的数量关系，并证明.
A
D
BCE
18、如图，点 P 在等边△ABC 内，且∠BAP＝∠ACP.
求∠APC 的度数；
延长 CP 到 D，使得 PD＝PA，连接 AD，BD.
①依题意补全图形；
P
②求证：AD＋BD＝CD.A
BC