八年级数学三角形 几何辅助线截长补短提高 专项练习卷（无答案）

这是一份八年级数学三角形 几何辅助线截长补短提高 专项练习卷（无答案），共19页。
解决以下几种问题：
①a＋b＝kc；②a＋kb＝c；③a＋kb＝λc.
▲主要作法：
旋转，构造全等，构造特殊结构等. 核心是构造结构，更换线段.
▲更换线段的方法：
相等关系：旋转、对称、平移、全等、等边、正方形、等量代换. 倍数关系：中位线、斜边中线、30°结构、45°结构.
题型一：形如 a＋b＝kc
【典型例题】
【例 1】如图，矩形 ABCD 中，E 在 AD 边上，AE＝AB，F 在 CD 上，BG⊥EF 于 G，连接 AG.
G
判断 EG、AG、BG 之间的数量关系，并证明.AED
分析：经测量可得 BG＋EG＝√?AG
F
▲作法：补短法
▲作法 1：如图 1BC
延长 GB 到 H，使得 BH＝EG，连接 AH.
结构：①△AEG≌△ABH（SAS）→AG＝AH，∠GAH＝90°；
②等腰 Rt△AGH→GH＝√?AG.H
E
G
AED
G
AD
F
BCF
H图 1
BC
▲作法 2：如图 2图 2
延长 GE 到 H，使得 EH＝BG，连接 AH.
结构：①△ABG≌△AEH（SAS）→AG＝AH，∠GAH＝90°；
②等腰 Rt△GAH→GH＝√?AG.
总结：本题中 AG 不是长边，不适用截长法.
【例2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上（不与点B、C重合），连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.
如图 1，点 D 在 BC 边上.
①依题意补全图 1；
②求证：BE＝√?CD；
如图 2，点 D 在 BC 边的延长线上，用等式表示线段 AB、BD、BE 之间的数量关系，并证明.
AA
CDB
图 1
DCB
图 2
2
分析：首先根据题意补全图形，针对“√?”构造等腰 Rt△结构.
▲构造步骤如下↓
①关注 CD 和 BE 各自所在的三角形：△ACD、△BDE；
②△ACD 和△BDE 满足：AD＝DE（S），∠CAD＝∠BDE（A）；
③关注 AC 和 BD：改造 AC 或改造 BD.
如图 1－1，AC 不变，改造 BD.
作法：过 E 作 EF⊥DB 于 F.
结构：①△ACD≌△DEF；②等腰 Rt△BEF.
AA
E
F
E
CDBF
CDB
图 1－1图 1－2
如图 1－2，BD 不变，改造 AC.
作法：在 AC 上取点 F，使得 AF＝BD，连接 DF.A

C
F
结构：①△ADF≌△BDE；②等腰 Rt△CDF.
（2）适当转化线段，AB 可以转化为 AC 或 BC.
从结构出发，研究所蕴含的数量关系.
研究发现，△ACD 和△BDE 可以构造全等. 作法：作 EF⊥BD 于 F.
结构：①△ACD≌△DEF；②等腰 Rt△BEF；
DB
结论：√?BD＝AB＋BE.
E
题型二：形如 a＋kb＝c
【例 3】如图，CN 是等边△ABC 的外角∠ACM 内部的一条射线，点 A 关于 CN
的对称点为 D，连接 AD，BD，CD，且 AD，BD 分别交 CN 于 E，F.
若∠ACN＝α，求∠BDC 的大小（用含 α 的式子表示）；
用等式表示线段 FB，FC、FE 之间的数量关系，并证明.
分析：本题中有对称，对称伴随全等结构.N
①∠ACN＝∠DCN；②等腰△BCD.AE
对结构进行深挖，可得∠ADB＝30°，D
那么 FE 可以转化为 FD.
而∠CFB＝60°，可以构造等边三角形.F
如下图，在 BF 上取点 G，使得 FG＝FC，B
结构：①特殊 Rt△DEF；②△BCG≌△DCF；CM
③等边△CFG.
A
N
E
G
F
结论：FC＋2FE＝FB.
总结：等边△是线段等量代换的重要结构.D
BCM
【例 4】已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC，D 是 AB 的中点，E、F 分别在边 AC、BC 上，P 在边 BA 上（不与点 A、B、D 重合），DE⊥DF，PE⊥PF，D、 P 为垂足，
求证：△DEF 是等腰三角形；
求证：PF＝PE＋√?DP.
【例 5】如图，在等腰△ABC 中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D 为 BC 边的中点， 将线段 AC 绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AE，连接 BE 交 AD 于点 F.
依题意补全图形；
求∠AFE 的度数；
用等式表示线段 AF，BF，EF 之间的数量关系，并证明.
题型三：形如 a＋kb＝λc
【例 6】如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上一动点，点 F 在边 BC 的延长线上，AE＝CF，连接 DE、DF、EF，FH 平分∠EFB 交 BD 于点 H
求证：DE⊥DF；
求证：DE＝DH；
过点 H 作 HM⊥EF 于点 M，用等式表示线段 AB、HM 与 EF 之间的数量关系，并证明.
分析：根据条件找结构.
结构：△ADE≌△DCF；
结构：①等腰 Rt△DEF；
②角平分线结构；
③等腰△DFH；
▲（3）首先补全图形，如图 1
作法：更换线段
AB→AD、BC、CD、BD； EF→DE、DF；
HM→HN←利用角平分线的性质； 结构：①角平分线结构；
②等腰 Rt△DEF；③等腰△DFH；
④等腰 Rt△ABD.
D
H
E
CF
D
M
H
A E
BNCF
√√
图 1
结论： ?AB＝√ ?EF＋ ?HM，即 EF＋2HM＝2AB.
?
【课后练习】
1、如图，□ABCD 中，E 在 AD 边上，AE＝AB，过点 E 作直线 EF 与 AB 边相交，∠EFB＝∠EAB＝60°，连接 AF，BF.
求证：EF＝AF＋BF.
F
A ED
BC
2、已知等边△ABC 和等腰△BCD，∠BDC＝120°，E、F 分别在 AB、AC 上，连接 EF，ED，FD，且∠EDF＝60°.
如图 1，当 E、F 分别在线段 AB、AC 上时，判断 EF、EB、FC 之间数量关系、并加以证明；
如图 2，当 E、F 分别在线段 BA、AC 延长线上时，判断 EF、BE、FC 之间
数量关系、并加以证明.E
A
A
E
F
BCBC F
DD
图 1图 2
3、如图，△ABC 中，AB＝AC，∠ABD＝60°，DE⊥AD 交 AC 于 E，DE 平分
∠BDC
判断 AC、BD、CD 之间的数量关系，并证明.
A
BED
C
4、已知等腰△ABC，∠BAC＝α，AB＝AC，AD⊥BC 于 D，以 AC 为边作等边
△ACE，直线 BE 交直线 AD 于 F，连接 FC.
如图 1，若 120°＜α＜180°，△ABC 与△ACE 在直线 AC 的异侧，
①求证：∠FEA＝∠FCA；
②求证：FE＋FA＝2FD；
如图 2，若 60°＜α＜120°，△ABC 和△ACE 在直线 AC 的同侧时， 判断 FE、FA、FD 之间数量关系，并证明.
F
A
EA
BDCBDC E
F
5、如图，△ABC 中，AB＞AC，CD 平分∠ACB 交 AB 于 D 点，E 在线段 CD 上
（不与 C、D 重合）。连接 EA、EB，∠EAC＝2∠EBC，
判断 AE、AC、BC 之间的数量关系，并证明；
若∠ACB＝60°，AC＝BE，求∠EBC 度数.
D
E
A
BC
6、如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CA＝CB， D 是 AC 的中点，连接 BD， CE⊥BD 于 F 交 AB 于点 E，连接 DE，
判断 BD、CE、DE 之间的数量关系，并证明.
A
E
F
D
CB
7、如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AE⊥BD 于 E，∠DAE＝∠BAC，F 是 BD
中点，连接 CF，
E
F
求证：BE＝DE＋2CF.A
D
CB
8、如图，△ABC 中，AC＝BC，∠ACB＝2α（0°＜α≤45°），D 点是 AB 边上一动点，且 α＜∠ACD＜2α，点 A、E 关于直线 CD 对称，连接 EB 与线段 CD 的延长线交于 F 点，
如图 1，求∠F 的度数（用含 α 的式子表示）；
如图 2，当 α＝30°时，求证：CF＝EF＋BF；
（3）如图 3，当 α＝45°时，求证：√?CF＝EF＋BF.
9、如图，等腰 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，AF⊥BE 于 G.
如图 1，D、E 分别是 AB、AC 中点，EF 交 CD 于 H，求证：EF⊥CD；
如图 2，AD＝AE，FM⊥CD 于 H 交 BE 的延长线于 M，用等式表示 BM、AF、FM 之间的数量关系，并证明.
A
M
D
E
G
H
A
D
G
E
H
BFCBFC
图 1图 2
10、如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上一动点，点 F 在边 BC 的延长线上，
CF＝AE，连接 DE、DF、EF，FH 平分∠EFB 交 BD 于点 H
求证：DE⊥DF；
求证：DH＝DE；
过点 H 作 HM⊥EF 于点 M，用等式表示线段 AB、HM 与 EF 之间的数量关系，并证明.
D
H
A E
BCF
11、如图，E 是线段 AC 上一点，AE＝AB，过点 E 作直线 EF，在 EF 上取一点
D，使得∠EDB＝∠EAB，连接 AD.
如图 1，若直线 EF 与线段 AB 相交于点 P，当∠EAB＝60°时， 求证：ED =AD＋BD；
A E
D
P
B
A
E
D
P
B
CC
FF
图 1图 2
如图 2，若直线 EF 与线段 AB 相交于点 P，当∠EAB＝2α（0º﹤α﹤45º）时，直接写出线段 ED、AD、BD 之间的数量关系（用含 α 的式子表示）；
如图 3，若直线 EF 与线段 AB 不相交，当∠EAB＝90°时，
①补全图形；
②写出线段 ED、AD、BD 之间的数量关系，并证明.
E
C
A
F
B
图 3
12、如图，在菱形 ABCD 中，∠ADC＝60°，点 E 是对角线 BD 上一点，连接AE，∠AED＝50°，将线段 CD 绕点 C 逆时针旋转 50°交 AD 于 F 并延长交 EA 的延长线于点 G.
依题意补全图形；
求证：EG＝CD；
用等式表示线段 BE、EG、CG 之间的数量关系，并证明.
A
E
BD
C
13、在△ABC 中，∠BAC＝90°．E 在 AB 边上，∠EBC＝∠ECB，D 在射线 EC 上，DF⊥EC 于 D 交直线 BC 于 F，FG⊥直线 AB 于 G.
如图 1，若点 D 在线段 EC 上，请猜想线段 FG、DF、AC 之间的数量关系，并证明；
如图 2，若点 D 在线段 EC 的延长线上，
①依题意补全图形；
②直接写出线段 FG、DF、AC 之间的数量关系.
E
G
D
E
C
AA
BFCB
图 1图 2
14、已知 AC＝DC，AC⊥DC，直线 MN 经过点 A，作 DB⊥MN 于 B，连接 CB.
直接写出∠D 与∠MAC 之间的数量关系;
① 如图 1，用等式表示线段 AB，BD 与 BC 之间的数量关系，并证明；
② 如图 2，直接写出线段 AB，BD 与 BC 之间的数量关系，并证明；
M
A
CD
B
N
A
B
A
C
D
B
MM
N
CD
MA
B
N
CD
N
图 1图 2
15、在□ABCD 中，AE⊥BC 于 E，AE＝BC，G 在射线 BC 上（G 不与 E 重合），
EF⊥DG 于点 F，连接 AF.
如图 1，点 G 在线段 BE 上，求证：DF＝√?AF＋EF；
如图 2，当 G 为射线 EC 上.
①依题意补全图形；
②直接写出线段 DF、EF、AF 之间的数量关系.
F
A DA D
BGEC
BEC
图 1图 2
16、如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，D 在边 BC 上，连接 AD，
∠BAD＝α，D 关于 AB 的对称点为 E，E 关于 AC 的对称点为 F，EF 交 AB 于
G，连接 DE、DG，AE、AF.
求∠AEF 的度数（用含 α 的式子表示）；
用等式表示线段 EF 与 EG、AG 之间的数量关系，并证明.
A
G
EF
BDC
17、如图，在等边△ABC 中，点 D 是边 CB 延长线上一动点（BD＜BC），连接
AD，点 B 关于直线 AD 的对称点为 E，过 D 作 DF∥AB 交 CE 于点 F.
①依题意补全图形；
②求证：AD＝CF；
当∠DCE＝15°时，直接写出线段 AD、EF、BC 之间的数量关系.
AA
DBCDBC
18、如图，△ABC 中，AB＝AC，AD⊥BC 于 D 点，以 AC 为边作等边△ACE， BE 交 AE 于 F 点，连接CF，以 BC 为边作△BCG，且∠BGC＝60°，连接 FG. 用等式表示 BG、CG、FG 之间的数量关系，并证明.
E
A
F
B
D
C
G
19、如图，□ABCD 中，以 BC 为斜边作等腰 Rt△BCE，EF⊥DE 交 AD 于 F 点， 连接 FB，∠CDE＝∠CED＝∠BCD.
用等式表示线段 FA、FC、FD 之间的数量关系，并证明.
A FD
E
BC
20、已知∠MAN＝45°，B 为射线 AN 上一定点，C 为射线 AM 上一动点（不与 A
重合），D 在线段 BC 的延长线上，且 CD＝CB，过 D 作 DE⊥AM 于 E.
当点 C 运动到如图 1 的位置时，依题意补全图形，求证：2AC＝AE＋DE；
在点 C 运动的过程中，E 点在射线 AM 的反向延长线上，
①直接用等式表示线段 AC、AE、DE 之间的数量关系，并证明；
②直接用等式表示线段 AC、AE、AB 之间的数量关系，并证明．
N
B
·
N
B
·
A·A
[a1]CMM
图 1备用图