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专题1.36 证明三角形全等作辅助线法-倍长中线（巩固篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）
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这是一份专题1.36 证明三角形全等作辅助线法-倍长中线（巩固篇）（专项练习）-八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版），共56页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题1.36 证明三角形全等作辅助线法-倍长中线（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
2．如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，是的边上的中线，cm，cm，则边的长度可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．14cm D．13cm
4．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
5．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（ ）
A．1＜AB＜11 B．4＜AB＜13 C．4＜AB＜16 D．11＜AB＜16
6．△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是 ( )
A．9
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
二、填空题
8．在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
9．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．
10．已知AB=4，AC=2，D是BC的中点， AD是整数，则AD=_______．
11．中，，， 则第三边边上的中线的取值范围是______．
12．在中，，中线，则边长的取值范围是_________．
13．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．
14．如图，△ABC中，BC边上的中线AD将∠BAC分成了两角∠BAD、∠DAC分别为70°和40°，若中线AD长为2.4cm，则AC长为________cm.
15．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是_________.
三、解答题
16．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
17．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ；
（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．
18．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：．
【理解与应用】
（2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________．
（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：．
19．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求证：AD⊥AC
20．（1）如图1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE=AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF=∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
21．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长AD到Q，使得DQ＝AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；
③利用三角形的三边关系可得4
（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明．
（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°．试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明．
22．（1）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【学会运用】
如图②，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD．
23．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“≌”的推理过程．
求证：≌
证明：延长AD到点E，使
在和中已作，
______，
中点定义，
≌______，
探究得出AD的取值范围是______；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．
24．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中
∴△ABD≅△ECD（SAS）
∴AB＝ ．
又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，
∴ ＜AE＜ ．
又∵AE＝2AD．
∴ ＜AD＜ ．
【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 ．（直接写答案）
【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．
25．（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；
（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；
（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．
参考答案
1．B
【分析】
如图所示，延长AD到E，使，连接CE，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围．
解：
如图所示，延长AD到E，使，连接CE，
AD是△ABC中BC边上的中线，
，
在与中，
，
，
，
在中，由三角形三边关系得：
，
，，
，
．
【点拨】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．C
【分析】
延长至点E，使，连接，证明，可得，然后运用三角形三边关系可得结果．
解：如图，延长至点E，使，连接．
∵为的边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是解题的关键．
3．B
【分析】
延长AD至M使DM=AD，连接CM，根据SAS得出，得出AB=CM=4cm，再根据三角形的三边关系得出AC的范围，从而得出结论．
解：延长AD至M使DM=AD，连接CM，
∵是的边上的中线，
∴BD=CD，
∵∠ADB=∠CDM,
∴，
∴MC=AB=5cm，AD=DM=4cm，
∴AM=8cm
在中，
即：3＜AC＜13，
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC长度的取值范围是解题的关键．
4．A
【分析】
延长AD到E，使AD=DE，证明△ADC≌△EDB，然后利用三边关系即可得出结论．
解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
又∠BDE=∠CDA
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=3
由三角形三边关系得，
即：
故选：A
【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
5．C
【分析】
作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝5，
∴AE＝5＋5＝10，
∵10＋6＝16，10−6＝4，
∴4＜CE＜16，
即4＜AB＜16．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
6．A
【分析】
根据题意画出图形，延长AD到E使DE=AD，连接BE，先证明△ACD≌△EBD，从而得到BE=AC，在△AEB中，由三角形的三边关系即可求得AB的取值范围．
解：如图所示：
延长AD到E使DE=AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD．
在△ACD和△EBD中
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=5．
∵AD=7，
∴AE=14．
由三角形的三边关系为：14-5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故选A．
【点拨】考查了中线的性质的运用，解决此题的关键是通过倍长中线，构造全等三角形，把要求的线段和已知的线段放到一个三角形中，再根据三角形的三边关系进行计算．
7．C
【分析】
延长AD，使DG=AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G，由等腰三角形的性质可得BE=BG=7.5，即可求EF的长．
解：如图，延长AD，使DG=AD，连接BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，且DG=AD，∠ADC=∠BDG，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G，
∵EF=AF，
∴∠DAC=∠AEF，
∴∠G=∠AEF=∠BEG，
∴BE=BG=7.5，
∴6+AF=BG=7.5，
∴AF=1.5=EF，
故选择：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
8．3＜m＜13
【分析】
延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．
解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，
∵CE=AB=5，AE=8，
∴8-5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13，
∴3＜m＜13．
故答案为：3＜m＜13．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
9．
【分析】
延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案．
解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在和中：
∴
∴
∵AD=5
∴AE=10
在中，由得：
即：
故答案为：
【点拨】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．
10．2
【分析】
延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，可证明△ADB≌△EDC，从而有EC=AB=4，即有：4-2
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在△ADB与△EDC中
∴△ADB≌△EDC
∴EC=AB=4
∵AC=2
∴ 4-2
∴1
∴AD=2
【点拨】本题考查了三角形的三边不等关系，全等三角形的判定与性质，关键是构造全等三角形，即常说的倍长中线方法．
11．
【分析】
如图延长AD至点E，使得DE=AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．
解：延长AD至点E，使得DE=AD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，即：AC-AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．
12．10
如图，延长AD到E使DE=AD，连接BE，通过证明入△ACD≌ △EBD就可以得出BE=AC， 在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论.
解：延长AD到E使DE=AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD= BD.
在△ACD和△EBD中
，
∴△ACD≌△EBD(SAS)，
∴AC= EB= 4，
∵AD=7，
∴AE=14，
由三角形的三边关系：14-4
【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，三角形中线，根据三角形的中线利用延长中线法解决边的取值问题的思路是解题的关键.
13．；
【分析】
延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．
解：
如图：延长至使，连接
在和中：
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
∴
【点拨】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．
14．4.8
【分析】
延长AD到E，取DE=AE，连接CE，用边角边可证△ABD≌△ECD，可得∠E=∠BAD=70°，由∠DAC=40°，可推出△ACE为等腰三角形，则AC=AE.
解：延长AD到E，取DE=AE，连接CE，如图所示，
在△ABD和△ECD中，
∴
∴∠E=∠BAD=70°
在△AEC中，
∴∠E=∠ACE，
∴AC=AE=2AD=4.8cm
故答案为4.8
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键.
15．1＜AD＜7
【分析】
延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE.
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB.
在△ACE中，CE−AC
故1
16．(1)B(2)C(3)见分析
【分析】
（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
解：(1)∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
(2)∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选：C．
(3)延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中
∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，
∴AC＝BF．
【点拨】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
17．（1）；（2）见分析；（3），证明见分析
【分析】
（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；
（2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到；
（3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到．
解：（1）延长到点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，即，
∴；
（2）证明:延长到点使,连接，
由（1）知，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
（3），
延长到，使，连接，
，
，
，
，
，
点在一条直线上，
，
∴，
∴在和中，
，，，
∴≌，
，
∵，
．
【点拨】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．
18．（1）见分析；（2）；（3）见分析
【分析】
（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论；
（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．
解：（1）证明：，，，
，
（2）；
如图，延长至点，使，连接，
在与中，
，
，
，
在中，，
即，
的取值范围是；
故答案为：；
（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，
在和中，，，，
，，
在和中，
，，，
，，
在中，两边之和大于第三边
，，
又，，
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．
19．见分析
【分析】
延长AM至N，使MN=AM，证△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，ED=AN，证△EAD≌△ABN，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可证明AD⊥AC．
解：延长AM至N，使MN=AM，连接BN，
∵点M为BC的中点，
∴CM=BM，
在△AMC和△NMB中，
，
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠CAM=∠N，
∵DE=2AM，AD=AC，
∴DE= AN，AD= BN，
在△EAD和△ABN中，
，
∴△EAD≌△ABN（SSS），
∴∠EAD=∠ABN，
∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180，
∵AB⊥AE，
∴∠EAB=90°，
∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)= 90°，
∴AD⊥AC．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM至N，使MN=AM，利用“中线倍长”构造全等三角形的是解题的关键．
20．（1）1＜AD＜5；（2）见分析；（3）AF+EC=EF，见分析
【分析】
（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可．
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题．
解：（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．
∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，
∴EF=FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF；
（3）结论：AF+EC=EF．
理由：延长BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCH+∠BCD=180°，
∴A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，
∴△AFD≌△CHD（SAS），
∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，
∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF=∠ADC，
∴∠EDF=∠FDH，
∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，
∴△EDF≌△EDH（SAS），
∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，
∴EF=AF+EC．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（1）2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由见分析；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由见分析
【分析】
（1）先判断出BD＝CD，进而得出△QDB≌△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD＝∠CAD，即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△BDQ≌△CDA（SAS），则∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，进而判断出∠ABQ＝∠EAF，进而判断出△ABQ≌△EAF，得出AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，即可得出结论．
解：（1）延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△QDB和△ADC中，，
∴△QDB≌△ADC（SAS），
∴BQ＝AC＝5，
在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，
∴4＜AQ＜14，
∴2＜AD＜7，
故答案为2＜AD＜7；
（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，
∴∠BQD＝∠CAD，
∴AC∥BQ；
（3）EF＝2AD，AD⊥EF，
理由：如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，
由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），
∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，
∵AC＝AF，
∴BQ＝AF，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，
∴∠BAC+ABQ＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABQ＝∠EAF，
在△ABQ和△EAF中，，
∴△ABQ≌△EAF，
∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，
延长DA交EF于P，
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAQ+∠EAP＝90°，
∴∠AEF+∠EAP＝90°，
∴∠APE＝90°，
∴AD⊥EF，
∵AD＝DQ，
∴AQ＝2AD，
∵AQ＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD，AD⊥EF．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．
22．（1）Ⅰ.B；Ⅱ. 1＜AD＜9；（2）证明见分析.
【分析】
（1）Ⅰ.根据全等三角形的判定定理解答；
Ⅱ.根据三角形的三边关系定理可得AB−BE＜AE＜AB＋BE，结合BE=AC可确定AE的取值范围，易得AD的取值范围；
（2）首先延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可证明结论．
解：（1）Ⅰ.在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
Ⅱ.∵△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
∵AB−BE＜AE＜AB＋BE，
∴AB− AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18，
∴1＜AD＜9，
故答案为1＜AD＜9；
（2）延长AD至M，使DM＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△MCD中，，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴MC＝AB，∠B＝∠MCD，
∵AB＝CE，
∴CM＝CE，
∵∠BAC＝∠BCA，
∴∠B＋∠BAC＝∠ACB＋∠MCD，即∠ACE＝∠ACM，
在△ACE和△ACM中，，
∴△ACM≌△ACE（SAS），
∴AE＝AM，
∵AM＝2AD，
∴AE＝2AD．
【点拨】本题考查的是三角形三边关系以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理利用倍长中线得出辅助线是解题关键．
23．见分析； 1
（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ADC≌△EDB；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答．
解：延长AD到点E，使，
在和中，
已作，
对顶角相等，
中点定义，
≌，
故答案为对顶角相等，SAS；
≌，
，
，
，
故答案为；
延长AD交EC的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件.
24．观察发现：EC，2，12，1，6；探索应用：17；应用拓展：见分析
【分析】
观察发现：由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三边关系可求解；
探索应用：由“SAS”可证△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解；
应用拓展：由“SAS”可证△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可证△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性质可得结论．
解：观察发现
解：如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC，
在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5，
∴2＜AE＜12．
又∵AE=2AD，
∴1＜AD＜6，
故答案为：EC，2，12，1，6；
探索应用
解：如图2，延长AE，CD交于H，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵CD∥AB，
∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE，
∴△ABE≌△HCE（AAS），
∴AB=CH=25，
∴DH=CH-CD=17，
∵∠DFE=∠BAE，
∴∠H=∠DFE，
∴DF=DH=17，
故答案为：17；
应用拓展
证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD，
在△BPA与△EPF中，
，
∴△BPA≌△EPF（SAS），
∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，
∵AC=BC，
∴AC=FE，
在四边形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，
∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，
∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．
∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，
∴∠ACD=∠FED，
在△ACD与△FED中，
，
∴△ACD≌△FED（SAS），
∴AD=FD，
∵AP=FP，
∴AP⊥DP．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出恰当的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键．
25．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析
【分析】
（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；
（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；
（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．
解：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，BD=CD，
在△ABD与△PCD中，
∴△ABD≌△PCD(SAS)，
∴AB=CP，
在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，
∴；
（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，
∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，
∴DH=EH，BD=DE=CE，
∴DH=CH，
在△ABH和△QCH中，
∴△ABH≌△QCH(SAS)，
同理可得：△ADH≌△QEH，
∴AB=CQ，AD=EQ，
此时，延长AE，交CQ于K点，
∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，
∴AC+CQ＞AK+QK，
又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，
∴AK+QK＞AE+QE，
∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，
∵AB=CQ，AD=EQ，
∴；
（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，
∵M为DE中点，
∴DM=EM，
∵BD=CE，
∴BM=CM，
在△ABM和△NCM中，
∴△ABM≌△NCM(SAS)，
同理可证△ADM≌△NEM，
∴AB=NC，AD=NE，
此时，延长AE，交CN于T点，
∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，
∴AC+CN＞AT+NT，
又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，
∴AT+NT＞AE+NE，
∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，
∵AB=NC，AD=NE，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．
专题1.36 证明三角形全等作辅助线法-倍长中线（巩固篇）
（专项练习）
一、单选题
1．如图，已知AD是△ABC中BC边上的中线，AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜8 B．1＜AD＜4 C．2＜AD＜5 D．4≤AD≤8
2．如图，是的边上的中线，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，是的边上的中线，cm，cm，则边的长度可能是（ ）
A．3cm B．5cm C．14cm D．13cm
4．如图，在中，为的中点，若．则的长不可能是（ ）
A．5 B．7 C．8 D．9
5．在△ABC中，AC＝6，中线AD＝5，则边AB的取值范围是（ ）
A．1＜AB＜11 B．4＜AB＜13 C．4＜AB＜16 D．11＜AB＜16
6．△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是 ( )
A．9
A．2.5 B．2 C．1.5 D．1
二、填空题
8．在△ABC中，AB=5，BC边上的中线AD=4，则AC的长m的取值范围是_______．
9．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是________．
10．已知AB=4，AC=2，D是BC的中点， AD是整数，则AD=_______．
11．中，，， 则第三边边上的中线的取值范围是______．
12．在中，，中线，则边长的取值范围是_________．
13．如图，中，为的中点，是上一点，连接并延长交于，，且，，那么的长度为__．
14．如图，△ABC中，BC边上的中线AD将∠BAC分成了两角∠BAD、∠DAC分别为70°和40°，若中线AD长为2.4cm，则AC长为________cm.
15．如图，在△ABC中，AB=8，AC=6，则BC边上的中线AD的取值范围是_________.
三、解答题
16．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长AD到点E，使DE＝AD，连结BE．请根据小明的方法思考：
(1)由已知和作图能得到的理由是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
(2)AD的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
(3)【感悟】解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中．
【问题解决】如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE＝EF．求证：AC＝BF．
17．在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种典型的方法是倍延中线．
（1）如图1，是的中线，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，易证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是 ；
（2）如图2，是的中线，点在边上，交于点且，求证：；
（3）如图3，在四边形中，，点是的中点，连接，且，试猜想线段之间满足的数量关系，并予以证明．
18．某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．
【探究与发现】
（1）如图1，AD是的中线，延长AD至点E，使，连接BE，证明：．
【理解与应用】
（2）如图2，EP是的中线，若，，设，则x的取值范围是________．
（3）如图3，AD是的中线，E、F分别在AB、AC上，且，求证：．
19．如图，AB=AE，AB⊥AE，AD=AC，DE=2AM，点M为BC的中点，连接AM．求证：AD⊥AC
20．（1）如图1，在ABC中，AB=4，AC=6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE=AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是 ；
（2）如图2，在ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+CF＞EF；
（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC=180°，DA=DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF=∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．
21．（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：
①延长AD到Q，使得DQ＝AD；
②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；
③利用三角形的三边关系可得4
（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明．
（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC＝90°．试探究线段AD与EF的数量和位置关系并加以证明．
22．（1）【问题情境】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：
Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________．
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．
解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．
（2）【学会运用】
如图②，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD．
23．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使，请补充完整证明“≌”的推理过程．
求证：≌
证明：延长AD到点E，使
在和中已作，
______，
中点定义，
≌______，
探究得出AD的取值范围是______；
【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图2，中，，，AD是的中线，，，且，求AE的长．
24．【观察发现】如图①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，求AD的取值范围．
小明的解法如下：延长AD到点E，使DE＝AD，连接CE．
在△ABD与△ECD中
∴△ABD≅△ECD（SAS）
∴AB＝ ．
又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，
∴ ＜AE＜ ．
又∵AE＝2AD．
∴ ＜AD＜ ．
【探索应用】如图②，ABCD，AB＝25，CD＝8，点E为BC的中点，∠DFE＝∠BAE，求DF的长为 ．（直接写答案）
【应用拓展】如图③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，连接BE，P为BE的中点，求证：AP⊥DP．
25．（1）如图1，已知中，AD是中线，求证：；
（2）如图2，在中，D，E是BC的三等分点，求证：；
（3）如图3，在中，D，E在边BC上，且．求证：．
参考答案
1．B
【分析】
如图所示，延长AD到E，使，连接CE，先证，得，再由三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围．
解：
如图所示，延长AD到E，使，连接CE，
AD是△ABC中BC边上的中线，
，
在与中，
，
，
，
在中，由三角形三边关系得：
，
，，
，
．
【点拨】本题考查了三角形三边的关系，全等三角形的判定与性质，做辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．C
【分析】
延长至点E，使，连接，证明，可得，然后运用三角形三边关系可得结果．
解：如图，延长至点E，使，连接．
∵为的边上的中线，
∴，
在和中，
∴，
∴．
在中，，
即，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，根据中点倍长法构造全等三角形是解题的关键．
3．B
【分析】
延长AD至M使DM=AD，连接CM，根据SAS得出，得出AB=CM=4cm，再根据三角形的三边关系得出AC的范围，从而得出结论．
解：延长AD至M使DM=AD，连接CM，
∵是的边上的中线，
∴BD=CD，
∵∠ADB=∠CDM,
∴，
∴MC=AB=5cm，AD=DM=4cm，
∴AM=8cm
在中，
即：3＜AC＜13，
故选：B
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的三边关系，根据三角形的三边关系找出AC长度的取值范围是解题的关键．
4．A
【分析】
延长AD到E，使AD=DE，证明△ADC≌△EDB，然后利用三边关系即可得出结论．
解：延长AD到E，使AD=DE=4，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴BD=CD
又∠BDE=∠CDA
∴△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=3
由三角形三边关系得，
即：
故选：A
【点拨】此题主要考查了三角形三边关系以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
5．C
【分析】
作出图形，延长AD至E，使DE＝AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可得AB＝CE，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出CE的取值范围，即为AB的取值范围．
解：如图，延长AD至E，使DE＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ECD中，
BD＝CD，∠ADB＝∠EDC，AD＝DE，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB＝CE，
∵AD＝5，
∴AE＝5＋5＝10，
∵10＋6＝16，10−6＝4，
∴4＜CE＜16，
即4＜AB＜16．
故选：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边，“遇中线，加倍延”构造出全等三角形是解题的关键．
6．A
【分析】
根据题意画出图形，延长AD到E使DE=AD，连接BE，先证明△ACD≌△EBD，从而得到BE=AC，在△AEB中，由三角形的三边关系即可求得AB的取值范围．
解：如图所示：
延长AD到E使DE=AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD=BD．
在△ACD和△EBD中
，
∴△ACD≌△EBD（SAS），
∴AC=EB=5．
∵AD=7，
∴AE=14．
由三角形的三边关系为：14-5＜AB＜14+5，
即9＜AB＜19．
故选A．
【点拨】考查了中线的性质的运用，解决此题的关键是通过倍长中线，构造全等三角形，把要求的线段和已知的线段放到一个三角形中，再根据三角形的三边关系进行计算．
7．C
【分析】
延长AD，使DG=AD，连接BG，由“SAS”可证△ADC≌△GDB，可得AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G，由等腰三角形的性质可得BE=BG=7.5，即可求EF的长．
解：如图，延长AD，使DG=AD，连接BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，且DG=AD，∠ADC=∠BDG，
∴△ADC≌△GDB（SAS），
∴AC=DG=CF+AF=6+AF，∠DAC=∠G，
∵EF=AF，
∴∠DAC=∠AEF，
∴∠G=∠AEF=∠BEG，
∴BE=BG=7.5，
∴6+AF=BG=7.5，
∴AF=1.5=EF，
故选择：C．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
8．3＜m＜13
【分析】
延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，利用SAS证明△ABD≌△ECD，可得CE=AB，再根据三角形的三边的关系即可解决问题．
解：如图，延长AD至E，使DE=AD=4，连接CE，
∵AD是BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△ADB和△CDE中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴CE=AB，
在△ACE中，AE-CE＜AC＜AE+CE，
∵CE=AB=5，AE=8，
∴8-5＜AC＜8+5，
∴3＜AC＜13，
∴3＜m＜13．
故答案为：3＜m＜13．
【点拨】此题考查了全等三角形的性质与判定，三角形的三边的关系，解题的关键是利用已知条件构造全等三角形，然后利用三角形的三边的关系解决问题．
9．
【分析】
延长AD至点E，使DE=AD，证明,由全等性质求出相关的线段长度，在中，由，代入数值即可得到答案．
解：延长AD至点E，使DE=AD，如下图：
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在和中：
∴
∴
∵AD=5
∴AE=10
在中，由得：
即：
故答案为：
【点拨】本题考查三角形的全等判定和性质，三角形的三边关系，牢记相关知识点并灵活应用是解题关键．
10．2
【分析】
延长AD至E，使得AD=DE，连接EC，可证明△ADB≌△EDC，从而有EC=AB=4，即有：4-2
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在△ADB与△EDC中
∴△ADB≌△EDC
∴EC=AB=4
∵AC=2
∴ 4-2
∴1
∴AD=2
【点拨】本题考查了三角形的三边不等关系，全等三角形的判定与性质，关键是构造全等三角形，即常说的倍长中线方法．
11．
【分析】
如图延长AD至点E，使得DE=AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB=CE，AD=DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．
解：延长AD至点E，使得DE=AD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△CDE中，
，
∴△ABD≌△CDE（SAS），
∴AB=CE，
∵△ACE中，AC-CE＜AE＜AC+CE，即：AC-AB＜AE＜AC+AB，
∴2＜AE＜10，
∴1＜AD＜5．
故答案为：1＜AD＜5．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．
12．10
如图，延长AD到E使DE=AD，连接BE，通过证明入△ACD≌ △EBD就可以得出BE=AC， 在△AEB中，由三角形的三边关系就可以得出结论.
解：延长AD到E使DE=AD，连接BE，
∵D是BC的中点，
∴CD= BD.
在△ACD和△EBD中
，
∴△ACD≌△EBD(SAS)，
∴AC= EB= 4，
∵AD=7，
∴AE=14，
由三角形的三边关系：14-4
【点拨】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，三角形中线，根据三角形的中线利用延长中线法解决边的取值问题的思路是解题的关键.
13．；
【分析】
延长至使，连接，得出,得出，所以得出是等腰三角形，根据已知线段长度建立等量关系计算．
解：
如图：延长至使，连接
在和中：
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
即
∴
【点拨】倍长中线是常见的辅助线、全等中相关的角的代换是解决本题的关键．
14．4.8
【分析】
延长AD到E，取DE=AE，连接CE，用边角边可证△ABD≌△ECD，可得∠E=∠BAD=70°，由∠DAC=40°，可推出△ACE为等腰三角形，则AC=AE.
解：延长AD到E，取DE=AE，连接CE，如图所示，
在△ABD和△ECD中，
∴
∴∠E=∠BAD=70°
在△AEC中，
∴∠E=∠ACE，
∴AC=AE=2AD=4.8cm
故答案为4.8
【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质，利用“倍长中线法”构造全等三角形是解题的关键.
15．1＜AD＜7
【分析】
延长AD至E，使DE=AD，连接CE．根据SAS证明△ABD≌△ECD，得CE=AB，再根据三角形的三边关系即可求解．
解：延长AD至E，使DE=AD，连接CE.
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)，
∴CE=AB.
在△ACE中，CE−AC
故1
16．(1)B(2)C(3)见分析
【分析】
（1）根据AD=DE，∠ADC=∠BDE，BD=DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根据全等得出BE=AC=6，AE=2AD，由三角形三边关系定理得出8-6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延长AD到M，使AD=DM，连接BM，根据SAS证△ADC≌△MDB，推出BM=AC，∠CAD=∠M，根据AE=EF，推出∠CAD=∠AFE=∠BFD，求出∠BFD=∠M，根据等腰三角形的性质求出即可．
解：(1)∵在△ADC和△EDB中
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
(2)∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE=AC=6，AE=2AD，
∵在△ABE中，AB=8，由三角形三边关系定理得：8-6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故选：C．
(3)延长AD到点M，使AD＝DM，连接BM．
∵AD是△ABC中线
∴CD＝BD
∵在△ADC和△MDB中
∴
∴BM＝AC（全等三角形的对应边相等）
∠CAD＝∠M（全等三角形的对应角相等）
∵AE＝EF，
∴∠CAD＝∠AFE（等边对等角）
∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠BFD＝∠M，
∴BF＝BM（等角对等边）
又∵BM＝AC，
∴AC＝BF．
【点拨】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．
17．（1）；（2）见分析；（3），证明见分析
【分析】
（1）延长到点，使，连接，即可证明，则可得，在中，根据三角形三边关系即可得到的取值范围，进而得到中线的取值范围；
（2）延长到点使，连接，由（1）知，则可得，由可知，，由角度关系即可推出，故，即可得到；
（3）延长到，使，连接，即可证明，则可得由，以及角度关系即可证明点在一条直线上，通过证明≌，即可得到，进而通过线段的和差关系得到．
解：（1）延长到点，使，连接，
∵是的中线，
∴，
在和中，
，，，
∴，
∴，
在中，
，
∴，即，
∴；
（2）证明:延长到点使,连接，
由（1）知，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
（3），
延长到，使，连接，
，
，
，
，
，
点在一条直线上，
，
∴，
∴在和中，
，，，
∴≌，
，
∵，
．
【点拨】本题考查了三角形中线、全等三角形的证明和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质、平行线的性质、平角的概念、线段的和差关系等，正确的作出辅助线以及综合运用以上知识是解答本题的关键．
18．（1）见分析；（2）；（3）见分析
【分析】
（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；
（2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的三边关系即可得到结论；
（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，结合前面的做题思路，利用三角形三边关系判断即可．
解：（1）证明：，，，
，
（2）；
如图，延长至点，使，连接，
在与中，
，
，
，
在中，，
即，
的取值范围是；
故答案为：；
（3）延长FD至G，使得，连接BG，EG，
在和中，，，，
，，
在和中，
，，，
，，
在中，两边之和大于第三边
，，
又，，
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的定义，三角形的三边关系，正确的作出图形是解题的关键．
19．见分析
【分析】
延长AM至N，使MN=AM，证△AMC≌△NMB，推出AC=BN=AD，ED=AN，证△EAD≌△ABN，得到∠EAD+∠BAC=180°，即可证明AD⊥AC．
解：延长AM至N，使MN=AM，连接BN，
∵点M为BC的中点，
∴CM=BM，
在△AMC和△NMB中，
，
∴△AMC≌△NMB（SAS），
∴AC=BN，∠C=∠NBM，∠CAM=∠N，
∵DE=2AM，AD=AC，
∴DE= AN，AD= BN，
在△EAD和△ABN中，
，
∴△EAD≌△ABN（SSS），
∴∠EAD=∠ABN，
∴∠EAD+∠BAC=∠EAD+∠BAN+∠CAM=∠ABN+∠BAN+∠N=180，
∵AB⊥AE，
∴∠EAB=90°，
∴∠DAC=360°-∠EAB-(∠EAD+∠BAC)= 90°，
∴AD⊥AC．
【点拨】本题考查了三角形内角和定理的应用，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，延长AM至N，使MN=AM，利用“中线倍长”构造全等三角形的是解题的关键．
20．（1）1＜AD＜5；（2）见分析；（3）AF+EC=EF，见分析
【分析】
（1）证明△CDE≌△BDA（SAS），推出CE=AB=4，在△ACE中，利用三角形的三边关系解决问题即可．
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．证明△BDE≌△CDH（SAS），推出BE=CH，再证明EF=FH，利用三角形的三边关系即可解决问题．
（3）结论：AF+EC=EF．延长BC到H，使得CH=AF．提供两次全等证明AF=CE，EF=EH即可解决问题．
解：（1）∵CD=BD，AD=DE，∠CDE=∠ADB，
∴△CDE≌△BDA（SAS），
∴EC=AB=4，
∵6﹣4＜AE＜6+4，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案为：1＜AD＜5；
（2）如图2中，延长ED到H，使得DH=DE，连接DH，FH．
∵BD=DC，∠BDE=∠CDH，DE=DH，
∴△BDE≌△CDH（SAS），
∴BE=CH，
∵FD⊥EH，又DE=DH，
∴EF=FH，
在△CFH中，CH+CF＞FH，
∵CH=BE，FH=EF，
∴BE+CF＞EF；
（3）结论：AF+EC=EF．
理由：延长BC到H，使得CH=AF．
∵∠B+∠ADC=180°，
∴∠A+∠BCD=180°，
∵∠DCH+∠BCD=180°，
∴A=∠DCH，
∵AF=CH，AD=CD，
∴△AFD≌△CHD（SAS），
∴DF=DH，∠ADF=∠CDH，
∴∠ADC=∠FDH，
∵∠EDF=∠ADC，
∴∠EDF=∠FDH，
∴∠EDF=∠EDH，
∵DE=DE，
∴△EDF≌△EDH（SAS），
∴EF=EH，
∵EH=EC+CH=EC+AF，
∴EF=AF+EC．
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会倍长中线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
21．（1）2＜AD＜7；（2）AC∥BQ，理由见分析；（3）EF＝2AD，AD⊥EF，理由见分析
【分析】
（1）先判断出BD＝CD，进而得出△QDB≌△ADC（SAS），得出BQ＝AC＝5，最后用三角形三边关系即可得出结论；
（2）由（1）知，△QDB≌△ADC（SAS），得出∠BQD＝∠CAD，即可得出结论；
（3）同（1）的方法得出△BDQ≌△CDA（SAS），则∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，进而判断出∠ABQ＝∠EAF，进而判断出△ABQ≌△EAF，得出AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，即可得出结论．
解：（1）延长AD到Q使得DQ＝AD，连接BQ，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△QDB和△ADC中，，
∴△QDB≌△ADC（SAS），
∴BQ＝AC＝5，
在△ABQ中，AB﹣BQ＜AQ＜AB+BQ，
∴4＜AQ＜14，
∴2＜AD＜7，
故答案为2＜AD＜7；
（2）AC∥BQ，理由：由（1）知，△QDB≌△ADC，
∴∠BQD＝∠CAD，
∴AC∥BQ；
（3）EF＝2AD，AD⊥EF，
理由：如图2，延长AD到Q使得BQ＝AD，连接BQ，
由（1）知，△BDQ≌△CDA（SAS），
∴∠DBQ＝∠ACD，BQ＝AC，
∵AC＝AF，
∴BQ＝AF，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC+∠ABC+∠DBQ＝180°，
∴∠BAC+ABQ＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABQ＝∠EAF，
在△ABQ和△EAF中，，
∴△ABQ≌△EAF，
∴AQ＝EF，∠BAQ＝∠AEF，
延长DA交EF于P，
∵∠BAE＝90°，
∴∠BAQ+∠EAP＝90°，
∴∠AEF+∠EAP＝90°，
∴∠APE＝90°，
∴AD⊥EF，
∵AD＝DQ，
∴AQ＝2AD，
∵AQ＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD，AD⊥EF．
【点拨】本题是三角形综合题，主要考查全等三角形的判定和性质，倍长中线法，构造全等三角形是解题的关键．
22．（1）Ⅰ.B；Ⅱ. 1＜AD＜9；（2）证明见分析.
【分析】
（1）Ⅰ.根据全等三角形的判定定理解答；
Ⅱ.根据三角形的三边关系定理可得AB−BE＜AE＜AB＋BE，结合BE=AC可确定AE的取值范围，易得AD的取值范围；
（2）首先延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可证明结论．
解：（1）Ⅰ.在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故选B；
Ⅱ.∵△ADC≌△EDB，
∴BE=AC，
∵AB−BE＜AE＜AB＋BE，
∴AB− AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18，
∴1＜AD＜9，
故答案为1＜AD＜9；
（2）延长AD至M，使DM＝AD，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ABD和△MCD中，，
∴△ABD≌△MCD（SAS），
∴MC＝AB，∠B＝∠MCD，
∵AB＝CE，
∴CM＝CE，
∵∠BAC＝∠BCA，
∴∠B＋∠BAC＝∠ACB＋∠MCD，即∠ACE＝∠ACM，
在△ACE和△ACM中，，
∴△ACM≌△ACE（SAS），
∴AE＝AM，
∵AM＝2AD，
∴AE＝2AD．
【点拨】本题考查的是三角形三边关系以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理利用倍长中线得出辅助线是解题关键．
23．见分析； 1
（1）延长AD到点E，使DE=AD，根据SAS定理证明△ADC≌△EDB；
（2）根据全等三角形的性质、三角形的三边关系计算；
（3）延长AD交EC的延长线于F，证明△ABD≌△FCD，根据全等三角形的性质解答．
解：延长AD到点E，使，
在和中，
已作，
对顶角相等，
中点定义，
≌，
故答案为对顶角相等，SAS；
≌，
，
，
，
故答案为；
延长AD交EC的延长线于F，
，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系定理和全等三角形的性质和判定，解题关键是熟记全等三角形的判定条件.
24．观察发现：EC，2，12，1，6；探索应用：17；应用拓展：见分析
【分析】
观察发现：由“SAS”可证△ABD≌△ECD，可得AB=EC，由三角形的三边关系可求解；
探索应用：由“SAS”可证△ABE≌△HCE，可得AB=CH=25，即可求解；
应用拓展：由“SAS”可证△BPA≌△EPF，可得AB=FE，∠PBA=∠PEF，由“SAS”可证△ACD≌△FED，可得AD=FD，由等腰三角形的性质可得结论．
解：观察发现
解：如图①，延长AD到点E，使DE=AD，连接CE，
在△ABD与△ECD中，
，
∴△ABD≌△ECD（SAS），
∴AB=EC，
在△AEC中，EC-AC＜AE＜EC+AC，而AB=EC=7，AC=5，
∴2＜AE＜12．
又∵AE=2AD，
∴1＜AD＜6，
故答案为：EC，2，12，1，6；
探索应用
解：如图2，延长AE，CD交于H，
∵点E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵CD∥AB，
∴∠ABE=∠ECH，∠H=∠BAE，
∴△ABE≌△HCE（AAS），
∴AB=CH=25，
∴DH=CH-CD=17，
∵∠DFE=∠BAE，
∴∠H=∠DFE，
∴DF=DH=17，
故答案为：17；
应用拓展
证明：如图2，延长AP到点F，使PF=AP，连接DF，EF，AD，
在△BPA与△EPF中，
，
∴△BPA≌△EPF（SAS），
∴AB=FE，∠PBA=∠PEF，
∵AC=BC，
∴AC=FE，
在四边形BADE中，∠BAD+∠ADE+∠DEB+∠EBA=360°，
∵∠BAC=60°，∠CDE=120°，
∴∠CAD+∠ADC+∠DEB+∠EBA=180°．
∵∠CAD+∠ADC+∠ACD=180°，
∴∠ACD=∠DEB+∠EBA，
∴∠ACD=∠FED，
在△ACD与△FED中，
，
∴△ACD≌△FED（SAS），
∴AD=FD，
∵AP=FP，
∴AP⊥DP．
【点拨】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，作出恰当的辅助线，证得三角形全等是解答此题的关键．
25．（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析
【分析】
（1）利用“倍长中线”法，延长AD，然后通过全等以及三角形的三边关系证明即可；
（2）取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到AB=CQ，AD=EQ，然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论；
（3）同（2）处理方式一样，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，结合“倍长中线”思想证明全等后，结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论．
解：（1）如图所示，延长AD至P点，使得AD=PD，连接CP，
∵AD是△ABC的中线，
∴D为BC的中点，BD=CD，
在△ABD与△PCD中，
∴△ABD≌△PCD(SAS)，
∴AB=CP，
在△APC中，由三边关系可得AC+PC＞AP，
∴；
（2）如图所示，取DE中点H，连接AH并延长至Q点，使得AH=QH，连接QE和QC，
∵H为DE中点，D、E为BC三等分点，
∴DH=EH，BD=DE=CE，
∴DH=CH，
在△ABH和△QCH中，
∴△ABH≌△QCH(SAS)，
同理可得：△ADH≌△QEH，
∴AB=CQ，AD=EQ，
此时，延长AE，交CQ于K点，
∵AC+CQ=AC+CK+QK，AC+CK＞AK，
∴AC+CQ＞AK+QK，
又∵AK+QK=AE+EK+QK，EK+QK＞QE，
∴AK+QK＞AE+QE，
∴AC+CQ＞AK+QK＞AE+QE，
∵AB=CQ，AD=EQ，
∴；
（3）如图所示，取DE中点M，连接AM并延长至N点，使得AM=NM，连接NE，CE，
∵M为DE中点，
∴DM=EM，
∵BD=CE，
∴BM=CM，
在△ABM和△NCM中，
∴△ABM≌△NCM(SAS)，
同理可证△ADM≌△NEM，
∴AB=NC，AD=NE，
此时，延长AE，交CN于T点，
∵AC+CN=AC+CT+NT，AC+CT＞AT，
∴AC+CN＞AT+NT，
又∵AT+NT=AE+ET+NT，ET+NT＞NE，
∴AT+NT＞AE+NE，
∴AC+CN＞AT+NT＞AE+NE，
∵AB=NC，AD=NE，
∴．
【点拨】本题考查全等三角形证明问题中辅助线的添加，掌握“倍长中线”的基本思想，以及熟练运用三角形的三边关系是解题关键．
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