类型二 二次函数与线段有关的问题(解析版)学案

类型一二次函数与线段问题

【典例1】已知抛物线y＝ax2＋bx＋6（a≠0）交x轴于点A(6，0)和点B(－1，0)，交y轴于点C．

（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴，y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD＋PE取最大值时，求点P的坐标；

（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．

【答案】（1）y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为(，)；（2）P(3，12)；（3）(，)或(，)

【解析】

【分析】

（1）将点A，B坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；
（2）先求出OA=OC=6，进而得出∠OAC=45°，进而判断出PD=PE，即可得出当PE的长度最大时，PE+PD取最大值，设出点E坐标，表示出点P坐标，建立PE=-t2+6t=-（t-3）2+9，即可得出结论；
（3）先判断出NF∥x轴，进而求出点N的纵坐标，即可建立方程求解得出结论．

【详解】

解：（1）∵抛物线y＝ax2＋bx＋6经过点A（6，0），B（－1，0），

∴

解得a＝－1，b＝5，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6．

∵y＝－x2＋5x＋6＝－(x)2＋，

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，顶点坐标为（，）．

（2）由（1）知，抛物线的解析式为y＝－x2＋5x＋6，

∴C（0，6），∴OC＝6．

∵A（6，0），

∴OA＝6，∴OA＝OC，∴∠OAC＝45°．

∵PD平行于x轴，PE平行于y轴，

∴∠DPE＝90°，∠PDE＝∠DAO＝45°，

∴∠PED＝45°，

∴∠PDE＝∠PED，

∴PD＝PE，

∴PD＋PE＝2PE，

∴当PE的长度最大时，PE＋PD取最大值．

设直线AC的函数关系式为y＝kx＋d，

把A（6，0），C（0，6）代入得

解得k＝－1，d＝6，

∴直线AC的解析式为y＝－x＋6．

设E（t，－t＋6）（0＜t＜6），则P（t，－t2＋5t＋6），

∴PE＝－t2＋5t＋6－(－t＋6)＝－t2＋6t＝－(t－3)2＋9．

∵－1＜0，∴当t＝3时，PE最大，此时－t2＋5t＋6＝12，

∴P（3，12）．

（3）如答图，设直线AC与抛物线的对称轴l的交点为F，连接NF．

∵点F在线段MN的垂直平分线AC上，

∴FM＝FN，∠NFC＝∠MFC．

∵l∥y轴，

∴∠MFC＝∠OCA＝45°，

∴∠MFN＝∠NFC＋∠MFC＝90°，

∴NF∥x轴．

由（2）知直线AC的解析式为y＝－x＋6，

当x＝时，y＝，

∴F（，），

∴点N的纵坐标为．

∵点N在抛物线上，

∴－x2＋5x＋6＝，解得，x1＝或x2＝，

∴点N的坐标为（，）或（，）．

【点睛】

此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，解一元二次方程，（2）中判断出PD=PE，（3）中NF∥x轴是解本题的关键．

【典例2】如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．

图1-1

【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周长也最小．

由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)．

图1-2                            图1-3

【典例3】如图，抛物线与y轴交于点A，B是OA的中点．一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程．

图2-1

【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛物线的对称轴对称的点A′，作点B关于x轴对称的点B′，连结A′B′与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N．

在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即点G走过的最短路程为10．根据相似比可以计算得到OM＝，MH＝，NH＝1．所以M(, 0)，N(4, 1)．

图2-2

【典例4】如图3-1，抛物线与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标．

图3-1

【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值．

由抛物线的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)．设P(x, 0)．

绝对值|PA－PB|的最小值当然是0了，此时PA＝PB，点P在AB的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x2＋22＝(x－3)2＋62，得．此时P．

在△PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PA－PB|总是小于AB了．如图3-3，当点P在BA的延长线上时，|PA－PB|取得最大值，最大值AB＝5．此时P．

图3-2                     图3-3

【典例5】如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，﹣），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．

（1）求这条抛物线的函数解析式；

（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；

（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．

【分析】（1）由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，把点B坐标代入求出a即可．

（2）由题意P（m，m2﹣m﹣），求出d2，PF2（用m表示）即可解决问题．

（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．因为△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，推出DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，再根据垂线段最短解决问题即可．

【解答】（1）解：由题意抛物线的顶点A（2，﹣1），可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2﹣1，

∵抛物线经过B（0，﹣），

∴﹣＝4a﹣1，

∴a＝，

∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．

（2）证明：∵P（m，n），

∴n＝（m﹣2）2﹣1＝m2﹣m﹣，

∴P（m，m2﹣m﹣），

∴d＝m2﹣m﹣﹣（﹣3）＝m2﹣m+，

∵F（2，1），

∴PF＝＝，

∵d2＝m4﹣m3+m2﹣m+，PF2＝m4﹣m3+m2﹣m+，

∴d2＝PF2，

∴PF＝d．

（3）如图，过点Q作QH⊥直线l于H，过点D作DN⊥直线l于N．

∵△DFQ的周长＝DF+DQ+FQ，DF是定值＝＝2，

∴DQ+QF的值最小时，△DFQ的周长最小，

∵QF＝QH，

∴DQ+DF＝DQ+QH，

根据垂线段最短可知，当D，Q，H共线时，DQ+QH的值最小，此时点H与N重合，点Q在线段DN上，

∴DQ+QH的最小值为3，

∴△DFQ的周长的最小值为2+3，此时Q（4，﹣）

【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，两点间距离公式，垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型