类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题（解析版）学案

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类型六 二次函数与等腰三角形有关的问题
【典例1】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋4(a≠0)的对称轴为直线x＝3，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，已知B点的坐标为(8，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点M为线段BC上方抛物线上的一点，点N为线段BC上的一点，若MN∥y轴，求MN的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：(1)根据题意得，－＝3，
即b＝－6a，
则抛物线的解析式为y＝ax2－6ax＋4，将B(8，0)代入得，
0＝64a－48a＋4，
解得a＝－，则b＝，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4；
(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋d，
由抛物线解析式可知：当x＝0时，y＝4，即点C(0，4)，
将B(8，0)，C(0，4)代入得：

解得，
∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，
设点M的横坐标为x(0＜x＜8)，
则点M的纵坐标为－x2＋x＋4，点N的纵坐标为－x＋4，
∵点M在抛物线上，点N在线段BC上，MN∥y轴，
∴MN＝－x2＋x＋4－(－x＋4)＝－x2＋2x＝－(x－4)2＋4，
∴当x＝4时，MN的值最大，最大值为4；
（3）存在．
令－x2＋x＋4＝0，
解得x1＝－2，x2＝8，
∴A(－2，0)，
又∵C(0，4)，
由勾股定理得，AC＝＝2，
如解图，过点C作CD⊥对称轴于点D，连接AC.

∵抛物线对称轴为直线x＝3，
∴CD＝3，D(3，4)．
①当AC＝CQ时，
DQ＝＝＝，
当点Q在点D的上方时，点Q到x轴的距离为4＋，
此时，点Q1(3，4＋)，
当点Q在点D的下方时，点Q到x轴的距离为4－，
此时点Q2(3，4－)；
②当AQ＝CQ时，设Q（3，t），则AQ2=（3+2）2+t2，CQ=9+（4-t）2，
则（3+2）2+t2=9+（4-t）2，解得t=0，
此时，点Q3(3，0)；
③当AC＝AQ时，
∵AC＝2，点A到对称轴的距离为5，2<5，
∴不可能在对称轴上存在Q点使AC＝AQ，
综上所述，当点Q的坐标为(3，4＋)或(3，4－)或(3，0)时，△ACQ为等腰三角形．
【典例2】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(0，－6)和点C(6，0)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与x轴的负半轴交于点B，试判断△ABC的形状；(钝角三角形、直角三角形、锐角三角形)
(3)在抛物线上是否存在点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形？若存在，请求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：(1)将C、A两点坐标代入y＝x2＋bx＋c，可得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－5x－6；
(2)当y＝0时，则有：x2－5x－6＝0，
即(x＋1)(x－6)＝0，
∴解得x1＝－1，x2＝6(舍)，
∴B(－1，0)．
由两点之间的距离公式可得：
BC2＝[(－1)－6]2＝49，
AC2＝(6－0)2＋[0－(－6)]2＝72，
AB2＝(－1－0)2＋[0－(－6)]2＝37，
∵AB2＋BC2>AC2，
∴△ABC为锐角三角形．
(3)存在满足条件的点P，使得△PAC是以AC为底的等腰三角形
理由：如解图，过线段AC的中点M，作AC的垂线交抛物线于点P，

直线MP与抛物线必有两个满足条件的交点P，
∵A(0，－6)，C(6，0)，
∴点M的坐标为(3，－3)，且OA=OC，
∴直线MP过点O，
设直线MP的解析式为y＝kx，
将点M(3，－3)代入得，k＝－1，
即直线MP的解析式为y＝－x，
联立，
解得或，
∴点P的坐标为(2－，－2)或(2＋，－2－)．
【典例3】如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－2x＋10与x轴，y轴相交于A，B两点，点C的坐标是(8，4)，连接AC，BC.
(1)求过O，A，C三点的抛物线的解析式，并判断△ABC的形状；
(2)动点P从点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时，动点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为t秒．当t为何值时，PA＝QA?
(3)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】解：(1)∵直线y＝－2x＋10与x轴、y轴相交于A、B两点，
∴A(5，0)，B(0，10)，
设过O、A、C三点的抛物线的解析式为y＝ax2＋bx(a≠0)，
把点A(5，0)和C(8，4)代入可得，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2－x；
∵A(5，0)，B(0，10)，C(8，4)，
∴AB2＝125，AC2＝25，BC2＝100，
∵AB2＝AC2＋BC2，
∴△ABC是直角三角形．
(2)如解图，连接AP，AQ，当P，Q运动t秒，即OP＝2t，CQ＝10－t，

在Rt△AOP和Rt△ACQ中，
，
∴Rt△AOP≌Rt△ACQ，
∴OP＝CQ，
∴2t＝10－t，
∴t＝，
∵t<5，
∴当运动时间为秒时，PA＝QA；
(3)存在．
由题可得，抛物线的对称轴直线为x＝，
设点M的坐标为( ，b)，
利用点的坐标可求得
AB2＝102＋52＝125，
MB2＝()2＋(b－10)2，
MA2＝()2＋b2，
∵△MAB是等腰三角形，
∴可分以下三种情况讨论：
①当AB＝MA时，即125＝()2＋b2，
解得b＝±，
即点M的坐标为(，)或(，－)；
②当AB＝BM时，即125＝()2＋(b－10)2，
解得b＝10±，
即点M的坐标为(，10＋)或(，10－)；
③当MB＝MA时，即()2＋(b－10)2＝()2＋b2，
解得b＝5，此时点A、M、B共线，故这样的点M不存在．
综上所述，存在点M，使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，点M的坐标为(，)或(，－)或(，10＋)或(，10－)．
【典例4】如图，抛物线与轴交于，两点（在的右侧），且经过点和点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接，经过点的直线与线段交于点，与抛物线交于另一点．连接，，，的面积与的面积之比为1：7．点为直线上方抛物线上的一个动点，设点的横坐标为．当为何值时，的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线上，当时，的取值范围是，求的取值范围．（直接写出结果即可）
【答案】（1）；（2）所以：当时， 的最大面积；（3）．
【解析】
【分析】
（1）把和点代入：，从而可得答案；
（2）过作轴于 过作于，则 利用的面积与的面积之比为1：7，求解的坐标，再求解的解析式及的坐标，设过作轴于，交于 建立的面积与的函数关系式，利用函数的性质求最大面积，从而可得答案；
（3）记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于，先求解的坐标，可得当时，有 结合已知条件可得答案．
【详解】
解：（1）把和点代入：，

解得：
所以：抛物线为：，
（2）,
令 则
解得：

过作轴于 过作于，则


的面积与的面积之比为1：7，








设为：

解得：
为：

解得：

过作轴于，交于
设
则


当最大，则的面积最大，
所以：当时，
所以的最大面积＝


（3）
令
记抛物线与轴的交点为 过作轴交抛物线于，

令 则
解得：


抛物线的顶点
当时，

当时，的取值范围是，



【点睛】
本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的解析式，考查了平行线分线段成比例，等腰直角三角形的性质，同时考查了二次函数的增减性，函数交点坐标的求解，是典型的压轴题，掌握以上相关的知识是解题的关键．
【典例5】如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．直线与抛物线交于，两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）请直接写出，两点的坐标及直线的函数表达式；
（2）若点是抛物线上的点，点的横坐标为，过点作轴，垂足为．与直线交于点，当点是线段的三等分点时，求点的坐标；
（3）若点是轴上的点，且，求点的坐标．
【答案】（1），，直线的函数表达式为：；（2）当点是线段的三等分点时，点的坐标为或；（3）点的坐标为或．
【解析】
【分析】
（1）令可得两点的坐标，把的坐标代入一次函数解析式可得的解析式；
（2）根据题意画出图形，分别表示三点的坐标，求解的长度，分两种情况讨论即可得到答案；
（3）根据题意画出图形，分情况讨论：①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为．再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案，②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，再利用相似三角形与等腰直角三角形的性质，结合勾股定理可得答案．
【详解】
解：（1）令



，，
设直线的函数表达式为：，
把代入得：

解得：
直线的函数表达式为：．
（2）解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为
，．

，
，
分两种情况：
①当时，得．
解得：，（舍去）
当时，．
点的坐标为
②当时，得．
解得：，（舍去）
当时，
点的坐标为．
当点是线段的三等分点时，点的坐标为或

（3）解：直线与轴交于点，
点坐标为．
分两种情况：
①如图，当点在轴正半轴上时，记为点．
过点作直线，垂足为．则，
，
．

即
．
又，，

．

连接，点的坐标为，点的坐标为，
轴
．
，．
．
．
点的坐标为．
②如图，当点在轴负半轴上时，记为点．过点作直线，垂足为，
则，
，．
．
即
．
又，，

．．
由①可知，．．
．
．

点的坐标为
点的坐标为或．

【点睛】
本题考查的是二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中线段的长度的计算，同时考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，特别是分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键．
【典例6】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴的另一个交点为B.
(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求抛物线和直线BC的解析式；
(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求点M的坐标；
(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．

【解析】解：(1)依题意，得，解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为x＝－1，抛物线经过A(1，0)，
∴B(－3，0)．
设直线BC的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
把B(－3，0)，C(0，3)分别代入y＝mx＋n，得，
解得
∴直线BC的解析式为y＝x＋3.
(2)如解图，设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，连接MA，
∴MA＝MB，
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.
∴使MA＋MC最小的点M应为直线BC与对称轴x＝－1的交点．
把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2.
∴M(－1，2)．
(3)设P(－1，t)，结合B(－3，0)，C(0，3)，得BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
① 若B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，
解得t＝－2；
②若C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；
③若P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，
解得t1＝，t2＝.
综上所述，满足条件的点P共有四个，分别为：P1(－1，－2)，P2(－1，4)，P3(－1，)，P4(－1，)．
【典例7】如图，抛物线y＝－x2＋x－4与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点M.P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)．
(1)求点A，B的坐标；
(2)连接AC、PB、BC，当S△PBC＝S△ABC时，求出此时点P的坐标；
(3)分别过点A、B作直线CP的垂线，垂足分别为点D、E，连接MD、ME.问△MDE能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由．

　
【解析】解：(1)令y＝－x2＋x－4＝0，解得x1＝1，x2＝5，
∴A点的坐标为(1，0)，B点的坐标为(5，0)．
(2)如解图①，过点A作AP∥BC，与抛物线交于点P，则S△PBC＝S△ABC，

第1题解图 第2题解图①第2题解图②
当x＝0时，y＝－x2＋x－4 ＝－4，
∴点C的坐标为(0，－4)，
设过点B，C两点的直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
则有解得
∴直线BC的解析式为y＝x－4，
由于PA∥BC，设AP的解析式为y＝x＋m，代入点A(1，0)，解得m＝－，
∴直线AP的解析式为y＝x－，
联立方程组得解得：
∴P点的坐标为(4，)．
(3)△MDE能成为等腰直角三角形，理由：
∵抛物线y＝－x2＋x－4＝－(x－3)2＋，
∴对称轴是直线x＝3.
∴M(3，0)．
①当∠MED＝90°时，点E，B，M在一条直线上，此种情况不成立；
②同理：当∠MDE＝90°时，不成立；
③当∠DME＝90°时，如解图②所示，
设直线PC与对称轴交于点N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN＝∠DMA.
∵∠MDE＝45°，∠EDA＝90°，
∴∠MDA＝135°.
∵∠MED＝45°，
∴∠NEM＝135°，
∴∠ADM＝∠NEM＝135°.
在△ADM与△NEM中，
∴△ADM≌△NEM(ASA)．
∴MN＝MA＝2，
∴N(3，2)．
设直线PC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将点N(3，2)，C(0，－4)代入直线的解析式得： 解得：
∴直线PC的解析式为y＝2x－4.
将y＝2x－4代入抛物线解析式得：2x－4 ＝－x2＋x－4，解得：x＝0或x＝，∴P(，3)．
综上所述，△MDE能成为等腰直角三角形，此时点P的坐标为(，3)．
【典例8】如图①，抛物线y＝ax2＋bx＋4交x轴于A、B两点(点A在点B左侧)，交y轴于点C，连接AC、BC，其中CO＝BO＝2AO.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点Q为直线BC上方的抛物线上一点，过点Q作QE∥AC交BC于点E，作QN⊥x轴于点N，交BC于点M，当△EMQ的周长L最大时，求点Q的坐标及L的最大值；
(3)如图②，在(2)的结论下，连接AQ分别交BC于点F，交OC于点G，四边形BOGF从F开始沿射线FC平移，同时点P从C开始沿折线CO－OB运动，且点P的运动速度为四边形BOGF平移速度的倍，当点P到达B点时，四边形BOGF停止运动，设四边形BOGF平移过程中对应的图形为B1O1G1F1，当△PFF1为等腰三角形时，求B1F的长度．

【解析】 解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋4与y轴交于点C，
∴点C的坐标为(0，4)．
∵CO＝BO＝2AO，
∴点A的坐标为(－2，0)，点B的坐标为(4，0)，
将点A、B的坐标分别代入抛物线解析式得
解得
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋4.
(2)∵点A(－2，0)，点B(4，0)，点C(0，4)，
∴直线AC的解析式为y＝2x＋4，直线BC的解析式为y＝－x＋4.
设点Q的坐标为(q，－q2＋q＋4)，
∵QE∥AC，过点E作EF⊥QM于点F，如解图，

则＝＝，＝＝，
∴QF＝2EF，QE＝EF，
在Rt△EFM中，易得∠FEM＝∠FME＝∠MBN＝45°，
∴EM＝EF，EF＝MF，
∴QM＝3EF，
∴当EF最大时，△EQM的周长最大，
∵直线AC的解析式为y＝2x＋4，直线QE∥AC，
∴设直线QE的解析式为y＝2x＋t，
将Q点坐标代入得，t＝－q2－q＋4，
∴直线QE的解析式为y＝2x＋(－q2－q＋4)，
与直线BC联立解得点E的坐标为(q2＋q，－q2－q＋4)．
∴EF＝q－q2－q＝－q2＋q＝－(q－2)2＋，
根据二次函数最值性质可知，当q＝2时，EF最大，为.
此时点Q的坐标为(2，4)，L＝3EF＋EF＋EF＝(3＋＋)．
(3)由(2)知点Q的坐标为(2，4)，则直线QA的解析式为y＝x＋2，
∴AQ⊥BC于F，且点F的坐标为(1，3)．
∵点B(4，0)，
∴BF＝3.
设四边形BOGF平移的距离FF1＝t，则点P运动的速度为2t.
①当点P在OC上，此时0 此时易得点F1的坐标为(1－t，t＋3)，点P的坐标为(0，4－2t)．
∴PF2＝1＋(1－2t)2＝4t2－4t＋2，
PF12＝(1－t)2＋(3＋t－4＋2t)2＝10t2－8t＋2，
FF12＝2t2.
∴(i)当PF2＝FF12时，4t2－4t＋2＝2t2，
解得t1＝t2＝1，
此时B1F＝B1F1－FF1＝BF－FF1＝2；
(ii)当PF2＝PF12时，4t2－4t＋2＝10t2－8t＋2，
解得t1＝，t2＝0(舍)，
此时B1F＝B1F1－FF1＝；
(iii)当F1F2＝PF12时，2t2＝10t2－8t＋2，
解得t1＝t2＝，
此时B1F＝；
②当点P在OB上，此时2 当2 此时点P的坐标是(2t－4，0)，
在△PFF1中，∠PFF1>90°，若△PFF1是等腰三角形，
则只能是PF＝FF1，
即(2t－4－1)2＋9＝2t2，解得t1＝5－2，t2＝5＋2(舍)，
此时t＝5－2<3，
∴B1F＝B1F1－FF1＝3－(5－2)×＝4－2.
综上所述，当△PFF1为等腰三角形时，B1F的长度为2或或或4－2.