类型四 二次函数与角度有关的问题（解析版）学案

类型二二次函数与角度问题

【典例1】已知抛物线过点和，与x轴交于另一点B，顶点为D．

（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；

（2）如图1，E为线段上方的抛物线上一点，，垂足为F，轴，垂足为M，交于点G．当时，求的面积；

（3）如图2，与的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由．

【答案】（1），；（2）；（3）存在，,

【解析】

【分析】

（1）利用待定系数法求出a的值即可得到解析式，进而得到顶点D坐标；

（2）先求出BC的解析式，再设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，联立方程求出点F，G的坐标，根据列出关于m的方程并求解，然后求得G的坐标，再利用三角形面积公式求解即可；

（3）过点A作AN⊥HB，先求得直线BD，AN的解析式，得到H，N的坐标，进而得到，设点，过点P作PRx轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR，证明，根据相似三角形对应边成比例得到关于n的方程，求得后即可得到点P的坐标．

【详解】

（1）把点A（-1，0），C（0，3）代入中，

，

解得，

，

当时，y=4，

（2）

令或x=3

设BC的解析式为

将点代入，得

，

解得，

设直线EF的解析式为,设点E的坐标为，

将点E坐标代入中，得，

把x=m代入

即

解得m=2或m=-3

∵点E是BC上方抛物线上的点

∴m=-3舍去

∴点

（3）过点A作AN⊥HB，

∵点

∵点，点

设，把（-1，0）代入，得b=

设点

过点P作PR⊥x轴于点R，在x轴上作点S使得RS=PR

且点S的坐标为

若

在和中，

或

【点睛】

本题考查的是二次函数的综合，涉及到的知识点较多，运算较复杂，第3问的解题关键在于添加适当的辅助线，利用数形结合的思想列出方程求解．

【典例2】在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为N．

（1）若此抛物线过点，求抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接，C为抛物线上一点，且位于线段的上方，过C作垂直x轴于点D，交于点E，若，求点C坐标；

（3）已知点，且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当时，求抛物线的解析式．

【答案】（1）（2）C（-2,4）（3）．

【解析】

【分析】

（1）把代入即可求解；

（2）根据题意作图，求出直线AB的解析式，再表示出E点坐标，代入直线即可求解；

（3）先求出定点H，过H点做HI⊥x轴，根据题意求出∠MHI=30°，再根据题意分情况即可求解．

【详解】

（1）把代入

得-9-3k-2k=1

解得k=-2

∴抛物线的解析式为；

（2）设C（t, ）,则E（t, ）,

设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（-3，1），（0,4）代入得

解得

∴直线AB的解析式为y=x+4

∵E（t, ）在直线AB上

∴=t+4

解得t=-2（舍去正值），

∴C（-2,4）；

（3）由=k（x-2）-x2,

当x-2=0即x=2时，y=-4

故无论k取何值，抛物线都经过定点H（2，-4）

二次函数的顶点为N（）

1°如图，过H点做HI⊥x轴，若＞2时，则k＞4

∵，H（2，-4）

∴MI=，

∵HI=4

∴tan∠MHI=

∴∠MHI=30°

∵

∴∠NHI=30°

即∠GNH=30°

由图可知tan∠GNH=

解得k=4+2，或k=4（舍）

2°如图，若＜2，则k＜4

同理可得∠MHI=30°

∵

∴HN⊥IH，即

解得k=4不符合题意；

3°若=2，N、H重合，舍去．

∴k=4+2

∴抛物线的解析式为．

【典例3】已知抛物线的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，，过点作轴的平行线与抛物线交于点，抛物线的顶点为，直线经过、两点.

（1）  求此抛物线的解析式；

（2）连接、、，试比较和的大小，并说明你的理由.

【答案】解：（1）∵CD∥x轴且点C（0，3），

∴设点D的坐标为(x，3) ．

∵直线y= x+5经过D点，

∴3= x+5．∴x=－2．

即点D(－2，3) ．

根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－1，y），

又∵直线y= x+5经过M点，

∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）．

∴设抛物线的解析式为．

∵点C（0，3）在抛物线上，∴a=－1．

即抛物线的解析式为．

（2）作BP⊥AC于点P，MN⊥AB于点N．

由（1）中抛物线可得

点A（－3，0），B（1，0），

∴AB=4，AO=CO=3，AC=．

∴∠PAB＝45°．

∵∠ABP=45°，∴PA=PB=．

∴PC=AC－PA=．

在Rt△BPC中，tan∠BCP==2．

在Rt△ANM中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2．

tan∠NAM==2．

∴∠BCP＝∠NAM．

即∠ACB＝∠MAB．

【典例4】在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过点N（2,－5），过点N作x轴的平行线交此抛物线左侧于点M，MN=6.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN为直角三角形时，求点P的坐标；

（3）设此抛物线与y轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由.

【答案】解：（1）∵过点M、N（2，－5），，

由题意，得M（，）.

∴

解得 

∴此抛物线的解析式为.

（2）设抛物线的对称轴交MN于点G，

若△DMN为直角三角形，则.

∴D1（，），（，）.

直线MD1为，直线为.

将P（x，）分别代入直线MD1，

的解析式，

得①，②.

解①得 ，（舍），

∴（1,0）. 

解②得 ，（舍），

∴（3,－12）. 

（3）设存在点Q（x，），

使得∠QMN=∠CNM.

① 若点Q在MN上方，过点Q作QH⊥MN，

交MN于点H，则.

即. 

解得，（舍）.

∴（，3）.

② 若点Q在MN下方，

同理可得（6，）. 

【典例5】平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴的正半轴交于点C，点 A的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为D．

  (1) 求此抛物线的解析式；

  (2) 若此抛物线的对称轴上的点P满足∠APB=∠ACB，求点P的坐标；

    (3) Q为线段BD上一点，点A关于∠AQB的平分线的对称点为，若，求点Q的坐标和此时△的面积．

【答案】（1）∵ ，

∴ 抛物线的对称轴为直线．

∵ 抛物线与x轴交于

   点A、点B，点A的坐标为，

∴ 点B的坐标为，OB＝3．

可得该抛物线的解析式为．

∵ OB=OC，抛物线与y轴的正半轴交于点C，

∴ OC=3，点C的坐标为．

将点C的坐标代入该解析式，解得a=1．

∴ 此抛物线的解析式为．（如图9）

       （2）作△ABC的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与x轴的交点为点F，设☉E与抛物线的对称轴位于x轴上方的部分的交点为点，点关于x轴的对称点为点，点、点均为所求点.（如图10）

            可知圆心E必在AB边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线上．

∵ 、都是弧AB所对的圆周角，

∴ ，且射线FE上的其它点P都不满足．

由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2．

可得圆心E也在BC边的垂直平分线即直线上．

            ∴ 点E的坐标为．

∴ 由勾股定理得 ．

∴ ．

∴ 点的坐标为．

由对称性得点的坐标为．

∴符合题意的点P的坐标为、.

（3）∵ 点B、D的坐标分别为、，

可得直线BD的解析式为，直线BD与x轴所夹的锐角为45°．

∵ 点A关于∠AQB的平分线的对称点为，（如图11）

若设与∠AQB的平分线的交点为M，

则有 ，，，Q，B，三点在一条直线上．

∵ ，

∴

作⊥x轴于点N．

∵ 点Q在线段BD上， Q，B，三点在一条直线上，

∴ ，．

∴ 点的坐标为．

∵ 点Q在线段BD上，

∴ 设点Q的坐标为，其中．

∵ ，

∴ 由勾股定理得 ．

解得．

经检验，在的范围内．

∴ 点Q的坐标为．

此时．

【典例6】已知，抛物线与x轴交于点A（－2,0）、B（8,0），与y轴交于点C（0，－4）。直线y=x+m与抛物线交于点D、E（D在E的左侧），与抛物线的对称点交于点F。

（1）求抛物线的解析式；

（2）当m=2时，求∠DCF的大小；

（3）若在直线y=x+m下方的抛物线上存在点P，使∠DPF＝450，且满足条件的点P只有两个，则m的值为___________________.（第（3）问不要求写解答过程）

【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x-8），
∵抛物线与y轴交于点C（0，-4），
∴-4=a（0+2）（0-8）．
解得a=．
∴抛物线的解析式为y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4；
（2）由（1）可得抛物线的对称轴为x=3，
∵m=2，
∴直线的解析式为y=x+2，
∵直线y=x+2与抛物线交于点D、E，与抛物线的对称轴交于点F，
∴F、D两点的坐标分别为F（3，5），D（-2，0）．
设抛物线的对称轴与x轴的交点为M，
可得CM=FM=MD=5，
∴F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上．
∴∠DCF=∠DMF=45°．
（3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为G（3，-）
设F（3，3+m），则FG=m+3+，设D关于对称轴的对称点为D1，
当四边形DGD1F为正方形时，满足题意，此时P点与顶点G重合，或者与D1重合，
故DD1=F′G，D点横坐标为：x=-（F′G-3）=-，纵坐标为-（F′G-3-m）=，
将D点坐标抛物线解析式，解得m=-．

【典例7】如图，抛物线，与轴交于点，且．

（I）求抛物线的解析式；

（II）探究坐标轴上是否存在点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；

（III）直线交轴于点，为抛物线顶点．若，

的值．

【答案】解：（I），且．

．

代入，得

（II）①当可证∽

     ．

②同理: 如图当

③当

综上，坐标轴上存在三个点，使得以点为顶点的三角形为直角三角形，分别是，．

（III）．．

∴．

．

．

又．．

．

【典例8】如图⑴，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=ax2＋8ax＋16a＋6经过点B（0，4）.

⑴求抛物线的解析式；

⑵设抛物线的顶点为D，过点D、B作直线交x轴于点A，点C在抛物线的对称轴上，且C点的纵坐标为-4，联结BC、AC.求证：△ABC是等腰直角三角形；

⑶在⑵的条件下，将直线DB沿y轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x轴、y轴分别交于点A′、B′，是否存在直线l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，请说明理由．

          图（1）

        备用图                                                                                     

【答案】⑴解：由题意知：

          解得：

    ∴抛物线的解析式为：

⑵证明 ：由抛物线的解析式知:顶点D坐标为（－4,6）

       ∵点C的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上

∴C点坐标为(－4，－4)

设直线BD解析式为：

有：，∴

∴BD解析式为

∴直线BD与x轴的交点A的坐标为（8,0）

过点C作CE⊥轴于点E，则CE=4，BE=8

又∵OB=4，OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90°

∴△CEB≌△BOA(SAS)

∴CB=AB, ∠1=∠2

∵∠2+∠3=90°，∴∠2+∠3=90°

∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90°

∴△ABC是等腰直角三角形

⑶存在.①当∠CA′B′=90°时，如图1所示，

∵A′B′∥AB

∴∠OA′B′=∠BAO

易证:∠ECA′=∠OA′B′

∴∠ECA′=∠BAO

∵tan∠BAO=

∴tan∠ECA′=

∴EA′=2

∴A′坐标为(－2,0)

∴直线l解析式为-

②当∠A′CB′=90°时，如图2所示，

过点C作CE⊥轴于点E，

易证△A′FC≌△B′EC

∴A′F=B′E

∴由①tan∠B′A′O=

∴设B′坐标为（0，n）

∴有

∴

B′坐标为（0，）

∴直线l解析式为

【典例9】已知：抛物线y＝－x2＋2x＋m-2交y轴于点A（0，2m-7）．与直线y＝x交于点B、C（B在右、C在左）．

（1）求抛物线的解析式；  

（2）设抛物线的顶点为E，在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得，若存在，求出点F的坐标，若不存在，说明理由；

（3）射线OC上有两个动点P、Q同时从原点出发，分别以每秒个单位长度、每秒2个单位长度的速度沿射线OC运动，以PQ为斜边在直线BC的上方作直角三角形PMQ（直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为t秒，若△PMQ与抛物线y＝－x2＋2x＋m-2有公共点，求t的取值范围．

【答案】解：

（1）点A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3       ………………………2分

（2）由得，

∴B（），C（）

B（）关于抛物线对称轴的

对称点为

可得直线的解析式为，

由，可得

∴      

（3）当在抛物线上时，可得，，

当在抛物线上时，可得，，

舍去负值，所以t的取值范围是．