2021学年第30章 二次函数综合与测试习题

这是一份2021学年第30章 二次函数综合与测试习题，共34页。试卷主要包含了下列函数中，随的增大而减小的是，二次函数y＝ax2﹣4ax＋c，抛物线的顶点为等内容，欢迎下载使用。

九年级数学下册第三十章二次函数综合练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），且与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），此时抛物线与y轴交于点A′，则AA′的长度为（　　）

A．2 B．3 C．3 D．D3
3、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（ ）
A．-2 B．-1 C．4 D．7
4、下列函数中，随的增大而减小的是（ ）
A． B．
C． D．
5、抛物线的函数表达式为，若将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
6、如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（ ）

A．米 B．10米 C．米 D．12米
7、如图，给出了二次函数的图象，对于这个函数有下列五个结论：①＜0；②ab＞0；③；④；⑤当y＝2时，x只能等于0．其中结论正确的是（ ）

A．①④ B．③⑤ C．②⑤ D．③④
8、二次函数y＝ax2﹣4ax＋c（a＞0）的图象过A（﹣2，y1），B（0，y2），C（3，y3），D（5，y4）四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y1y2＞0，则y3y4＞0 B．若y1y4＞0，则y2y3＞0
C．若y2y4＜0，则y1y3＜0 D．若y3y4＜0，则y1y2＜0
9、抛物线的顶点为（ ）
A． B． C． D．
10、如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x＝1，点B坐标为(﹣1，0)．则下面的四个结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③当y＜0时，x＜﹣1或x＞3；④3a+c＝0．其中正确的有（ ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、抛物线y＝（x﹣1）2＋3的顶点坐标为___．
2、已知抛物线，将此二次函数解析式用配方法化成的形式得__________，此抛物线经过两点A（-2，y1）和，则与的大小关系是_____________．
3、已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有______（只填序号）．

4、将函数的图象向______平移______个单位长度，再向______平移______个单位长度，可以得到函数的图象．
5、加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y=-0.3x2+1.5x-1，则最佳加工时间为__min．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、己知二次函数．
(1)若此二次函数图象的对称轴为，求它的解析式；
(2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围．
2、如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，且，抛物线（）图象经过，，三点．

(1)求抛物线的解析式；
(2)是抛物线对称轴上的一点，当的值最小时，求点坐标；
(3)若点是直线下方的抛物线上的一个动点，作于点，当的值最大时，求此时点的坐标及的最大值．
3、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，求此二次函数表达式．

4、如图，Rt中，．点P从点A出发，沿射线方向以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，当点P不与点A重合时，将线段绕点P旋转使（点在点P右侧），过点作交射线于点M，设点P运动的时间为t（秒）．

(1)的长为___________（用含t的代数式表示）
(2)当落在的角平分线上时，求此时t的值．
(3)设与重叠部分图形的面积为S（平方单位），求S关于t的函数关系式．并求当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？
5、在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（0，6）和B（﹣2，﹣2）．

(1)求c的值，并用含a的代数式表示b；
(2)当a＝时．
①求此函数的解析式，并写出当﹣4≤x≤2时，y的最大值和最小值；
②如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的左侧交点为C，作直线AC，D为直线AC下方抛物线上一动点，与AC交于点F，作DM⊥AC于点M．是否存在点D使△DMF的周长最大？若存在，请求出D点的坐标；若不存在，请说明理由．

-参考答案-
一、单选题
1、C
【解析】
【分析】
根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及x＝−2时的函数值即可判断③，由x＝−3和对称轴即可判断④．
【详解】
解：∵图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x＝1，
∴−＝1，
∴b＝−2a＞0，
∵图象与y轴的交点在x轴的上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴①说法正确，
由图象可知抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac＞0，
∴②错误，
由图象可知，当x＝−2时，y＜0，
∴4a−2b＋c＝4a−2（−2a）＋c＝8a＋c＜0，
∴③正确，
由题意可知x＝−3是ax2＋bx＋c−n＝0（a≠0）的一个根，
∵对称轴是x＝1，
∴另一个根为x＝5，
∴④正确，
∴正确的有①③④，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系．
2、B
【解析】
【分析】
先运用待定系数法求出原抛物线的解析式，再根据平移不改变二次项系数，得出平移后的抛物线解析式，求出A′的坐标，进而得出AA′的长度．
【详解】
∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（﹣2，2），
∴y＝a（x+2）2+2，
∵与y轴交于点A（0，3），
∴3＝a（0+2）2+2，解得a＝
∴原抛物线的解析式为：y＝（x+2）2+2，
∵平移该抛物线使其顶点P沿直线y＝﹣x由（﹣2，2）移动到（1，﹣1），
∴平移后的抛物线为y＝（x﹣1）2﹣1，
∴当x＝0时，y＝，
∴A′的坐标为（0，），
∴AA′的长度为：3﹣（）＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了平移、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，从而完成求解．
3、C
【解析】
【分析】
根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解
【详解】
解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，
∴，二次函数开口向下
解得，对称轴为
当时，，
经过原点，

根据函数图象可知，当，，
根据对称性可得时，
二次函数图象经过点，
或
不可能是4
故选C
【点睛】
本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
4、C
【解析】
【分析】
根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
【详解】
解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；
B．在中，y随x的增大与增大，不合题意；
C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；
D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．
5、C
【解析】
【分析】
此题可以转化为求将抛物线“向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度”后所得抛物线解析式，将抛物线直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案．
【详解】
解：∵抛物线的顶点坐标为 ，
∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线顶点坐标为 ，
∴将抛物线向右平移3个单位长度，向上平移3个单位长度后得到的抛物线的解析式为，
∴将y轴向左平移3个单位长度，将x轴向下平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为．
故选：C
【点睛】
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确掌握平移规律——左加右减，上加下减是解题关键．
6、B
【解析】
【分析】
以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax2，由此可得A（-10，-4），B（10，-4），即可求函数解析式，再将y=-1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长．
【详解】

以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
∵O点到水面AB的距离为4米，
∴A、B点的纵坐标为-4，
∵水面AB宽为20米，
∴A（-10，-4），B（10，-4），
将A代入y=ax2，
-4=100a，
∴，
∴，
∵水位上升3米就达到警戒水位CD，
∴C点的纵坐标为-1，
∴
∴x=±5，
∴CD=10，
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，根据题意建立合适的直角坐标系，在该坐标系下求二次函数的解析式是解题的关键．
7、D
【解析】
【分析】
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
①由抛物线与x轴有两个交点可以推出b2-4ac＞0，故①错误；
②由抛物线的开口方向向下可推出a＜0；
因为对称轴为x==2＞0，又因为a＜0，∴b＞0，故ab＜0；②错误；
③由图可知函数经过（-1,0），∴当，，故③正确；
④对称轴为x=，∴，故④正确；
⑤当y＝2时，，故⑤错误；
∴正确的是③④
故选：D
【点睛】
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=−判断符号．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．
（4）b2-4ac由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
8、C
【解析】
【分析】
根据函数表达式得出函数的开口方向和对称轴，从而得到y3＜y2＜y4＜y1，再结合题目一一判断即可．
【详解】
解：由函数表达式可知：函数图像开口向上，对称轴为直线x==2，
∵-2＜0＜2＜3＜5，
∴y3＜y2＜y4＜y1，
若y1y2＞0，则y3y4＞0或y3y4＜0，选项A不符合题意，
若y1y4＞0，则y2y3＞0或y2y3＜0，选项B不符合题意，
若y2y4＜0，则y1y3＜0，选项C符合题意，
若y3y4＜0，则y1y2＜0或y1y2＞0，选项D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，二次函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是学会利用图象法解决问题，属于中考常考题型．
9、B
【解析】
【分析】
根据抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k可得顶点坐标是（h，k）．
【详解】
解：∵y=2（x-1）2+3，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3），
故选：B．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点式y=a（x-h）2+k，顶点坐标是（h，k）．
10、B
【解析】
【分析】
①根据函数图象及函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，即可求解；②抛物线和x轴有两个交点，即可求解；③点B坐标为（﹣1，0），点A（3，0），即可求解；④对称轴为x＝1，则b＝﹣2a，点B（﹣1，0），故a﹣b+c＝0，即可求解．
【详解】
解：①∵函数图象开口向下
∴
又函数的对称轴在y轴右侧，
∴
∴
∵抛物线与y轴正半轴相交，
∴c＞0，
∴abc＜0，故原答案错误，不符合题意；
②∵抛物线和x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0正确，符合题意；
③∵点B坐标为（﹣1，0），且对称轴为x＝1，
∴点A（3，0），
∴当y＜0时，x＜﹣1或x＞3．故正确，符合题意；
④∵函数的对称轴为：x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∵点B坐标为（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
而b＝﹣2a，
∴
即3a+c＝0，正确，符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点等．
二、填空题
1、（1，3）
【解析】
【分析】
根据顶点式判断顶点即可．
【详解】
解：∵抛物线解析式为y＝（x﹣1）2＋3
∴顶点坐标是（1，3）．
故答案为：（1，3）
【点睛】
本题考查了二次函数解析式---顶点式，明确的顶点坐标为（h，k）是解答本题的关键．
2、
【解析】
【分析】
（1）利用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式；（2）将与分别代入二次函数解析式中，计算出与的值，并比较大小．
【详解】
（1）解：，
故答案为：．
（2）当 时，
当时，
∴ 与的大小关系是，
故答案为：．
【点睛】
本题考查用配方法将二次函数的一般式转化为顶点式，以及二次函数的增减性，熟练掌握配方法是解决本题的关键．
3、③④⑤
【解析】
【分析】
先利用二次函数的开口方向，与轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：判断的符号，可判断①，由图象可得：在第三象限，可判断②，由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，可得点在第一象限，可判断③，由在第四象限，抛物线的对称轴为： 即 可判断④，当时，，当， 此时： 可判断⑤，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向下可得：
二次函数的图象与轴交于正半轴，可得
二次函数的对称轴为： 可得
所以： 故①不符合题意；
由图象可得：在第三象限，

故②不符合题意；
由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，
点在第一象限，
故③符合题意；
在第四象限，

抛物线的对称轴为：


故④符合题意；
当时，，
当，
此时：
故⑤符合题意；
综上：符合题意的有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.
4、 左 1 下 2
【解析】
【分析】
根据二次函数平移的性质解答．
【详解】
解：∵函数的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，可以得到函数的图象．
故答案为：左，1，下，2．
【点睛】
此题考查了二次函数图象平移的性质：上加下减，左加右减，熟记性质是解题的关键．
5、2.5．
【解析】
【分析】
根据二次函数的对称轴公式直接计算即可．
【详解】
解：∵的对称轴为（min），
故：最佳加工时间为2.5min，
故答案为：2.5．
【点睛】
此题主要考查了二次函数性质的应用，涉及求顶点坐标、对称轴方程等，记住抛物线顶点公式是解题关键．
三、解答题
1、 (1)y= x 2−2x−3
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接根据二次函数对称轴的概念可得答案；
（2）根据二次函数的性质可得问题的答案.
(1)
解：由题意，得：a=1，b=−k，c= k−5；
∴对称轴x=，
解得：k=2，
∴二次函数解析式y= x 2−2x−3；
(2)
解：二次函数，a=1>0，
∴其图象开口向上，
∵时，y随x 的增大而减小，
∴对称轴位于x＝1的右侧或对称轴为直线x＝1，
∴，
解得：.
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质是解决此题关键．
2、 (1)；
(2)（）；
(3)点P（2，-6），PD最大值为
【解析】
【分析】
（1）根据点B的坐标，得出OB的长，进而根据即可得到OA、OC的长，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）利用配方法求出抛物线的对称轴，连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，求出直线AC的解析式，当时求出y的值即可得到点M的坐标；
（3）过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，根据等腰直角三角形的性质求出∠OAC=∠OCA=45°，根据平行线的性质求出∠PHD=∠OCA=45°，设点P（x，），则点H（x，x-4），根据正弦函数定义得到，根据函数的性质得解问题．
(1)
解：∵点的坐标为，
∴OB=1，
∵，
∴OA=OC=4，
∴点A的坐标为（4,0），点C的坐标为(0,-4),
将点A、B、C的坐标代入中，得
，解得，
∴抛物线的解析式为；
(2)
解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
连接AC，交对称轴于一点即为点M，此时的值最小，
设直线AC的解析式为，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为y=x-4，
当时，，
∴点M的坐标为（）；
(3)
解：过点P作PH平行于y轴，交AC于点H，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA=45°，
∴∠PHD=∠OCA=45°，
设点P（x，），则点H（x，x-4），
∴，
∵，
∴PD有最大值，当x=2时，PD最大值为，
此时点P（2，-6）．
．
【点睛】
此题考查了待定系数法求抛物线解析式，抛物线的对称轴，化一般式为顶点式，最短路径问题，二次函数的性质，锐角三角函数，正确掌握抛物线的各知识点是解题的关键，这是一道二次函数与一次函数的综合题．
3、y＝﹣x2﹣2x+3
【解析】
【分析】
根据图象确定经过抛物线的三个点，设二次函数解析式为y＝a(x+3)(x﹣1)，再代入(0,3)利用待定系数法计算即可．
【详解】
解：由图象可知，抛物线经过(﹣3，0)、(1，0)、(0，3)，
设抛物线的解析式为：y＝a(x+3)(x﹣1)，
代入点(0,3)，
则3＝a(0+3)(0﹣1)，
解得：a＝﹣1，
则抛物线的解析式为：y＝﹣(x+3)(x﹣1)，
整理得到：y＝﹣x2﹣2x+3．
【点睛】
本题考查了二次函数解析式的求法，属于基础题，计算过程中细心即可．
4、 (1)
(2)
(3)，当时，S有最大值
【解析】
【分析】
（1）先利用勾股定理求出，然后证明，得到，即，则，，即可得到；
（2）延长交BC于D，由，得到，，则
再由在∠ABC的角平分线上，，，得到，则，由此求解即可；
（3）先求出当点正好落在BC上时，，然后讨论当△ABC与重叠部分即为，然后求出当点M恰好与B重合时，，讨论当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，由此求解即可．
(1)
解：由旋转的性质可得，
∵在Rt△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，即，
∴，，
∴；
(2)
解：如图所示，延长交BC于D，
∵∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，
∵，
∴，，
∴
∵在∠ABC的角平分线上，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
解得；

(3)
解：如图2所示，当点正好落在BC上时，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵，
∴，
解得，
当，如图1所示，△ABC与重叠部分即为，
∴此时；

当点M恰好与B重合时，此时，
∴，
解得，
当时，如图3所示，△ABC与重叠部分即为四边形PMTS，
∴，
同理可证，
∴，即，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴，
∴，
∴；

当时，如图4所示，，△ABC与重叠部分即为△BPS，
同理可证，
∴，即，
∴，，
∴，
∴综上所述，
∴，
∴由二次函数的性质可知，
∴当时，S有最大值．

【点睛】
本题主要考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，角平分线的性质，熟知相关知识是解题的关键．
5、 (1)c=6；b=2a+4
(2)①最小值为−，最大值为20；②D(−3，−)．
【解析】
【分析】
（1）分别把 A（0，6）和B（-2，-2）代入解析式，可得c和b的值．
（2）①当a＝时，此函数表达式为y＝x2+x+6，图象开口向上，由顶点坐标公式可知顶点坐标，根据二次函数的性质，当在顶点时函数值最小观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值．②令y=0，得C的坐标，设直线AC的解析式为y=kx+m，把A（0，6），C（-6，0）代入可得直线AC解析式，设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6），得FD的值，设△FDM的周长为l，则l＝DF+DM+MF＝，当FD最大时，周长最大，根据二次函数的性质可得最大值．
(1)
把（0，6）代入y=ax2+bx+c，
得c=6．
把（-2，-2）代入y=ax2+bx+6，
得4a-2b+6=-2，
∴b=2a+4．
(2)
①当a＝时，
∴，且c=6
∴函数表达式为y＝x2+x+6=，图象开口向上．
∴顶点坐标为，

∵-4≤x≤2，
∴当x＝−时，y的最小值为−．
观察图象结合增减性，当x=2时，y有最大值，
把x=2代入y＝x2+x+6，
y的最大值为20．
②∵y＝x2+x+6，
令y=0，则x=-6或x＝−，
∵点C在左侧，
∴C（-6，0）
设直线AC的解析式为y=kx+m，
把A（0，6），C（-6，0）代入y=kx+m，得
m=6-6k+m=0
解得k=1，m=6，
∴y=x+6
设D(x，x2+x+6)则F（x，x+6）
∴FD＝x+6−(x2+x+6)＝−x2−x，
∵OA=OC=6，∠AOC=90°，
∴∠COA=90°，
∵DF∥AO，
∴∠DFM=∠CAO=45°，
DM＝FM＝FD，
设△FDM的周长为l，
则l＝DF+DM+MF＝
当FD最大时，周长最大，
又∵，
又∵−＜0且-6＜x＜0，
∴x=-3时，FD有最大值，即此刻△FDM周长最大．
把x=-3代入y＝x2+x+6，
得y＝−，
∴D(−3，−)．
【点睛】
本题考查二次函数的应用，解本题要熟练掌握二次函数的性质，求二次函数的解析式、待定系数法，数形结合是解题关键．