初中数学第30章 二次函数综合与测试课后复习题

九年级数学下册第三十章二次函数定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、抛物线的对称轴是（     ）

A．直线 B．直线 C．直线 D．直线

2、二次函数图像的顶点坐标是（       ）

A．（0，－2） B．（－2，0） C．（2，0） D．（0，2）

3、已知二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论错误的是（       ）

A． B． C． D．

4、将抛物线向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线表达式是（       ）

A． B． C． D．

5、抛物线，，的图象开口最大的是（       ）

A． B． C． D．无法确定

6、已知二次函数的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使成立的x的取值范围是（       ）

A． B． C． D．或

7、如图，二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：①；②；③；④；⑤若，是抛物线上两点，且，则实数的取值范围是．其中正确结论是（       ）

A．①③④ B．②④⑤ C．①③⑤ D．①③④⑤

8、下列函数中，随的增大而减小的是（       ）

A． B．

C． D．

9、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分如图所示，已知图像经过点（﹣1，0），其对称轴为直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③8a+c＜0；④若抛物线经过点（﹣3，n），则关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，5．上述结论中正确个数有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

10、已知二次函数y＝x2﹣2x+m，点A（x1，y1）、点B（x2，y2）（x1＜x2）是图象上两点，下列结论正确的是（　　）

A．若x1+x2＜2，则y1＞y2 B．若x1+x2＞2，则y1＞y2

C．若x1+x2＜﹣2，则y1＜y2 D．若x1+x2＞﹣2，则y1＞y2

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，一段抛物线：y＝﹣x（x﹣2）（0≤x≤2）记为C1，它与x轴交于两点O，A1；将C1绕A1旋转180°得到C2，交x轴于A2；将C2绕A2旋转180°得到C3，交x轴于A3；…如此进行下去，若点P（2023，m）在某段抛物线上，则m＝_____．

2、如图，院子里有块直角三角形空地ABC，∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，现准备修一个如图所示的矩形DEFG的养鱼池，当矩形DEFG面积最大时，EF的长为 _____．

3、将抛物线y＝﹣2x2+3x+1向下平移3个单位，所得的抛物线的表达式是_____．

4、如图，抛物线与轴交于点，，若对称轴为直线，点的坐标为（-3，0），则不等式的解集为______．

5、已知抛物线，将其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，则得到的抛物线解析式为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、某政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，月销售量（件）与销售单价（元）之间的关系可看作一次函数：，已知当销售单价定为25元时，李明每月获得利润为1250元．

(1)求的值；

(2)当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？并求最大利润是多少？

（注：利润=（销售单价-进价）×销售量）

2、如图1，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的顶点为M，平行于x的直线与抛物线交于点A，B，若△AMB为等腰直角三角形，则抛物线上A，B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的“准碗形”，线段AB称为碗宽，点M到线段AB的距离称为碗高．

(1)抛物线y＝x2对应的碗宽为       ；

(2)抛物线y＝ax2（a＞0）对应的碗宽为      ；抛物线y＝a（x﹣2）2+3（a＞0）对应的碗高为      ；

(3)已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．

①求碗顶M的坐标；

②如图2，将“准碗形AMB”绕点M顺时针旋转30°得到“准碗形”．过点作x轴的平行线交准碗形于点C，点P是线段上的动点，过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q．请直接写出线段PQ长度的最大值．

3、已知二次函数的图像经过点，，．

(1)求二次函数的表达式；

(2)若二次函数的图像与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点为，则以，，，为顶点的四边形的面积为__________；

(3)将二次函数的图像向左平移个单位后恰好经过坐标原点，则的值为__________．

4、如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣1，0），B（2，0）两点，与y轴交于点C，点是拋物线在轴上方，对称轴右侧上的一个动点，设点D的横坐标为m．连接AC，BC，，DC．

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当△BCD的面积与△AOC的面积和为时，求m的值；

(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，为顶点的四边形是平行四边形．请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

5、超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元（市场管理部分规定，该种玩具每件利润不能超过60元），每天可售出50件，根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件，设销售单价增加元，每天售出件

(1)请写出与之间的函数表达式

(2)设超市每天销售这种玩具可获利元，当为多少时最大，最大值是多少？

-参考答案-

一、单选题

1、B

【解析】

【分析】

由抛物线解析式的顶点式即可求得抛物线的对称轴．

【详解】

抛物线的对称轴是直线，

故选：B．

【点睛】

本题考查了抛物线的图象与性质，当抛物线的解析式为时，对称轴为直线；当抛物线的解析式为时，对称轴为直线x=h．

2、C

【解析】

【分析】

直接利用顶点式写出二次函数的顶点坐标即可得到正确的选项．

【详解】

解：抛物线的顶点坐标为，

故选：C．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是了解二次函数的顶点式，难度不大．

3、B

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．

【详解】

解：A、函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故A正确，不符合题意；

B、函数的对称轴为：x＝−＝1，故2a+b＝0，即，图象与x轴交于点A（−1，0），

故当时，，即，故B错误，符合题意；

C、图象与x轴交于点A（−1，0），其对称轴为直线x＝1，则图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），故当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故C正确，不符合题意；

D、图象与x轴另外一个交点坐标为：（3，0），即x＝3时，y＝9a＋3b＋c＝0，正确，不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是二次函数图象与系数的关系，要求学生熟悉函数的基本性质，能熟练求解函数与坐标轴的交点及顶点的坐标等．

4、C

【解析】

【分析】

根据平移的规律：左加右减，上加下减可得函数解析式．

【详解】

解：因为y=x2-2x+3=（x-1）2+2．

所以将抛物线y=（x-1）2+2先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的表达式为y=（x-1+2）2+2-1，即y=（x+1）2+1．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象与几何变换，关键是掌握平移的规律．

5、A

【解析】

【分析】

先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．

【详解】

解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，）（1，-3），（1，1），

∵||＜|1|＜|-3|，

∴抛物线开口最大．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．

6、D

【解析】

【分析】

根据函数图象写出y=1对应的自变量x的值,再根据判断范围即可．

【详解】

由图可知，使得时

使成立的x的取值范围是或

故选：D．

【点睛】

本题考查了二次函数与不等式，准确识图是解题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据开口方向，对称轴，以及与轴负半轴的交点位置判断的符号即可判断①，根据二次函数图象的对称性可知时的函数值与的函数值相等，进而可得，即可判断②，根据对称轴为以及顶点坐标公式即可判断③，根据二次函数图象与轴有两个交点，则，即可判断④，根据对称性可得时的函数值与时的函数值相等，进而根据抛物线的开口方向以及，即可判断，根据顶点位置的函数值最小，进而即可判断⑤

【详解】

解：∵抛物线的开口朝上，则，对称轴，可得，根据抛物线与轴交于负半轴，则

∴

故①正确；

∵二次函数的图象经过点，

则当时，

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

时，

即

故②不正确

对称轴为直线，

∴，即

故③正确；

∵二次函数图象与轴有两个交点，则

即

故④错误；

对称轴为直线，则时的函数值与的函数值相等，

，是抛物线上两点，且，抛物线开口向上，

故⑤正确

故正确的是①③⑤

故选C

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质以及与各系数之间的关系，二次函数与一元一次不等式，根据图象判断方程的根的情况，二次函数的对称性，掌握二次根式图象的性质是解题的关键．

8、C

【解析】

【分析】

根据各个选项中的函数解析式，可以判断出y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．

【详解】

解：A．在中，y随x的增大而增大，故选项A不符合题意；

B．在中，y随x的增大与增大，不合题意；

C．在中，当x＞0时，y随x的增大而减小，符合题意；

D．在，x>2时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了正比例函数的性质、二次函数的性质、反比例函数的性质，正确掌握相关函数增减性是解题关键．

9、C

【解析】

【分析】

根据图象可判断abc的符号，可判断结论①，由图象与x轴的交点个数可判断②，由对称轴及x＝−2时的函数值即可判断③，由x＝−3和对称轴即可判断④．

【详解】

解：∵图象开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴为直线x＝1，

∴−＝1，

∴b＝−2a＞0，

∵图象与y轴的交点在x轴的上方，

∴c＞0，

∴abc＜0，

∴①说法正确，

由图象可知抛物线与x轴有两个交点，

∴b2−4ac＞0，

∴②错误，

由图象可知，当x＝−2时，y＜0，

∴4a−2b＋c＝4a−2（−2a）＋c＝8a＋c＜0，

∴③正确，

由题意可知x＝−3是ax2＋bx＋c−n＝0（a≠0）的一个根，

∵对称轴是x＝1，

∴另一个根为x＝5，

∴④正确，

∴正确的有①③④，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记图象与各系数之间的关系．

10、A

【解析】

【分析】

由二次函数y＝x2﹣2x+m可知对称轴为x＝1，当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离小，再结合抛物线开口方向，即可判断．

【详解】

解：∵二次函数y＝x2﹣2x+m，

∴抛物线开口向上，对称轴为x＝1，

∵x1＜x2，

∴当x1+x2＜2时，点A与点B在对称轴的左边，或点A在左侧，点B在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离比点B离对称轴的距离大，

∴y1＞y2，

故选：A．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，灵活应用x1+x2与2的关系确定点A、点B与对称轴的关系是解决本题的关键．

二、填空题

1、﹣1

【解析】

【分析】

将这段抛物线C1通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道C1与C2的顶点到x轴的距离相等，且OA1=A1A2，照此类推可以推导知道点P（2023，m）为抛物线C1012的顶点，从而得到结果．

【详解】

解：∵y=﹣x（x﹣2）（0≤x≤2），

∴配方可得y=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤2），

∴顶点坐标为（1，1），

∴A1坐标为（2，0）

∵C2由C1旋转得到，

∴OA1=A1A2，即C2顶点坐标为（3，﹣1），A2（4，0）；

照此类推可得，C3顶点坐标为（5，1），A3（6，0）；

C4顶点坐标为（7，﹣1），A4（8，0）；

C5顶点坐标为（9，1），A5（10，0）；

…

C1012顶点坐标为（2023，﹣1），A1012（2024，0）；

∴m=﹣1．

故答案为：﹣1．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标．

2、##

【解析】

【分析】

过点作，交于点，等面积法求得，设，进而根据得出比例式，根据矩形的面积为，得到关于的二次函数，根据二次函数的性质即可求得面积最大时的的值，进而求得的长．

【详解】

解：如图，过点作，交于点，

∠C＝90°．直角边AC＝3m、BC＝4m，

设，则

四边形是矩形

，

整理得

设矩形的面积为，则

当取得最大值时，，此时

故答案为：

【点睛】

本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键．

3、

【解析】

【分析】

根据向下平移，纵坐标要减去3，即可得到答案．

【详解】

解：抛物线向下平移3个单位，

抛物线的解析式为．

故答案为：．

【点睛】

主要考查了函数图象的平移，解题的关键是要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．

4、

【解析】

【分析】

函数的对称轴为直线，与轴交点，则另一个交点，进而求解．

【详解】

解：函数的对称轴为直线，与轴交点，则另一个交点，

观察函数图象知，不等式的解集为：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，解题的关键是要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．

5、

【解析】

【分析】

根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可．

【详解】

解：∵抛物线的顶点坐标为（0,2），

其图象先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，

得到的抛物线解析式为

即

故答案为：

【点睛】

本题考查了抛物线的平移规律．关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律．

三、解答题

1、 (1)的值是500；

(2)当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元

【解析】

【分析】

（1）根据利润=（销售单价-进价）×销售量列方程求解即可；

（2）根据利润=（销售单价-进价）×销售量得到w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可．

(1)

解：由题意可得，，

解得：，

答：的值是500；

(2)

解：设利润为w元，

由题意：，

，

∵-10<0，

∴时，取得最大值，此时，

答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润，最大利润是2250元．

【点睛】

本题考查一元一次方程的应用、二次函数的实际应用，理解题意，根据等量关系正确得到一元一次方程和函数关系式是解答的关键．

2、 (1)4

(2)，

(3)（2，-3），

【解析】

【分析】

（1）根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m），代入抛物线的解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题．

（2）利用（1）中方法可求碗宽，根据等腰直角三角形可知碗高是碗宽的一半．

（3）①由碗高为3求出a，再求顶点坐标即可；②作QS⊥BP于S，找到PQ和QS的关系后即可解决问题．

(1)

解：根据碗宽的定义以及等腰直角三角形的性质可以假设B（m，m）．

把B（m，m）代入y＝x2，得，解得，m＝2或0（舍去），

∴A（﹣2，2），B（2，2），

∴AB＝4，即碗宽为4；

故答案为：4．

(2)

解：类似（1）设B（n，n）,代入y＝a x2，得，解得，n＝或0（舍去），AB＝，即碗宽为；

抛物线y＝a（x﹣2）2+3是由抛物线y＝ax2平移得到的，所以，它们的碗宽一样为，根据等腰直角三角形的性质，可知可知碗高是碗宽的一半，即；

故答案为：，．

(3)

解：①抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a＞0）对应的碗高为3．由（2）可知，

解得，，抛物线解析式为，化成顶点式为；

则M的坐标为（2，-3）；

②如图，作QS⊥BP于S，由旋转可知∠PBO=30°，因为过点P作y轴的平行线交准碗形A'MB'于点Q，

∴PQ⊥OB，

∴∠QPB=60°，∠PQS=30°，

∴PQ=2PS，，

当QS等于碗高时，QS最大，此时PQ长度的最大，

由（2）可知QS最大为3，则，；

PQ长度的最大值为．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质和直角三角形的性质，解题关键是准确理解题意，熟练运用二次函数的性质和直角三角形的性质求解．

3、 (1)

(2)18

(3)1或5

【解析】

【分析】

（1）把点，，代入二次函数解析式：y=ax2+bx+c，求出即可；

（2）分别求出A、B、C、P四点的坐标．利用S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC进行计算；

（3）观察抛物线的图像可直接得到结果．

(1)

解：（1）设二次函数的表达式为（，，为常数，），

由题意知，该函数图象经过点，，，得

，

解得，

∴二次函数的表达式为.

(2)

解：∵

当y=0时，

解得：x1=1，x2=5

∴点A坐标为(1，0)、点B坐标为(5，0)；

当x=0时，y=-5，

∴点C坐标为(0，-5)；

把化为y=-(x-3)2+4

∴点P坐标为(3，4)；

由题意可画图如下：

 ∴S四边形ACBP=S△ABP+S△ABC

=

＝18，

故答案是：18；

(3)

由图像知：将抛物线向左平移1个单位长度或5个单位长度，抛物线经过原点．

故：m=1或．

【点睛】

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式可设为一般式、顶点式或交点式．也考查了二次函数的性质．解题的关键是掌握数形结合能力．

4、 (1)

(2)m＝

(3)存在，M点的坐标为或或或．

【解析】

【分析】

（1）把，代入中进行求解即可；

（2）如图，连接，求解对称轴为， 由题意可知，，，结合，与，利用即可得到答案；

（3）由（2）得：D点为，再分两种情况讨论，①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，由平行四边形的性质与抛物线的性质可得关于抛物线的对称轴对称，重合， 设点， 如图，当在轴的下方时，由平行四边形对角线中点坐标相同得到，， 解方程求解，可得，；②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，同理可得关于抛物线的对称轴对称，从而可得 从而可得答案．

(1)

（1）把，代入：

，

解得：

∴抛物线表达式为：；

(2)

如图，连接，

∵抛物线解析式为：，且抛物线与y轴交于点C

∴抛物线的对称轴为，

∴OC=4，

∵点D的横坐标为m，

∴，

∵，，

∴AO=1，BO=2，

∴

又∵

∴，

解得：，，

当时，点在对称轴上，不合题意，舍去，所以取，

综上，；

(3)

当时，

D点为，

①当BD是平行四边形的一条边时， 如图，当在轴的上方时，

由平行四边形可得，

关于抛物线的对称轴对称，

重合，

如图，当在轴的下方时，设点， ，

∴，（平行四边形对角线中点坐标相同），

∴，

解得或

∴或，

∴或；

②如图，当BD是平行四边形的对角线时， 则，

∴，关于抛物线的对称轴对称，

，

综上，点的坐标为： 或或或．

【点睛】

主要考查了二次函数的综合，二次函数的性质，平行四边形的性质，掌握以上知识是解题的关键．

5、 (1)

(2)当x为20时w最大，最大值是2400元

【解析】

【分析】

（1）根据“每天可售出50件．根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件”列函数关系式即可；

（2）根据题意得到w=，根据二次函数的性质得到当x＜30时，w随x的增大而增大，于是得到结论．

(1)

解：根据题意得，；

(2)

根据题意得，w==，

∵a=＜0，

∴当x＜30时，w随x的增大而增大，

∵40+x≤60，x≤20，

∴当x=20时，w最大=2400，

答：当x为20时w最大，最大值是2400元．

【点睛】

本题考查了一次函数、二次函数的应用，弄清题目中包含的数量关系是解题关键．