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数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试练习题
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这是一份数学九年级下册第30章 二次函数综合与测试练习题，共34页。试卷主要包含了已知点等内容，欢迎下载使用。
九年级数学下册第三十章二次函数月考
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是
C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点
2、根据表格对应值：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2＋bx＋c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一个解x的范围是（ ）
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定
3、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4、对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+4x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜3＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣6 B．c＜﹣18 C．c＜﹣8 D．c＜﹣11
5、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
6、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（ ）
A．-2 B．-1 C．4 D．7
7、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．②③
8、已知点、在二次函数的图象上，当，时，．若对于任意实数、都有，则的范围是（ ）．
A． B． C．或 D．
9、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；抛物线经过点与点，则；方程的一个解是；，其中所有正确的结论是__________．
2、已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有______（只填序号）．
3、如图边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，A1、A2、A3、...、An﹣1为OA的n等分点，B1、B2、B3、...、Bn﹣1为CB的n等分点，连接A1B1、A2B2、A3B3、...、An﹣1Bn﹣1，分别交于点C1、C2、C3、...、Cn﹣1.当B25C25＝8C25A25时，则n＝_____．
4、如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1________y2．（填“>”、“=”或“<”）
5、对于二次函数与，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知______，______
x
﹣1
c
c
d
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、己知二次函数．
(1)若此二次函数图象的对称轴为，求它的解析式；
(2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围．
2、如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
3、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．
(1)若，时，用含的式子表示；
(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；
(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式
4、已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
5、已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）．
(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．
①求直线BC的解析式；
②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵，且 ，
∴二次函数图象开口向下，
∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；
B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
利用表中数据可知当x=1.3和x=1.2时，代数式ax2＋bx＋c的值一个大于2，一个小于2，从而判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2＋bx＋c的值为2．
【详解】
解：当x=1.3时，ax2＋bx＋c=2.29，
当x=1.2时，ax2＋bx＋c=0.84，
∵0.84＜2＜2.29，
∴方程解的范围为1.2＜x＜1.3，
故选：B
【点睛】
本题考查估算一元二次方程的近似解，解题关键是观察函数值的变化情况．
3、D
【解析】
【分析】
根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.
【详解】
解：选项A：由的图象可得：
由的图象可得：则 故A不符合题意；
选项B：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；
选项C：由的图象可得：
由的图象可得：则 故C不符合题意；
选项D：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.
4、B
【解析】
【分析】
由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y=x上，故二次函数与直线y=x有两个交点，且横坐标满足x1＜3＜x2，可以理解为x=3时，一次函数的值大于二次函数的值．
【详解】
解：由题意得：不动点在一次函数y=x图象上，
∴一次函数y=x与二次函数的图象有两个不同的交点，
∵两个不动点x1，x2满足x1＜3＜x2，
∴x=3时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
∴3＞32+4×3+c，
∴c＜-18．
故选：B．
【点睛】
本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题．
5、B
【解析】
【分析】
由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．
【详解】
解：由题意知，平移后的抛物线解析式为
将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；
将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．
6、C
【解析】
【分析】
根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解
【详解】
解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，
∴，二次函数开口向下
解得，对称轴为
当时，，
经过原点，
根据函数图象可知，当，，
根据对称性可得时，
二次函数图象经过点，
或
不可能是4
故选C
【点睛】
本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
7、B
【解析】
【分析】
把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．
【详解】
解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上，
当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，
∵△=4-4×（-3）＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点M的个数为2，故①错误；
当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，
∵△=4-4×1=0，
∴a有两个相同的值，
∴点M的个数为1，故②正确；
当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，
∵△=4-4×3＜0，
∴点M的个数为0，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
8、A
【解析】
【分析】
先根据二次函数的对称性求出b的值，再根据对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1即可求解．
【详解】
解：∵当x1=1、x2=3时，y1=y2，
∴点A与点B为抛物线上的对称点，
∴，
∴b=-4；
∵对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，
∴二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1，
即，
∴c≥5．
故选：A．
【点睛】
本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：，顶点纵坐标是，抛物线上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：．
9、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac>0，故①是错误的；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；
由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b<0，与y轴交点在负半轴，因此c<0，所有abc>0，因此②正确的；
由关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，就是当y=m时，对应抛物线上有两个不同的点，即（x1，m），（x2，m），由图象可知此时m>-2
因此④正确的，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
10、C
【解析】
【分析】
先求出抛物线对称轴，再根据两个点距对称轴距离判断即可．
【详解】
解：抛物线的对称轴为：直线，
∵，
当，点到对称轴的距离近，即，当，点到对称轴的距离远，即，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出抛物线的对称轴，根据点距对称轴的远近，进行判断开口．
二、填空题
1、②⑤
【解析】
【分析】
由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，再由抛物线对称轴为直线，得到，即，即可判断①；根据抛物线的对称性可知抛物线过点，则当时，，由，可得，即可判断②；由抛物线对称轴为直线，且开口向上，则抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可判断③；由cx2+bx+a=0，方程两边同时除以a得，再由方程的两个根分别为，，得到，，则即为，由此即可判断④；当对应的函数值为，
当对应的函数值为，又时函数取得最小值，则，由此即可判断⑤．
【详解】
解：由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，
，故①错误；
抛物线过点，且对称轴为直线，
抛物线过点，
当时，，
，
∴，故②正确；
抛物线对称轴为直线，且开口向上，
∴抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∵点（4，）与直线的距离为3，点（-3，）与直线的距离为4，
，故③错误；
∵cx2+bx+a=0
∴方程两边同时除以a得，
∵方程的两个根分别为，，
∴，，
∴即为，
∴
解得或，故④错误；
当对应的函数值为，
当对应的函数值为，
又时函数取得最小值，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故⑤正确．
故答案为：②⑤．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像与其系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
2、③④⑤
【解析】
【分析】
先利用二次函数的开口方向，与轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：判断的符号，可判断①，由图象可得：在第三象限，可判断②，由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，可得点在第一象限，可判断③，由在第四象限，抛物线的对称轴为： 即 可判断④，当时，，当， 此时： 可判断⑤，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向下可得：
二次函数的图象与轴交于正半轴，可得
二次函数的对称轴为： 可得
所以： 故①不符合题意；
由图象可得：在第三象限，
故②不符合题意；
由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，
点在第一象限，
故③符合题意；
在第四象限，
抛物线的对称轴为：
故④符合题意；
当时，，
当，
此时：
故⑤符合题意；
综上：符合题意的有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.
3、75
【解析】
【分析】
根据题意表示出OA25，B25A25的长，由B25C25=8C25A25确定点C25的坐标，代入解析式计算得到答案．
【详解】
解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2，…，An-1为OA的n等分点，点B1，B2，…，Bn-1为CB的n等分点，
∴OA25= •n=25，A25B25=n，
∵B25C25=8C25A25，
∴C25（25，），
∵点C25在上，
∴，
解得n=75．
故答案为：75．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性质，根据正方形的性质表示出点C25的坐标是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小．
【详解】
=2时：
时：
1<9
∴
故答案为：<
【点睛】
本题考查函数性质，掌握比较方法是关键．
5、 1 3
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可知m=1，将d用含c的式子表示出来即可．
【详解】
解由二次函数的性质可得的对称轴为y轴，故由表可得，
∴m=1；
∵二次函数的对称轴为y轴，
∴d=c+3，
∴3，
故答案为：1，3．
【点睛】
此题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)y= x 2−2x−3
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接根据二次函数对称轴的概念可得答案；
（2）根据二次函数的性质可得问题的答案.
(1)
解：由题意，得：a=1，b=−k，c= k−5；
∴对称轴x=，
解得：k=2，
∴二次函数解析式y= x 2−2x−3；
(2)
解：二次函数，a=1>0，
∴其图象开口向上，
∵时，y随x 的增大而减小，
∴对称轴位于x＝1的右侧或对称轴为直线x＝1，
∴，
解得：.
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质是解决此题关键．
2、 (1)y＝x2+2x﹣3；
(2)（﹣，）
(3)（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）
【解析】
【分析】
（1）把点A，B代入y＝ax2+bx﹣3即可；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），求出直线AB的解析，用含x的代数式表示出点E坐标，即可用含x的代数式表示出PE的长度，由函数的思想可求出点P的横坐标，进一步求出其纵坐标；
（3）设点Q（-1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．
(1)
解：把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，，
解得，，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
(2)
解：设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+b，
由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b，
得，，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，
当x＝﹣时，y＝x2+2x﹣3＝，
∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；
(3)
存在，理由如下，
∵x＝﹣＝-1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝-1，
设Q（-1，a），
∵B（0，-3），A（-3，0），
①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，
∴22+a2+32+32＝12+（3+a）2，
解得：a＝2，
∴Q1（-1，2），
②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，
∴12+（3+a）2+32+32＝22+a2，
解得：a＝﹣4，
∴Q2（-1，﹣4），
③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，
∴12+（3+a）2+22+a2＝32+32，
解得：a1＝或a1＝，
∴Q3（-1，），Q4（-1，），
综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．
3、 (1)
(2)E点坐标为，弧长为
(3)
【解析】
【分析】
（1）将，代入，计算求解即可；
（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可；
（3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．
(1)
解：将与代入
得
∴用含的式子表示为．
(2)
解：将与代入
得
∴
∴点坐标分别为
如图，作，连接
∴，
∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴点坐标为
∵
∴
∴
∴AE=
∴的坐标为，的长为．
(3)
解：由题意知
∵，
∴
∵最小时，有解得
∴
∴．
【点睛】
本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用．
4、 (1)，顶点坐标为：；
(2)，证明见解析；
(3)存在点P，，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；
（2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；
（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．
(1)
解：抛物线经过点，，，
设抛物线解析式为：，
将点C代入可得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：；
(2)
解：如图所示：
为直角三角形且三边长分别为：，，，
的三边长分别为：，
，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴；
(3)
解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
解得：，
设，
∴，，
∴，
整理得：①，
=，
即②，
将①代入②整理得：，
解得：，，
∴，，
∴或（不符合题意舍去），
∴，，
设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：
，
解得：，
∴，
∴联立两个函数得：，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
∴．
【点睛】
题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
5、 (1)y=x2-2x-3，(1，−4)
(2)①y=x−3；②
【解析】
【分析】
（1）把A（-1，0）代入y=x2+bx-3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）①解方程x2-2x-3=0得B（3，0），再确定C（0，-3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
②如图，利用对称性得到x2-1=1-x1，则x1+x2=2，所以x1+x2+x3=2+x3，利用函数图象得到-1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．
(1)
解：把A（-1，0）代入y=x2+bx-3得1-b-3=0，解得b=-2，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∵y=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
(2)
解：①当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），
当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），C（0，-3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y=x-3；
②如图，
x2-1=1-x1，
∴x1+x2=2，
∴x1+x2+x3=2+x3，
∵y3＜-3，即x3-3＜-3，
∴x3＜0，
∵y=-4时，x-3=-4，解得x=-1，
∴-1＜x3＜0，
∴1＜x1+x2+x3＜2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
九年级数学下册第三十章二次函数月考
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则y随x的增大而增大 B．函数图象的顶点坐标是
C．当时，函数有最大值－4 D．函数图象与x轴有两个交点
2、根据表格对应值：
x
1.1
1.2
1.3
1.4
ax2＋bx＋c
﹣0.59
0.84
2.29
3.76
判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝2的一个解x的范围是（ ）
A．1.1＜x＜1.2 B．1.2＜x＜1.3 C．1.3＜x＜1.4 D．无法判定
3、同一直角坐标系中，函数和（是常数，且）的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4、对于一个函数，自变量x取a时，函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．如果二次函数y=x2+4x+c有两个相异的不动点x1，x2，且x1＜3＜x2，则c的取值范围是（ ）
A．c＜﹣6 B．c＜﹣18 C．c＜﹣8 D．c＜﹣11
5、将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（ ）
A． B． C． D．
6、已知二次函数，当时，x的取值范围是，且该二次函数图象经过点，则p的值不可能是（ ）
A．-2 B．-1 C．4 D．7
7、如图，要在二次函数的图象上找一点，针对b的不同取值，所找点M的个数，有下列三种说法：①如果，那么点M的个数为0；②如果．那么点M的个数为1；③如果，那么点M的个数为2．上述说法中正确的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．②③
8、已知点、在二次函数的图象上，当，时，．若对于任意实数、都有，则的范围是（ ）．
A． B． C．或 D．
9、已知二次函数的图象如图所示，并且关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10、已知，是抛物线上的点，且，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，抛物线过点，且对称轴为直线，有下列结论：；；抛物线经过点与点，则；方程的一个解是；，其中所有正确的结论是__________．
2、已知二次函数的图象如图所示，有下列五个结论：①；②；③；④；⑤（为实数且）．其中正确的结论有______（只填序号）．
3、如图边长为n的正方形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴的正半轴上，A1、A2、A3、...、An﹣1为OA的n等分点，B1、B2、B3、...、Bn﹣1为CB的n等分点，连接A1B1、A2B2、A3B3、...、An﹣1Bn﹣1，分别交于点C1、C2、C3、...、Cn﹣1.当B25C25＝8C25A25时，则n＝_____．
4、如果二次函数的图像上有两点（2，y1）和（4，y2），那么y1________y2．（填“>”、“=”或“<”）
5、对于二次函数与，其自变量与函数值的两组对应值如下表所示，根据二次函数图象的相关性质可知______，______
x
﹣1
c
c
d
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、己知二次函数．
(1)若此二次函数图象的对称轴为，求它的解析式；
(2)当时，y随x增大而减小，求k的取值范围．
2、如图，抛物线y＝ax2＋bx﹣3经过A、B、C三点，点A（﹣3，0）、C（1，0），点B在y轴上．点P是直线AB下方的抛物线上一动点（不与A、B重合）．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)过点P作x轴的垂线，垂足为D，交直线AB于点E，动点P在什么位置时，PE最大，求出此时P点的坐标；
(3)点Q是抛物线对称轴上一动点，是否存在点Q，使以点A、B、Q为顶点的三角形为直角三角形？若存在，请求出点Q坐标；若不存在，请说明理由．
3、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．
(1)若，时，用含的式子表示；
(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；
(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式
4、已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；
(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
5、已知抛物线y=x2+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）．
(1)求该抛物线的函数表达式和顶点坐标；
(2)抛物线与x轴另一交点为点B，与y轴交于点C，平行于x轴的直线l与抛物线交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线BC交于点N（x3，y3）．
①求直线BC的解析式；
②若x3＜x1＜x2，结合函数的图象，求x1+x2+x3的取值范围．
-参考答案-
一、单选题
1、A
【解析】
【分析】
先将二次函数的解析式化为顶点式，再逐项判断即可求解．
【详解】
解：∵，且 ，
∴二次函数图象开口向下，
∴A、若，则y随x的增大而增大，故本选项正确，符合题意；
B、函数图象的顶点坐标是，故本选项错误，不符合题意；
C、当时，函数有最大值-2，故本选项错误，不符合题意；
∵ ，
∴D、函数图象与x轴没有交点，故本选项错误，不符合题意；
故选：A
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
2、B
【解析】
【分析】
利用表中数据可知当x=1.3和x=1.2时，代数式ax2＋bx＋c的值一个大于2，一个小于2，从而判断当1.2＜x＜1.3时，代数式ax2＋bx＋c的值为2．
【详解】
解：当x=1.3时，ax2＋bx＋c=2.29，
当x=1.2时，ax2＋bx＋c=0.84，
∵0.84＜2＜2.29，
∴方程解的范围为1.2＜x＜1.3，
故选：B
【点睛】
本题考查估算一元二次方程的近似解，解题关键是观察函数值的变化情况．
3、D
【解析】
【分析】
根据一次函数，二次函数的图象与性质逐一分析两个解析式中的的符号，再判断即可.
【详解】
解：选项A：由的图象可得：
由的图象可得：则 故A不符合题意；
选项B：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故B不符合题意；
选项C：由的图象可得：
由的图象可得：则 故C不符合题意；
选项D：由的图象可得：
由的图象可得：则
而抛物线的对称轴为： 则 故D符合题意；
故选D
【点睛】
本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存问题，掌握“一次函数与二次函数的图象与性质”是解本题的关键.
4、B
【解析】
【分析】
由题意得不动点的横纵坐标相等，即在直线y=x上，故二次函数与直线y=x有两个交点，且横坐标满足x1＜3＜x2，可以理解为x=3时，一次函数的值大于二次函数的值．
【详解】
解：由题意得：不动点在一次函数y=x图象上，
∴一次函数y=x与二次函数的图象有两个不同的交点，
∵两个不动点x1，x2满足x1＜3＜x2，
∴x=3时，一次函数的函数值大于二次函数的函数值，
∴3＞32+4×3+c，
∴c＜-18．
故选：B．
【点睛】
本题以新定义为背景，考查了二次函数图象和一次函数图象的交点与系数间的关系，本题亦可以转化为方程的解来解题．
5、B
【解析】
【分析】
由题意知，平移后的抛物线解析式为，将各选项中的横坐标代入，求出纵坐标并与各选项的纵坐标比较，纵坐标相同的即为正确答案．
【详解】
解：由题意知，平移后的抛物线解析式为
将代入解析式得，与A中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与B中点坐标相同，故符合要求；
将代入解析式得，与C中点坐标不同，故不符合要求；
将代入解析式得，与D中点坐标不同，故不符合要求；
故选B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象的平移．解题的关键在于写出平移后的二次函数解析式．
6、C
【解析】
【分析】
根据题意求得抛物线的对称轴，进而求得时，的取值范围，根据的纵坐标小于0，即可判断的范围，进而求解
【详解】
解：∵二次函数，当时，x的取值范围是，
∴，二次函数开口向下
解得，对称轴为
当时，，
经过原点，
根据函数图象可知，当，，
根据对称性可得时，
二次函数图象经过点，
或
不可能是4
故选C
【点睛】
本题考查了抛物线与一元一次不等式问题，求得抛物线的对称轴是解题的关键．
7、B
【解析】
【分析】
把点M的坐标代入抛物线解析式，即可得到关于a的一元二次方程，根据根的判别式即可判断．
【详解】
解：∵点M（a，b）在抛物线y=x（2-x）上，
当b=-3时，-3=a（2-a），整理得a2-2a-3=0，
∵△=4-4×（-3）＞0，
∴有两个不相等的值，
∴点M的个数为2，故①错误；
当b=1时，1=a（2-a），整理得a2-2a+1=0，
∵△=4-4×1=0，
∴a有两个相同的值，
∴点M的个数为1，故②正确；
当b=3时，3=a（2-a），整理得a2-2a+3=0，
∵△=4-4×3＜0，
∴点M的个数为0，故③错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
8、A
【解析】
【分析】
先根据二次函数的对称性求出b的值，再根据对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1即可求解．
【详解】
解：∵当x1=1、x2=3时，y1=y2，
∴点A与点B为抛物线上的对称点，
∴，
∴b=-4；
∵对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，
∴二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1，
即，
∴c≥5．
故选：A．
【点睛】
本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：，顶点纵坐标是，抛物线上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：．
9、B
【解析】
【分析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．
【详解】
解：抛物线与x轴有两个不同交点，因此b2-4ac>0，故①是错误的；
由图象可知，当x=-1时，y=a-b+c>0，因此③是错误的；
由开口方向可得，a>0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，因此b<0，与y轴交点在负半轴，因此c<0，所有abc>0，因此②正确的；
由关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根，就是当y=m时，对应抛物线上有两个不同的点，即（x1，m），（x2，m），由图象可知此时m>-2
因此④正确的，
综上所述，正确的有2个，
故选：B．
【点睛】
考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．
10、C
【解析】
【分析】
先求出抛物线对称轴，再根据两个点距对称轴距离判断即可．
【详解】
解：抛物线的对称轴为：直线，
∵，
当，点到对称轴的距离近，即，当，点到对称轴的距离远，即，
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题关键是求出抛物线的对称轴，根据点距对称轴的远近，进行判断开口．
二、填空题
1、②⑤
【解析】
【分析】
由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，再由抛物线对称轴为直线，得到，即，即可判断①；根据抛物线的对称性可知抛物线过点，则当时，，由，可得，即可判断②；由抛物线对称轴为直线，且开口向上，则抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，即可判断③；由cx2+bx+a=0，方程两边同时除以a得，再由方程的两个根分别为，，得到，，则即为，由此即可判断④；当对应的函数值为，
当对应的函数值为，又时函数取得最小值，则，由此即可判断⑤．
【详解】
解：由图象可知，抛物线开口向上，则，抛物线与轴交于负半轴，则，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，即，
，故①错误；
抛物线过点，且对称轴为直线，
抛物线过点，
当时，，
，
∴，故②正确；
抛物线对称轴为直线，且开口向上，
∴抛物线上的点，离对称轴水平距离越大，函数值越大，
∵点（4，）与直线的距离为3，点（-3，）与直线的距离为4，
，故③错误；
∵cx2+bx+a=0
∴方程两边同时除以a得，
∵方程的两个根分别为，，
∴，，
∴即为，
∴
解得或，故④错误；
当对应的函数值为，
当对应的函数值为，
又时函数取得最小值，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，故⑤正确．
故答案为：②⑤．
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像与其系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，二次函数图像的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
2、③④⑤
【解析】
【分析】
先利用二次函数的开口方向，与轴交于正半轴，二次函数的对称轴为：判断的符号，可判断①，由图象可得：在第三象限，可判断②，由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，可得点在第一象限，可判断③，由在第四象限，抛物线的对称轴为： 即 可判断④，当时，，当， 此时： 可判断⑤，从而可得答案.
【详解】
解：由二次函数的图象开口向下可得：
二次函数的图象与轴交于正半轴，可得
二次函数的对称轴为： 可得
所以： 故①不符合题意；
由图象可得：在第三象限，
故②不符合题意；
由抛物线与轴的一个交点在之间，则与轴的另一个交点在之间，
点在第一象限，
故③符合题意；
在第四象限，
抛物线的对称轴为：
故④符合题意；
当时，，
当，
此时：
故⑤符合题意；
综上：符合题意的有：③④⑤，
故答案为：③④⑤．
【点睛】
本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的应用二次函数的图象与性质判断代数式的符号是解题的关键.
3、75
【解析】
【分析】
根据题意表示出OA25，B25A25的长，由B25C25=8C25A25确定点C25的坐标，代入解析式计算得到答案．
【详解】
解：∵正方形OABC的边长为n，点A1，A2，…，An-1为OA的n等分点，点B1，B2，…，Bn-1为CB的n等分点，
∴OA25= •n=25，A25B25=n，
∵B25C25=8C25A25，
∴C25（25，），
∵点C25在上，
∴，
解得n=75．
故答案为：75．
【点睛】
本题考查的是二次函数图象上点的特征和正方形的性质，根据正方形的性质表示出点C25的坐标是解题的关键．
4、
【解析】
【分析】
将题目所给两个x代入函数即可得出两个y，再比较大小．
【详解】
=2时：
时：
1<9
∴
故答案为：<
【点睛】
本题考查函数性质，掌握比较方法是关键．
5、 1 3
【解析】
【分析】
根据二次函数的性质可知m=1，将d用含c的式子表示出来即可．
【详解】
解由二次函数的性质可得的对称轴为y轴，故由表可得，
∴m=1；
∵二次函数的对称轴为y轴，
∴d=c+3，
∴3，
故答案为：1，3．
【点睛】
此题考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
三、解答题
1、 (1)y= x 2−2x−3
(2)
【解析】
【分析】
（1）直接根据二次函数对称轴的概念可得答案；
（2）根据二次函数的性质可得问题的答案.
(1)
解：由题意，得：a=1，b=−k，c= k−5；
∴对称轴x=，
解得：k=2，
∴二次函数解析式y= x 2−2x−3；
(2)
解：二次函数，a=1>0，
∴其图象开口向上，
∵时，y随x 的增大而减小，
∴对称轴位于x＝1的右侧或对称轴为直线x＝1，
∴，
解得：.
【点睛】
此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，掌握对称轴的概念、二次函数的图象的性质是解决此题关键．
2、 (1)y＝x2+2x﹣3；
(2)（﹣，）
(3)（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）
【解析】
【分析】
（1）把点A，B代入y＝ax2+bx﹣3即可；
（2）设P（x，x2+2x﹣3），求出直线AB的解析，用含x的代数式表示出点E坐标，即可用含x的代数式表示出PE的长度，由函数的思想可求出点P的横坐标，进一步求出其纵坐标；
（3）设点Q（-1，a），然后分类讨论利用勾股定理列出关于a的方程求解．
(1)
解：把A（﹣3，0）和C（1，0）代入y＝ax2+bx﹣3，
得，，
解得，，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3；
(2)
解：设P（x，x2+2x﹣3），直线AB的解析式为y＝kx+b，
由抛物线解析式y＝x2+2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
把A（﹣3，0）和B（0，﹣3）代入y＝kx+b，
得，，
解得，，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x﹣3，
∵PE⊥x轴，
∴E（x，﹣x﹣3），
∵P在直线AB下方，
∴PE＝﹣x﹣3﹣（ x2+2x﹣3）＝﹣x2﹣3x＝﹣（x+）2+，
当x＝﹣时，y＝x2+2x﹣3＝，
∴当PE最大时，P点坐标为（﹣，）；
(3)
存在，理由如下，
∵x＝﹣＝-1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝-1，
设Q（-1，a），
∵B（0，-3），A（-3，0），
①当∠QAB＝90°时，AQ2+AB2＝BQ2，
∴22+a2+32+32＝12+（3+a）2，
解得：a＝2，
∴Q1（-1，2），
②当∠QBA＝90°时，BQ2+AB2＝AQ2，
∴12+（3+a）2+32+32＝22+a2，
解得：a＝﹣4，
∴Q2（-1，﹣4），
③当∠AQB＝90°时，BQ2+AQ2＝AB2，
∴12+（3+a）2+22+a2＝32+32，
解得：a1＝或a1＝，
∴Q3（-1，），Q4（-1，），
综上所述：点Q的坐标是（-1，2）或（-1，﹣4）或（-1，）或（-1，）．
【点睛】
本题是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理，解题的关键是用含有未知数的代数式表达点的坐标和线段的长度．
3、 (1)
(2)E点坐标为，弧长为
(3)
【解析】
【分析】
（1）将，代入，计算求解即可；
（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可；
（3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．
(1)
解：将与代入
得
∴用含的式子表示为．
(2)
解：将与代入
得
∴
∴点坐标分别为
如图，作，连接
∴，
∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴点坐标为
∵
∴
∴
∴AE=
∴的坐标为，的长为．
(3)
解：由题意知
∵，
∴
∵最小时，有解得
∴
∴．
【点睛】
本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用．
4、 (1)，顶点坐标为：；
(2)，证明见解析；
(3)存在点P，，理由见解析．
【解析】
【分析】
（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；
（2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；
（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．
(1)
解：抛物线经过点，，，
设抛物线解析式为：，
将点C代入可得：，
解得：，
∴，
∴顶点坐标为：；
(2)
解：如图所示：
为直角三角形且三边长分别为：，，，
的三边长分别为：，
，，
∴，
∴为直角三角形，
∵，
∴；
(3)
解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：
∴，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，即
解得：，
设，
∴，，
∴，
整理得：①，
=，
即②，
将①代入②整理得：，
解得：，，
∴，，
∴或（不符合题意舍去），
∴，，
设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：
，
解得：，
∴，
∴联立两个函数得：，
将①代入②得：，
整理得：，
解得：，，
当时，，
∴．
【点睛】
题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．
5、 (1)y=x2-2x-3，(1，−4)
(2)①y=x−3；②
【解析】
【分析】
（1）把A（-1，0）代入y=x2+bx-3其凷b得到抛物线解析式，然后把一般式配成顶点式得到抛物线的顶点坐标；
（2）①解方程x2-2x-3=0得B（3，0），再确定C（0，-3），然后利用待定系数法求直线BC的解析式；
②如图，利用对称性得到x2-1=1-x1，则x1+x2=2，所以x1+x2+x3=2+x3，利用函数图象得到-1＜x3＜0，从而得到1＜x1+x2+x3＜2．
(1)
解：把A（-1，0）代入y=x2+bx-3得1-b-3=0，解得b=-2，
∴抛物线解析式为y=x2-2x-3，
∵y=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）；
(2)
解：①当y=0时，x2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则B（3，0），
当x=0时，y=x2-2x-3=-3，则C（0，-3），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（3，0），C（0，-3）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y=x-3；
②如图，
x2-1=1-x1，
∴x1+x2=2，
∴x1+x2+x3=2+x3，
∵y3＜-3，即x3-3＜-3，
∴x3＜0，
∵y=-4时，x-3=-4，解得x=-1，
∴-1＜x3＜0，
∴1＜x1+x2+x3＜2．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
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