冀教版九年级下册第30章 二次函数综合与测试课后练习题

九年级数学下册第三十章二次函数章节测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知二次函数，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

2、将函数的图像向上平移1个单位，向左平移2个单位，则所得函数表达式是（       ）

A． B．

C． D．

3、已知二次函数，则关于该函数的下列说法正确的是（       ）

A．该函数图象与轴的交点坐标是

B．当时，的值随值的增大而减小

C．当取1和3时，所得到的的值相同

D．将的图象先向左平移两个单位，再向上平移5个单位得到该函数图象

4、已知平面直角坐标系中有点A（﹣4，﹣4），点B（a，0），二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k的图象必过一定点C，则AB+BC的最小值是（　　）

A．4 B．2 C．6 D．3

5、已知点、在二次函数的图象上，当，时，．若对于任意实数、都有，则的范围是（       ）．

A． B． C．或 D．

6、小明以二次函数的图象为灵感为“2017北京房山国际葡萄酒大赛”设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ）

A．14 B．11 C．6 D．3

7、下列二次函数的图象中，顶点在第二象限的是（       ）

A． B．

C． D．

8、在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（　　）

A．（4，2） B．（﹣2，2） C．（4，﹣2） D．（﹣2，﹣2）

9、如图，直线与y轴交于点A，与直线交于点B，若抛物线的顶点在直线上移动，且与线段、都有公共点，则h的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

10、下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（       ）

A．正方体集装箱的体积，棱长xm

B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm

C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤

D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知抛物线y＝（x﹣1）2有点A（0，y1）和B（3，y2），则y1___y2．（用“＞”，“＜”，“＝”填写）

2、二次函数的对称轴是________．

3、若点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，则a与b的大小关系是：a______b（填“＞”，“＜”或“＝”）．

4、若抛物线与轴交于原点，则的值为 __．

5、已知二次函数，若，则y的取值范围是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点P是直线上一动点．

(1)求直线的解析式；

(2)若点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，求点P的坐标；

(3)如图2，连接，过点P作PEBC交x轴于点E，连接，将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，求点E的坐标．

2、某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间t（天）之间的函数关系为p＝，且t为整数，日销售量y（千克）与时间t（天）之间的函数关系如图所示．

(1)求日销售量y与时间t的函数表达式．

(2)哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

3、如图，因疫情防控需要，某校在足够大的空地利用旧墙MN和隔离带围成一个矩形隔离区ABCD，墙长为a米，AD≤MN，矩形隔离区的一边靠墙，其它三边一共用隔离带200米．

(1)a＝30，所围成的矩形隔离区的面积为1800平方米，求所利用旧墙AD的长；

(2)若a＝150．求矩形隔离区ABCD面积的最大值．

4、已知在平面直角坐标系中，拋物线经过点、，顶点为点．

(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；

(2)联结，试判断与是否相似，并证明你的结论；

(3)抛物线上是否存在点，使得．如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由．

5、在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，点，（点在点的左侧），点是抛物线上一点．

(1)若，时，用含的式子表示；

(2)若，，，的外接圆为，求点的坐标和弧的长；

(3)在（1）的条件下，若有最小值，求此时的抛物线解折式

-参考答案-

一、单选题

1、D

【解析】

【分析】

先求出对称轴x＝，再由已知可得 b≥1，即可求b的范围．

【详解】

解：∵，

∴对称轴为直线x＝b，开口向下，

在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

∵当x＞1时，y随x的增大而减小，

∴1不在对称轴左侧，

∴b≤1，

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，充分理解对称轴与函数增减性之间的关系是解题的关键．

2、B

【解析】

【分析】

由二次函数图象平移的规律即可求得平移后的解析式，再选择即可．

【详解】

解：将抛物线先向上平移1个单位，则函数解析式变为

再将向左平移2个单位，则函数解析式变为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象变换，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”．

3、C

【解析】

【分析】

把，代入，即可判断A，由二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，即可判断B，当取和，代入，即可判断C，根据函数图象的平移规律，即可判断D．

【详解】

∵二次函数的图象与轴的交点坐标是，

∴A选项错误；

∵二次函数的图象开口向上，对称轴是直线，

∴当时，的值随值的增大而增大，

∴B选项错误；

∵当取和时，所得到的的值都是11，

∴C选项正确；

∵将的图象先向左平移两个单位，再向上平移个单位得到的图象，

∴D选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查二次函数的图象和性质，理解二次函数的性质是解题的关键．

4、C

【解析】

【分析】

将抛物线解析式变形求出点C坐标，再根据两点之间线段最短求出AB+BC的最小值即可．

【详解】

解：二次函数y＝x2+（k﹣3）x﹣2k=(x-2)(x-1+k)-2

∴函数图象一定经过点C（2，-2）

点C关于x轴对称的点的坐标为（2，2），连接，如图，

∵

∴

故选：C

【点睛】

本题主要考查了二次函数的性质，两点之间线段最短以及勾股定理等知识，明确“两点之间线段最短”是解答本题的关键．

5、A

【解析】

【分析】

先根据二次函数的对称性求出b的值，再根据对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，则二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1即可求解．

【详解】

解：∵当x1=1、x2=3时，y1=y2，

∴点A与点B为抛物线上的对称点，

∴，

∴b=-4；

∵对于任意实数x1、x2都有y1+y2≥2，

∴二次函数y=x2-4x+n的最小值大于或等于1，

即，

∴c≥5．

故选：A．

【点睛】

本题考察了二次函数的图象和性质，对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其对称轴是直线：，顶点纵坐标是，抛物线上两个不同点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若有y1=y2，则P1，P2两点是关于抛物线对称轴对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线：．

6、B

【解析】

【分析】

首先由y=2x2-4x+8求出D点的坐标为（1，6），然后根据AB=4，可知B点的横坐标为x=3，代入y=2x2-4x+8，得到y=14，所以CD=14-6=8，又DE=3，所以可知杯子高度．

【详解】

解：，

抛物线顶点的坐标为，

，

点的横坐标为，

把代入，得到，

，

．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点D和点B的坐标是解决问题的关键．

7、C

【解析】

【分析】

根据二次函数的顶点式求得顶点坐标，即可判断．

【详解】

解：A．二次函数的顶点为（1，3），在第一象限，不合题意；

B．二次函数的顶点为（1，﹣3），在第四象限，不合题意；

C．二次函数的顶点为（﹣1，3），在第二象限，符合题意；

D．二次函数的顶点为（﹣1，﹣3），在第三象限，不合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查二次函数的图象、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

8、D

【解析】

【分析】

求出抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，即可求解．

【详解】

解：∵ ，

∴抛物线y＝x2﹣2x+1的顶点坐标为 ，

∴将抛物线y＝x2﹣2x+1先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，经过两次平移后所得抛物线的顶点坐标是 ．

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象平移法则“左加右减，上加下减”是解题的关键．

9、B

【解析】

【分析】

将与联立可求得点B的坐标，然后由抛物线的顶点在直线可求得k＝−h，于是可得到抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，由图形可知当抛物线经过点B和点C时抛物线与线段AB、BO均有交点，然后将点C和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得h的值，从而可判断出h的取值范围．

【详解】

解：∵将与联立得：，

解得：．

∴点B的坐标为（−2，1），

由抛物线的解析式可知抛物线的顶点坐标为（h，k），

∵将x＝h，y＝k，代入得y＝−x得：−h＝k，解得k＝−h，

∴抛物线的解析式为y＝（x−h）2−h，

如图1所示：当抛物线经过点C时，

将C（0，0）代入y＝（x−h）2−h得：h2−h＝0，解得：h1＝0（舍去），h2＝；

如图2所示：当抛物线经过点B时，

将B（−2，1）代入y＝（x−h）2−h得：（−2−h）2−h＝1，整理得：2h2＋7h＋6＝0，解得：h1＝−2，h2＝−（舍去）．

综上所述，h的范围是−2≤h≤，即−2≤h≤

故选：B．

【点睛】

本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了一次函数的交点与一元二次方程组的关系、待定系数法求二次函数的解析式，通过平移抛物线探究出抛物线与线段AB、BO均有交点时抛物线经过的“临界点”为点B和点O是解题解题的关键．

10、D

【解析】

【分析】

根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数．

【详解】

A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意；

D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键．

二、填空题

1、＜

【解析】

【分析】

分别把A、B点的横坐标代入抛物线解析式求解即可．

【详解】

解：x＝0时，y1＝（0﹣1）2＝1，

x＝3时，y3＝（3﹣1）2＝4，

∴y1＜y2．

故答案为：＜．

【点睛】

本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，求出相应的函数值是解题的关键．

2、直线

【解析】

【分析】

抛物线的对称轴为直线 根据抛物线的顶点式可直接得到答案.

【详解】

解：二次函数的对称轴是直线（或轴）

故答案为：直线

【点睛】

本题考查的是二次函数的对称轴方程，掌握“抛物线的顶点式”是解本题的关键.

3、＜

【解析】

【分析】

根据二次函数的解析式求得对称轴以及开口方向，根据点与对称轴的距离越远函数值越大即可判断的大小关系．

【详解】

解：∵二次函数y＝（x﹣1）2，，开口向上，对称轴为

又点（0，a），（3，b）都在二次函数y＝（x﹣1）2的图象上，

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．

4、-3

【解析】

【分析】

根据函数图象经过原点时，，，代入即可求出的值．

【详解】

解：抛物线与轴交于原点，

当时，，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，掌握函数图象经过原点，即当时，是解决问题的关键．

5、

【解析】

【分析】

根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以求得y的取值范围．

【详解】

解：∵y=x2-4x+1=（x-2）2-3，抛物线开口向上，

∴当x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时，y随x的增大而增大，

∵-1≤x≤4，2-（-1）=3，4-2=2，

∴当x=-1时y取得最大值，当x=2时，y取得最小值，

当x=-1时，y=6，当x=2时，y=-3，

∴y的取值范围是-3≤y≤6，

故答案为：-3≤y≤6．

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

三、解答题

1、 (1)

(2)或

(3)或

【解析】

【分析】

（1）根据抛物线的解析式令即可求得的坐标，令即可求得点的坐标，进而待定系数法求得直线的解析式；

（2）由（1）设点，则在上，代入解方程即可求得的值，进而求得点的值；

（3）先求得直线的解析式，进而表示出解析式，得点的坐标为，进而根据平行得，根据相似三角形的性质可得，根据勾股定理及逆定理证明是直角三角形，进而可得对称后的点与重合，进而可得，求得点的纵坐标，进而根据求得的值，即可求得点的坐标．

(1)

解：已知抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，

令，得

即

令，即

解得

设直线的解析式为，将点代入得，

解得

直线的解析式为

(2)

点P是直线上一动点，直线的解析式为

设点，

点P关于原点O的对称点Q刚好落在抛物线上，

则在上

即

解得

或

或

(3)

依题意，设点，

设直线的解析式为，将点代入得，

解得

直线的解析式为

PEBC

设直线的解析式为

令，，则点的坐标为

，，

PEBC

是直角三角形

将沿对折，点P的对应点恰好落在x轴上时，

,

与点重合，

则

，

解得

或

即或

解得或

或

【点睛】

本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，轴对称问题，相似三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理，一次函数的平移问题，设参数求解是解题的关键．

2、 (1)y＝﹣2t+200（1≤t≤80，t为整数）

(2)第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元

【解析】

【分析】

（1）设日销售量y与时间t的函数解析式为y=kt+b（k≠0），将（1，198）、（80，40）代入，得二元一次方程组，解得k和b的值，再代入y=kt+b即可；

（2）设日销售利润为w，根据日利润等于每千克的利润乘以日销售量可得w=（p-6）y，分两种情况讨论：①当1≤t≤40时，②当41≤t≤80时．

(1)

解：设日销售量y与时间t的函数解析式为y=kt+b（k≠0），

将（1，198）、（80，40）代入，得：

，

解得：，

∴日销售量y与时间t的函数表达式为y=-2t+200（1≤t≤80，t为整数）；

(2)

解：设日销售利润为w元，则w=（p-6）y，

①当1≤t≤40时，

w=（t+16-6）（-2t+200）=-（t-30）2+2450，

∵-＜0，

∴当t=30时，w有最大值，最大值为2450元；

②当41≤t≤80时，

w=（-t+46-6）（-2t+200）=（t-90）2-100，

∵1＞0，

∴当t≤90时，w随t的增大而减小，

∴当t=41时，w有最大值，最大值=（41-90）2-100=2301，

∵2450＞2301，

∴第30天的日销售利润最大，最大利润为2450元．

【点睛】

本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式，解题关键是根据等量关系写出函数解析式．

3、 (1)AD=20米；

(2)当x=100时，S最大=5000米2．

【解析】

【分析】

（1）设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，根据长方形面积公式列方程，解方程，根据墙长得出AD=20米；

（2）矩形隔离区ABCD面积用S表示，根据长方形面积公式列出面积函数S=然后配方为S即可．

(1)

解：设AD=x，AB=(200-x)÷2=100-，

∴根据题意得：，

整理得，

解得：，

∵a＝30，

∴AD=20米；

(2)

解：矩形隔离区ABCD面积用S表示，

则S=，

∵a＝150＞100，

∴当x=100时，S最大=5000米2．

【点睛】

本题考查长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题，掌握长方形面积，列一元二次方程解图形问题应用题，列二次函数解图形问题的最值问题是解题关键．

4、 (1)，顶点坐标为：；

(2)，证明见解析；

(3)存在点P，，理由见解析．

【解析】

【分析】

（1）根据题意设抛物线解析式为：，将点C代入解得，代入抛物线可得函数解析式；将一般式化为顶点式即可确定顶点坐标；

（2）结合图象，分别求出的三边长，的三边长，由勾股定理逆定理可得为直角三角形，且两个三角形的三条边对应成比例，即可证明；

（3）设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，可得，，利用等腰直角三角形的性质可得，，再由勾股定理可得，设，根据直角坐标系中两点之间的距离利用勾股定理可得，同理可得=，利用代入消元法解方程即可确定点F的坐标，然后求出直线AF的直线解析式，联立抛物线解析式求交点坐标即可得．

(1)

解：抛物线经过点，，，

设抛物线解析式为：，

将点C代入可得：，

解得：，

∴，

∴顶点坐标为：；

(2)

解：如图所示：

为直角三角形且三边长分别为：，，，

的三边长分别为：，

，，

∴，

∴为直角三角形，

∵，

∴；

(3)

解：设存在点P使，作线段AC的中垂线交AC于点E，交AP于点F，连接CF，如（2）中图：

∴，，

∵，

∴，

∴为等腰直角三角形，

∴，，

∴，即

解得：，

设，

∴，，

∴，

整理得：①，

=，

即②，

将①代入②整理得：，

解得：，，

∴，，

∴或（不符合题意舍去），

∴，，

设直线FA解析式为：，将两个点代入可得：

，

解得：，

∴，

∴联立两个函数得：，

将①代入②得：，

整理得：，

解得：，，

当时，，

∴．

【点睛】

题目主要考查待定系数法确定函数解析式，相似三角形得判定和性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．

5、 (1)

(2)E点坐标为，弧长为

(3)

【解析】

【分析】

（1）将，代入，计算求解即可；

（2）将与代入，得到，然后将解析式因式分解，得到点坐标分别为；如图，在直角坐标系中作，连接；点为中点，坐标为；点为中点，坐标为，，，有，，，，，得的值，进而可求出点坐标；，知，，AE= ，根据求解即可；

（3），知，， 最小时，有，解得值，故可得值，进而可得出抛物线的解析式．

(1)

解：将与代入

得

∴用含的式子表示为．

(2)

解：将与代入

得

∴

∴点坐标分别为

如图，作，连接

∴，

∴点为中点，坐标为即；点为中点，坐标为即

∵

∴

∴

∴

∵，，

∴

∴点坐标为

∵

∴

∴

∴AE=

∴的坐标为，的长为．

(3)

解：由题意知

∵，

∴

∵最小时，有解得

∴

∴．

【点睛】

本题考查了代数式，待定系数法求二次函数解析式，二次函数最值，三角形相似的判定与性质，三角形的外接圆，弧长等知识．解题的关键与难点在于对知识的熟练掌握并能灵活运用．