78.概率4 2022届高三数学一轮复习大题练

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（1）某班为了迎接比赛，女生积极组织3分钟投篮训练，近5次的训练结果记录如表，其中表示时间（单位：次），表示投篮命中个数（单位：个）．
其中，2，3，4，，，，，．
若两个变量，的关系可以用函数（其中，均为常数）进行拟合，求关于的回归方程（系数精确到．
（2）已知班与班在总决赛中相遇，总决赛采用五场三胜制（不考虑平局，比赛中先三胜三场者获得比赛胜利，比赛结束）．假设每场比赛结果相互独立，班排除第五场比赛获胜的概率为外，其他场地比赛获胜的概率都为．记为班在总决赛中获胜的场数，求的分布列和期望．
附：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
解：（1）令，则可变形为，
则，
所以，
则，
所以；
（2）由题意，的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
故．
2．甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与生者比赛，按此规则循环下去三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者．根据以往经验每局比赛中：甲乙比赛甲胜概率为，乙丙比赛乙胜概率为，丙甲比赛丙胜概率为，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局．
（1）比赛完3局时，求甲、乙、丙各胜1局的概率；
（2）比赛完4局时，设丙作为旁观者的局数为随机变量，求的分布列和期望．
解：（1）考虑前3局，甲、乙、丙各胜1局，有两种情形：
第1局若甲胜，则第2局甲丙比赛，丙胜，第3局丙乙比赛，乙胜；
第1局若乙胜，则第2局乙丙比赛，丙胜，第3局甲丙比赛，甲胜．
故所求概率为；
（2）根据比赛规则，丙第1局作为旁观者，第2局必须参赛，第3局如果是旁观者，则第4局必定参加比赛，而第3局比赛时，第4局可能参与比赛也可能作为旁观者，
所以的可能取值为1，2，
则，
，
所以的分布列为：
故．
3．2021年国庆期间，重庆百货某专柜举行庆国庆欢乐大抽奖活动，顾客到店消费1000元及以上，可参加一次抽奖活动．抽奖规则如下：从装有10个形状大小完全相同的小球个红球，2个白球，7个黑球）的抽奖箱中，一次性抽出3个球．其中1红2白，则全免单，1红1白1黑，则享受5折优惠，1红2黑，则享受7折优惠，其余情况则享受8折优惠．
（1）若某位顾客消费价格为1000元的商品，求该顾客实际付款金额的分布列与数学期望；
（2）若顾客通过抽奖享受8折优惠，则每消费满1000元售货员可获得40元的提成；若顾客通过抽奖享受7折，5折或免单优惠，则每消费满1000元售货员可获得20元提成．若某售货员在某天可以接待10名消费满1000元，不满2000元的顾客，则该售货员可能获得的平均提成为多少元？
解：（1）该顾客实际付款金额为元，则的可能取值为0，500，700，800，
所以，
，
，
，
则的分布列为：
所以，
故顾客实际付款金额的数学期望为元；
（2）设10名顾客中享受8折优惠的人数为人，则，
所以，
售货员获得的提成为元，
则，
故元，
所以该售货员可能获得的平均提成为340元．
4．近年我国科技成果斐然，其中北斗三号全球卫星导航系统于2020年7月31日正式开通．北斗三号全球卫星导航系统由24颗中圆地球轨道卫星、3颗地球静止轨道卫星和3颗倾斜地球同步轨道卫星，共30颗卫星组成．北斗三号全球卫星导航系统全球范围定位优于10米，实测的导航定位精度都是米，全球服务可用性，亚太地区性能更优．
（1）南美地区某城市通过对1000辆家用汽车进行定位测试，发现定位精确度近似满足，预估该地区某辆家用汽车导航精确度在，的概率；
（2）①某日北京、上海、拉萨、巴黎、里约5个基地同时独立随机选取1颗卫星进行信号分析，选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，求的数学期望；
②某地基站工作人员30颗卫星中随机选取4颗卫星进行信号分析，记为选取的4颗卫星中含倾斜地球同步轨道卫星的数目，求的分布列和数学期望．
附：若，则，，．
解：（1）由，，易知，
则预估该地区某辆家用汽车导航精确度在，的概率为0.84；
（2）①5个基地相互独立，每个基地随机选取的1颗卫星是中圆地球轨道卫星的概率为，
5个基地选取的5颗卫星中含中圆地球轨道卫星的数目记为，
，
②由题意知，3，，
，1，2，，
的分布列为
，
．
5．某电视台招聘节目主持人，甲、乙两人同时应聘．应聘者需进行笔试和面试，笔试分为三个环节，每个环节都必须参与，甲笔试部分每个环节通过的概率均为，乙笔试部分每个环节通过的概率依次为，，，笔试三个环节至少通过两个才能够参加面试，否则直接淘汰；面试分为两个环节，每个环节都必须参与，甲面试部分每个环节通过的概率依次为，，乙面试部分每个环节通过的概率依次为，．若面试部分的两个环节都通过，则可以成为该电视台的节目主持人．甲、乙两人通过各个环节相互独立．
（1）求乙能参与面试的概率；
（2）记甲本次应聘通过的环节数为，，求的分布列以及数学期望．
解：（1）乙笔试部分三个环节全部通过或通过两个，则能参与面试，
故乙能参与面试的概率为；
（2）由题意可得，的可能取值为0，1，2，3，4，5，
所以；
，
，
，
，
，
故的分布列为：
所以．
6．北京冬季奥运会将于2022年2月4日至2022年2月20日在中华人民共和国北京市和河北省张家口市联合举行．这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京、张家口同为主办城市，也是中国继北京奥运会、南京青奥会之后第三次举办奥运赛事．北京冬奥组委对报名参加北京冬奥会志愿者的人员开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后进行了一次考核．为了解本次培训活动的效果，从中随机抽取80名志愿者的考核成绩，根据这80名志愿者的考核成绩得到的统计图表如下所示．
女志愿者考核成绩频率分布表
若参加这次考核的志愿者考核成绩在，内，则考核等级为优秀．
（1）分别求出，，的值，以及这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数；
（2）若从样本中考核等级为优秀的志愿者中随机抽取3人进行学习心得分享，记抽到男志愿者的人数为，求的分布列及数学期望．
解：（1）由女志愿者考核成绩的频率分布表可知，被抽取的女志愿者的人数为，
因为，解得，
所以，
，
因为被抽取的志愿者的人数为80，
所以被抽取的男志愿者的人数是，
由男志愿者考核成绩的频率分布直方图可知，男志愿者这次培训考核等级为优秀的频率为，
则这次培训考核等级为优秀的男志愿者人数为；
（2）由（1）可知，考核评定为优秀的女志愿者为7人，男志愿者为5人，
则的可能取值为0，1，2，3，
所以，
，
，
，
所以的分布列为：
则．1
2
3
4
5
1
3
6
9
15
0
1
2
3
1
2
0
500
700
800
0
1
2
3
0
1
2
3
4
5
分组
频数
频率
，
2
0.050
，
13
0.325
，
18
，
0.100
，
0.075
0
1
2
3