一轮大题专练4—导数（极值、极值点问题2））-2022届高三数学一轮复习

一轮大题专练4—导数（极值、极值点问题2）

1．已知函数．

（1）若，讨论的单调性；

（2）当时，讨论函数的极值点个数．

解：（1）的定义域为，，

令，，

因为，所以，所以在上单调递增，

又（1），所以当时，，即，当时，，即，

所以在上单调递减，在上单调递增．

（2）①当时，由（1）可知在上有唯一极小值（1），

所以极值点个数为1个．

②当时，令，得，

当时，，单调递减，当，时，，单调递增，

所以，

令（a），（a），

因为，所以（a），即（a）在，上单调递减，所以（a），

（ⅰ）当时，，在上，恒成立，

即在上恒成立，所以无极值点；

（ⅱ）当时，，（a），即，

易知，，

所以存在唯一，使得，

且当时，，当时，，则在处取得极大值；

又（1），所以当时，，当时，，即在处取得极小值，

故此时极值点个数为2．

综上所述，当时，的极值点个数为0；当时，的极值点个数为2；当时，的极值点个数为1．

2．已知函数（其中常数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若有两个极值点、，且，求证：．

解：，则，，

令，，△，

①当△，即时，，故，所以在上单调递增；

②当△，即当时，有两个实数根，，

又，（1），且对称轴为．，故，，

所以当或时，，则，故单调递增；

当时，，则，故单调递减；

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在和上单调递增，在，单调递减；

（Ⅱ）证明：因为有两个极值点、，且，

所以为的极大值点，

由可知，，，所以，

，

令，

则对于恒成立，

故在上单调递增，

所以，

故．

3．已知函数．

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）当，时，求证：总存在唯一的极小值点，且．

（1）解：函数的定义域为．

当时，，所以，

易知在上单调递增，且．

则在上，在上，

从而在上单调递减，在上单调递增．

（2）证明：，所以，且．

设，则，

所以在上单调递增，即在上单调递增，

由，得，

设，则在，上单调递增且．

则当，时，都恰有一个，使得，

且当时，当，时，

因此总有唯一的极小值点．

所以，从而，

极小值

由，可得当，时，，

即，随增大而增大，易得，．

令，则，，设，（1），

所以在，上单调递减，且（1），从而．

即．

4．已知函数．

（1）若在处有极大值，求的取值范围；

（2）若的极大值为，的极小值为，当时，求的取值范围．

解：（1），（1分）

①当时，，故有：当时，，单调递增，

当时，，单调递减，此时在处有极大值；（2分）

②当时，即．令，解得：．故有：

当时．，单调递增，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增．

此时在处有极大值：（3分）

③当时，，在定义域内单调递增，无极大值：（4分）

④当时，即，令，解得：．故有：

当时，，单调递增，当时，，单调递减，

当时，，单调递增，此时在处有极小值：（5分）

综上所述，当时，在处有极大值，

即的取值范围是．（6分）

（2）由（1）可知，当时，，当时，，

所以且，（7分）

令，

则，

所以在上单调递增，（8分）

又（1），所以在单调递减，在单调递增，（9分）

于是（a），

所以（a）在或处取得最大值，，（10分）

由于且，（a）（1），（11分）

所以，

即的取值范围是，．（12分）

5．已知函数．

（1）若，求的极值；

（2）讨论函数的单调区间；

（3）若有两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．

解：（1）时，，定义域是，

，

当时，，递减，

时，，递增，

故当时函数有极小值（1），无极大值；

（2）的定义域是，

，

①时，，则，在递增，

②时，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增；

综上：时，在递增，

时，在递减，在递增；

（3）

，定义域是，

有2个极值点，，

即，

则有2个不相等实根，，

△，，解得：，且，

从而，

由不等式恒成立，

得恒成立，

令，

当时，恒成立，

故函数在上单调递减，

，

故实数的取值范围是，．

6．已知函数．

（1）当时，求函数在，（2）处的切线方程；

（2）当，证明：函数存在唯一极值点，且．

解：（1）当时，．，

（2），（2），

函数在，（2）处的切线方程为：，整理为：．

（2）证明：函数，．

，

设，

，，因此与的符号相同．

，

显然，当时，，函数单调递增．

又（1），．，

存在唯一，，使得．

对于，则有时，；，时，．

函数存在唯一极值点，，．

由，可得：，解得，

，

，，．