75.概率1 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练75—概率11．药物临床试验一般分为四期，每期都会征集一定量的志愿者参与试验．无论研究者或是受试者，知晓试验用药信息会对疗效安全性评价产生偏性评估．因此在临床试验中，盲法技术是为了避免主观因素对结果评定的影响，即将志愿者分组为试验组和对照组，分别给予有有效成份的药物和无有效成份的安慰剂，最后通过统计得到药物的客观效果．某药厂对一种新药进行二期试验，招募了100名志愿者参与，根据他们的年龄分布得到如图的频率分布直方图．（1）试估计100名志愿者的平均年龄及第75百分位数．（2）A、B、C是参与此次试验的志愿者，他们被随机分配至试验组和对照组．试验组人数多于对照组，若A、B两人恰有一人分配到试验组的概率为，求试验组的人数，及三人中至少有2人分配到试验组的概率．解：（1）由频率分布直方图知，40～50年龄组的频率为1﹣（0.010+0.015+0.020+0.025）×10＝0.30，故这100名志愿者的平均年龄为10×（25×0.015+35×0.025+45×0.030+55×0.020+65×0.010）＝43.5岁，由直方图知，前三组频率之和为0.7，第四组为0.2，所以第75百分位数应在第四组，设为x，则（x﹣50）×0.020+0.7＝0.75，解得x＝52.5，故第75百分位数是52.5岁．（2）A，B，C三人被分配到试验组的概率相同，设为p（p＞），则分配到对照组的概率为1﹣p，用A，B，C分别表示三人被分配到试验组，，，分别表示三人被分配到对照组，所以A、B两人恰有一人分配到试验组的概率P1＝P（A）+P（B）＝2p（1﹣p）＝，解得p＝或，因为p＞，所以p＝，所以实验组的人数为100×＝60人，三人中至少有2人分配到试验组的概率P2＝P（ABC）+P（AB）+P（AC）+P（BC）＝+•×3＝．2．某楼盘举行购房抽奖送装修基金活动，规则如下：对购买该楼盘的业主，从装有2个红球、2个白球的A盒和装有3个红球、2个白球的B盒中，各随机抽出2个球．在摸出的4个球中，若4个球都为红球，则为一等奖，奖励10000元的装修基金；若恰有3个红球，则为二等奖，奖励5000元的装修基金；若恰有2个红球，则为三等奖，奖励3000元的装修基金；其他情况视为鼓励奖，奖励1500元的装修基金．（Ⅰ）三名业主参与抽奖，求恰有一名业主获得二等奖的概率；（Ⅱ）记某业主参加抽奖获得的装修基金为X，求X的分布列和数学期望．解：（I）设事件A表示某业主取参加抽奖获得二等奖，则P（A）＝＝，故三名业主去抽奖，恰有一名业主获得二等奖的概率P＝＝．（II）由题意可得，X所有可能取值为10000，5000，3000，1500，P（X＝10000）＝，P（X＝5000）＝，即为业主获得二等奖，P（X＝3000）＝＝，P（X＝1500）＝1﹣P（X＝10000）﹣P（X＝5000）﹣P（X＝3000）＝，故X的分布列为：X 10000 5000 3000 1500 P   故E（X）＝＝3675．3．2020年10月16日是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5公斤，通过推广种植海水稻，实现亿亩荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标为m（m∈[70，100]），其质量指标等级划分如表：质量指标值m[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，100]质量指标等级良好优秀良好合格废品为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如图所示的频率分布直方图．（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率；（2）若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90，95）的件数X的分布列及数学期望．解：（1）设事件A的概率为P（A），则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为P＝（0.04+0.02）×5＝0.3，则；（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，m∈[85，90）的频率为0.08×5＝0.4；m∈[90，95）的频率为0.04×5＝0.2；m∈[95，100]的频率为0.02×5＝0.1，故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85，90）的有4件，m∈[90，95）的有2件，m∈[95，100]的有1件，从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90，95）的件数X的所有可能取值为0，1，2，所以，所以X的分布列为：X012P则E．4．某商场在双十一期间举办线下优惠活动，顾客购买一件不低于100元的商品就有资格参加一次抽奖活动，中奖能享受当件商品五折优惠．活动规则如下：抽奖箱中装有大小质地完全相同的10个球，分别编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，购物者在箱中摸两个球，球的编号之和为11视为中奖，其余情况不中奖．（1）求抽奖活动中奖的概率；（2）某顾客准备分别购买两件原价为200元、300元的商品，依次参加了两次抽奖活动，求总付款额的分布列．解：（1）用，表示两个球的编号，则样本点可以用表示，样本空间，，2，3，4，5，6，7，8，9，，，，设事件 “顾客能中奖”， ，，，，，（A），所以（A）．（2）设总付款额为，则的所有取值为：250，350，400，500，设事件 “购买200元商品时中奖”，事件 “购买300元商品时中奖”，（A），与相互独立，，，，，故总付款额的分布列为：2503504005005．新型冠状病毒肺炎，简称“新冠肺炎”，是指2019新型冠状病毒感染导致的肺炎．某定点医院对来院就诊的发热病人的血液进行检验，随机抽取了1000份发热病人的血液样本，其中感染新型冠状病毒的有200份，以频率作为概率的估计值．（1）某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率是多少？（2）治疗重症病人需要使用呼吸机，若该呼吸机的一个系统由3个电子元件组成，各个电子元件能否正常工作的概率均为，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作．为提高系统正常工作概率，在系统内增加两个功能完全一样的其他品牌的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则可以正常工作，问：满足什么条件时，可以提高整个系统的正常工作概率？解：（1）某定点医院对来院就诊的发热病人的血液进行检验，随机抽取了1000份发热病人的血液样本，其中感染新型冠状病毒的有200份，以频率作为概率的估计值，每名发热病人感染新型冠状病毒的概率为：，某时间段内来院就诊的5名发热病人中，恰有3人感染新型冠状病毒的概率是：．（2）当系统有5个电子元件时，原来3个电子元件中至少有1个元件正常工作，系统的才正常工作．若前3个电子元件中有1个正常工作，同时新增的两个必须都正常工作，则概率为；若前3个电子元件中有两个正常工作，同时新增的两个至少有1个正常工作，则概率为；若前3个电子元件中3个都正常工作，则不管新增两个元件能否正常工作，系统均能正常工作，则概率为．所以新增两个元件后系统能正常工作的概率为，于是由知，当时，即时，可以提高整个系统的正常工作概率．6．2021年孝感万达广场停车场临时停车按时段收费，收费标准为每辆汽车一次停车不超过半小时的免费，超过半小时的部分每小时收费3元（不足1小时的部分按1小时计算）．现有甲、乙两人在该停车场临时停车，两人停车时间互不影响且都不超过2.5小时．（1）若甲停车的时长在不超过半小时、半小时以上且不超过1.5小时、1.5小时以上且不超过2.5小时这三个时段的可能性相同，乙停车的时长在这三个时段的可能性也相同，求甲、乙两人停车付费之和为6元的概率；（2）若甲、乙停车半小时以上且不超过1.5小时的概率分别为、，停车1.5小时以上且不超过2.5小时的分别概率为、，求甲、乙两人临时停车付费不相同的概率．解：（1）设甲停车付费元，乙停车付费元，其中，，3，，则甲、乙两人的停车费用的所有可能结果为：，，，，，，，，，共9种，其中事件“甲、乙两人停车付费之和为6元”含，，这3种结果，故甲、乙两人停车付费之和为6元”的概率为；（2）设甲、乙两人停车的时长不超过半小时分另别为事件，，，停车的时长在半小时以上且不超过1.5小时分别为事件，，停车的时长在1.5小时以上且不超过2.5小时分别为事件，，则，，所以甲乙两人临时停车付费相同的概率为，所以甲乙两人临时停车付费不相同的概率为．