62.椭圆（范围最值问题） 2022届高三数学一轮复习大题练

一轮复习大题专练62—椭圆（范围最值问题）

1．已知离心率为的椭圆经过点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设点关于轴的对称点为，过点斜率为，的两条不重合的动直线与椭圆的另一交点分别为、、皆异于点．若，求点到直线的距离的取值范围．

解：（1）由题意：，，，

可得：，，

所以椭圆的标准方程为：；

（2）设过点的直线的方程：，与椭圆方程联立，

得，

则△，可得，

由已知可得，，，，

则，得，同理，

因为，所以，

则，，

所以，

故直线的方程为，

整理为：，

由题意可知点，点到直线的距离，

当且仅当，即时取等号，而，显然这时，与题意矛盾，

所以等号不成立，即，

又，，所以，

综上所述：或．

2．在平面直角坐标系中，已知椭圆的长轴为4．过左顶点且倾斜角为的直线与椭圆的另一个交点为，与轴交于点，且．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过点且不与轴重合的直线交椭圆于点，，连接并延长交于点．若，求实数的取值范围．

解：（1）由题意可知，，则

又直线过左顶点且倾斜角为，

所以直线，则，又，

则，，，

解得，

代入椭圆方程可得，，解得，

所以椭圆的标准方程为；

（2）设直线，，，，，

联立方程组，可得，

则，

直线的方程为，

直线的方程为，

联立直线与的方程可得，，

又，

则

，

令，

则，

由对勾函数的性质可得，，

所以．

3．已知椭圆的离心率为，且椭圆与椭圆在第一、二、三、四象限分别交于，，，四点，顺次连接，，，四点得到一个正方形．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）已知直线与直线交于点，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．

解：（Ⅰ）由题可得，则，

又四边形为正方形，且在第一象限，设，，则，

代入可得，，

又在椭圆上，即有，解得，，

所以的方程为；

（Ⅱ）联立得，

设过点的直线方程为：，

①当不存在时，即，代入得到，，，，

此时；

②当存在时，设，，，，

联立得，

则，，

此时，，，

则

，

令，

则当时，，

故，，

当仅当时取“”，

当时，，

综上：，．

4．已知椭圆，直线与圆相切，且与圆截得的弦长为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过椭圆右焦点，与椭圆交于，两点，设椭圆的右顶点为，设的面积和面积比为，试求的取值范围；

解：（1）因为直线与圆相切，则，

又直线被圆解得的弦长为，则，

所以椭圆的方程为．

（2）设直线方程为斜率不为，

联立得：，△，

，，

，

，

而，

因为，

所以，

则，

所以的取值范围是，．

5．已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，点，在椭圆上．

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）设直线与交于，两点，若，把弦长表示成关于的函数并求其取值范围．

解：（Ⅰ）由题意得，

解得，，

所以椭圆的方程为．

（Ⅱ）联立，得，

设点，，，，

则△，

即，

所以，，

由，得，

化简得

即，

整理得，

所以，，

由△，得，

所以

，

令，则，，

所以，，，

令，，，

函数在，上单调递增，

所以，．