56.椭圆（面积最值问题1） 2022届高三数学一轮复习大题练

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一轮复习大题专练56—椭圆（面积最值问题1）1．已知椭圆的一个焦点是直线所过的定点，且短轴长为4．（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆相交于，两点，求面积的最大值．解：（1）设椭圆的方程：，由直线恒过点，所以，由，，所以，所以；（2）由在椭圆内部，故直线与椭圆必有两个不同的交点，由题意可知，当直线垂直于轴时，显然部成立，设直线的方程为，，，，，则，消去，整理得，则，，所以，所以，令，，由在单调递增，所以，所以，当且仅当时，取“”，所以面积的最大值． 2．已知动点在椭圆上，，为椭圆的左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆．（1）求椭圆的方程；（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值．解：（1）设点，，，则点，，，，，，，点，在椭圆上，，即为点的轨迹方程．又点的轨迹是过的圆，，解得，所以椭圆的方程为．（2）由题意，可设的方程为，联立方程，得．设，，，，则△，且，所以，同理，又与的距离为，所以，四边形的面积为，令，则，且，当且仅当，即时等号成立．所以，四边形的面积最大值为．3．已知，分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上任意一点到焦点距离的最小值与最大值之比为，过且垂直于长轴的椭圆的弦长为3．（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交的交点、与右焦点所围成的三角形的内切圆面积是否存在最大值？若存在，试求出最大值；若不存在，说明理由．解：（1）到焦点的最大值和最小值分别为：，，由题意可得，①且垂直于长轴的椭圆的弦长为②，又③，由①②③可得，，，所以椭圆的标准方程为：；（2）由（1）可得左焦点，假设存在这样的直线，由于直线的斜率不为0，设直线的方程为：，设，，，，联立整理可得：，可得：，，所以，令，可得：，所以，时单调递减，所以时，最大为，所以的最大值为：，所以，设的内切圆的半径为，因为的周长为，，所以，的最大值为，这时内切圆的半径最大．且，即存在这样的内切圆的面积的最大值为．4．如图所示，、分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，当点在椭圆的上顶点时，且．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线与椭圆的另一交点为，过作直线的垂线，与圆交于、两点，求四边形面积的最大值．解：（1）由题意设，则由余弦定理可得：①，，，②，由①②得，，于是，椭圆的标准方程是：；（2）当直线的斜率不存在时，，，则四边形的面积是，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，、，，将与联立并消去，整理得，△恒成立，则，，则，由于直线与直线垂直，且经过点，直线的方程为，点到直线的距离为，，则四边形的面积：，由于，，于是（当时取得最大值），综上可知，四边形面积的最大值为．5．已知椭圆的左、右焦点分别是，和，，点在椭圆上，且△的周长是．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知、、为椭圆上三点，若有，求的面积．解：（1）因为△的周长是，且，所以，所以，解得，又，所以，故椭圆的方程为；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，，，，，，联立，可得，则，又，所以，又，所以，将点，代入椭圆方程，可得，化简，可得，又点到直线的距离为，所以，因为，则点为的重心，所以；当直线的斜率不存在时，根据坐标关系，可得直线的方程为，此时，因为点为的重心，所以．综上所述，的面积为．6．设椭圆上的任意一点动点，上顶点为．（1）当上顶点坐标为，离心率时，求的最大值；（2）过点作圆的两条切线，切点分别为和，直线与轴和轴的交点分别为和，求面积的最小值．解：（1）因为上顶点坐标为，离心率，则，解得，所以椭圆的方程为，设，则，故当时，的最大值为；（2）设，，，，，，由题意可知斜率存在，且不为0，所以，则直线和的方程分别为，，因为点在和上，所以有，，则，两点的坐标满足方程，所以直线的方程为，可得和，所以，因为，，所以，故，当且仅当时取“”，故面积的最小值为．