2020-2021学年第十五章 平面直角坐标系综合与测试综合训练题

七年级数学第二学期第十五章平面直角坐标系定向测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、点P的坐标为（﹣3，2），则点P位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2、如图，在坐标系中用手盖住一点，若点到轴的距离为2，到轴的距离为6，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

3、在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

4、点在（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

5、如图，的顶点坐标为，，，若将绕点按顺时针方向旋转90°，再向左平移2个单位长度，得到，则点的对应点的坐标是（    ）．

A． B． C． D．

6、若在第一象限的ABC关于某条直线对称后的DEF在第四象限，则这条直线可以是（　　）

A．直线x＝﹣1 B．x轴 C．y轴 D．直线x＝

7、如图，矩形ABCD的边BC在x轴上，点A在第二象限，点D在第一象限，AB＝ ，OD＝4，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则点C对应点的坐标是（   ）

A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）

8、第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日～20日在北京市和张家口市联合举行．以下能够准确表示张家口市地理位置的是（     ）

A．离北京市100千米 B．在河北省

C．在怀来县北方 D．东经114.8°，北纬40.8°

9、在平面直角坐标系中，点A的坐标为．作点A关于x轴的对称点，得到点，再将点向左平移2个单位长度，得到点，则点所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10、平面直角坐标系内一点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点坐标为_______．

2、已知点与关于原点对称，则xy的值是______．

3、在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点的坐标为（，4），点的坐标为（，1），点为第一象限内的整点，不共线的，，三点构成轴对称图形，则点的坐标可以是______（写出一个即可），满足题意的点的个数为________．

4、已知点，，若PQ//x轴，且线段，则_____，____．

5、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知：A（3，2），B（5，0），则△AOB的面积为___________．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，在直角坐标系中，A(－1，5)，B(－3，0)，C(－4，3)．

(1)在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；

(2)写出点A1　　　　　，B1　　　　　，C1　　　　　的坐标．

2、如图，三个顶点的坐标分别是．

（1）请画出关于x轴对称的图形；

（2）求的面积；

（3）在x轴上求一点P，使周长最小，请画出，并通过画图求出P点的坐标．

3、如图，在平面直角坐标系xOy中，A（1，﹣2）．

（1）作△ABC关于y轴的对称图形△A′B′C′；

（2）写出B′和C′的坐标；

（3）求△ABC的面积．

4、多多和爸爸、妈妈周末到白银市金鱼公园动物园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系画出了白银市金鱼公园动物园的景区地图，如图所示．可是她忘记了在图中标出原点、x轴和y轴，只知道东北虎的坐标为．请你帮她画出平面直角坐标系，并写出其他各景点的坐标．

5、（探索发现）等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点A、B分别是y轴、x轴上两个动点， 直角边 AC 交x轴于点D，斜边BC交y轴于点E

（1）如图1，已知C点的横坐标为﹣1，请直接写出点A的坐标             

（2）如图2，当等腰Rt△ABC运动到使点D恰为AC中点时，连接DE，求证：∠ADB＝∠CDE

（拓展应用）

（3）如图3，若点A在x轴上，且A（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、 AB为直角边在第一、二象限作等腰直角△BOD和等腰直角△ABC，连接CD交y轴于点P，当点B在y轴的正半轴上运动时，BP的长度是否变化？若变化请说明理由，若不变化，请直接写出BP的长度为           

6、在平面直角坐标系中，的顶点，，的坐标分别为，，．与关于轴对称，点，，的对应点分别为，，．请在图中作出，并写出点，，的坐标．

7、如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中：

（1）点B坐标为（0，2），点C坐标为（6，0），求点A的坐标；

（2）点B坐标为（0，m），点C坐标为（n，0），连接OA，若P为坐标平面内异于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标（用含m，n的式子表示）．

8、如图，平面直角坐标系中ABC的三个顶点分别是A(－4，3)，B(－2，4)，C(－1，1)．

（1）将ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后的A1B1C1；

（2）作出ABC关于点O的中心对称图形A2B2C2；

（3）如果ABC内有一点P(a，b)，请直接写出变换后的图形中对应点P1、P2的坐标．

9、如图，正方形网格中，每一个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，1)，B(3，2)，C(2，4)．

（1）画出ABC关于原点O对称的，直接写出点的坐标；

（2）画出ABC绕点O逆时针旋转90°后的，并写出点的坐标．

10、已知：如图，在平面直角坐标系中．

（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出△A1B1C1三个顶点的坐标：A1（　   　），B1（　   　），C1（　   　）；

（2）直接写出△ABC的面积为　   　；

（3）在x轴上画点P，使PA+PC最小．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据平面直角坐标系中四个象限中点的坐标特点求解即可．

【详解】

解：∵点P的坐标为（﹣3，2），

∴则点P位于第二象限．

故选：B．

【点睛】

此题考查了平面直角坐标系中四个象限中点的坐标特点，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中四个象限中点的坐标特点：第一象限横坐标为正，纵坐标为正；第二象限横坐标为负，纵坐标为正；第三象限横坐标为负，纵坐标为负；第四象限横坐标为正，纵坐标为负．

2、C

【分析】

首先根据P点在第四象限，可以确定P点横纵坐标的符号，再由P到坐标轴的距离即可确定P点坐标．

【详解】

解：∵P点在第四象限，

∴P点横坐标大于0，纵坐标小于0，

∵P点到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，

∴P点的坐标为（6，-2），

故选C．

【点睛】

本题主要考查了点所在的象限的坐标特征，点到坐标轴的距离，解题的关键在于能够熟练掌握第四象限点的坐标特征．

3、A

【分析】

利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．

【详解】

解：∵点A的坐标为（2，1），将点A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点A′，

∴点A′的横坐标是2-3=-1，纵坐标为1+1=2，即（-1，2）．

故选：A．

【点睛】

本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．

4、C

【分析】

根据各象限内点的坐标特征解答．

【详解】

解：点的横坐标小于0，纵坐标小于0，点所在的象限是第三象限．

故选：C．

【点睛】

本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（−，＋）；第三象限（−，−）；第四象限（＋，−）．

5、A

【分析】

画出旋转平移后的图形即可解决问题．

【详解】

解：旋转，平移后的图形如图所示，，

故选：A

【点睛】

本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．

6、B

【分析】

根据轴对称的性质判断即可．

【详解】

解：若在第一象限的ABC关于某条直线对称后的DEF在第四象限，则这条直线可以是x轴

故选：B．

【点睛】

本题考察了轴对称的性质，利用轴对称的性质找出对称轴是本题的关键．

7、B

【分析】

由矩形可知AB=CD=，再由勾股定理可知OC=2，则C点坐标为（2，0），D点坐标为（2，），旋转后D’点坐标为（4，0），则C’点坐标为（1，）．

【详解】

∵四边形ABCD为矩形

∴AB=CD=，∠DOC=60°

在中有

则C点坐标为（2，0），D点坐标为（2，）

又∵旋转后D点落在x轴的正半轴上

∴可看作矩形ABCD中绕点O顺时针旋转了60°得到

如图所示，过C’作y轴平行线交x轴于点M

其中∠DOC=∠D’OC’=60°，∠OMC’=90°，OC=OC’=2

∴OM==1，MC’==

∴C’坐标为（1，）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了旋转的性质，得出矩形ABCD绕点O顺时针旋转了60°是解题的关键．

8、D

【分析】

若将地球看作一个大的坐标系，每个位置同样有对应的横纵坐标，即为经纬度．

【详解】

离北京市100千米、在河北省、在怀来县北方均表示的是位置的大概范围，

东经114.8°，北纬40.8°为准确的位置信息．

故选：D．

【点睛】

本题考查了实际问题中的坐标表示，理解经纬度和横纵坐标的本质是一样的是解题的关键．

9、C

【分析】

根据题意结合轴对称的性质可求出点的坐标．再根据平移的性质可求出点的坐标，即可知其所在象限．

【详解】

∵点A的坐标为(1，3)，点是点A关于x轴的对称点，

∴点的坐标为(1，-3)．

∵点是将点向左平移2个单位长度得到的点，

∴点的坐标为(-1，-3)，

∴点所在的象限是第三象限．

故选C．

【点睛】

本题考查轴对称的性质，平移中点的坐标的变化以及判断点所在的象限．根据题意求出点的坐标是解答本题的关键．

10、B

【分析】

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P（﹣x，﹣y），进而得出答案．

【详解】

解答：解：点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是：（3，﹣2）．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

二、填空题

1、（-4，7）

【分析】

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），进而得出答案．

【详解】

解：点关于原点的对称点坐标为（-4，7），

故答案是：（-4，7）．

【点睛】

此题主要考查了原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的符号关系是解题关键．

2、

【分析】

直接利用关于原点对称点的性质得出x，y的值进而得出答案．

【详解】

解：∵点与关于原点对称，

∴

解得：，

则xy的值是：-3．

故答案为：-3．

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出的值是解题关键．

3、（，）（答案不唯一）    7   

【分析】

根据题意建立平面直角坐标系，进而根据题意找等腰三角形即可

【详解】

建立如下坐标系，如图，则点

如图，根据题意不共线的，，三点构成轴对称图形，则是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得这样的点有7个，分别为：

故答案为：（3,1）；7

【点睛】

本题考查了等腰三角形的判定，轴对称的性质，将题目转化为找等腰三角形是解题的关键．

4、或4

    2   

【分析】

根据轴可知纵坐标相等得出的值，再由，分点在的左右两侧相距3个单位得出的值．

【详解】

，，且轴，

，

又，

或，

故答案为：4或，2．

【点睛】

平面直角坐标系中点的坐标，掌握轴可知纵坐标相等是解题的关键．

5、5

【分析】

首先在坐标系中标出A、B两点坐标，由于B点在x轴上，所以面积较为容易计算，根据三角形面积的计算公式，即可求出△AOB的面积．

【详解】

解：如图所示，

过A点作AD垂直x轴于D点，则h=2，

∴．

故答案为：5．

【点睛】

本题主要考查的是坐标系中三角形面积的求法，需要准确对点位进行标注，并根据公式进行求解即可．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）（1，5），（3，0），（4，3）

【分析】

（1）根据对称性即可在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；

（2）结合（1）即可写出点A1，B1，C1的坐标．

【详解】

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；

（2）A1（1，5），B1（3，0），C1（4，3）；

故答案为：（1，5），（3，0），（4，3）．

【点睛】

本题考查了作图-轴对称变换，解决本题的关键是掌握轴对称性质．关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标相同．

2、（1）见解析；（2）3.5；（3）图形见解析，P点的坐标为

【分析】

（1）找到关于轴对称的点，顺次连接，则即为所求；

（2）根据网格的特点，根据即可求得的面积；

（3）连接，与轴交于点，根据对称性即可求得，点即为所求．

【详解】

解：（1）找到关于轴对称的点，顺次连接，则即为所求，如图

（2）

（3）根据作图可知，P点的坐标为

【点睛】

本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，轴对称的性质求线段和的最小值，掌握轴对称的性质是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）B′（﹣5，6），C′（-7，2）；（3）16

【分析】

（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；

（2）根据点的位置写出坐标即可；

（3）把三角形面积看成长方形面积减去周围三个三角形面积即可．

【详解】

解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；

（2）B′（﹣5，6），C′（-7，2）；

（3）S△ABC＝8×6﹣×8×4﹣×2×4﹣×6×4＝16．

【点睛】

本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，学会用分割法求三角形面积．

4、两栖动物的坐标为（4，1），飞禽的坐标为（3，4），非洲狮的坐标为（，5）

【分析】

先利用东北虎的坐标找到坐标原点，然后以坐标原点建系，进而找出其他景点的坐标．

【详解】

解：由东北虎的坐标可知：坐标原点即为南门，以南门为坐标原点建系，如下图所示：

故：两栖动物的坐标为（4，1），飞禽的坐标为（3，4），非洲狮的坐标为（，5）．

【点睛】

本题主要是考查了写出直角坐标系中的点的坐标，解题的关键通过已知条件，找到坐标原点，进而才能求出其他点的坐标．

5、（1）A（0，1）；（2）见解析；（3）不变，2

【分析】

（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，构建全等三角形：△ACF≌△BAO（AAS），结合该全等三角形的对应边相等易得OA的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标；

（2）过点C作CG⊥AC交y轴于点G，则△ACG≌△BAD（ASA），即得CG=AD=CD，∠ADB=∠G，由∠DCE=∠GCE=45°，可证△DCE≌△GCE（SAS）得∠CDE=∠G，从而得到结论；

（3）BP的长度不变，理由如下：如图（3），过点C作CH⊥y轴于点H，构建全等三角形：△CBH≌△BAO（AAS），结合全等三角形的对应边相等推知：CH=BO，BH=AO=4．再结合已知条件和全等三角形的判定定理AAS得到：△CPH≌△DPB，故BP=HP=2．

【详解】

解：（1）如图（1），过点C作CF⊥y轴于点F，

∵CF⊥y轴于点F，

∴∠CFA=90°，∠ACF+∠CAF=90°，

∵∠CAB=90°，

∴∠CAF+∠BAO=90°，

∴∠ACF=∠BAO，

在△ACF和△ABO中，

，

∴△ACF≌△BAO（AAS），

∴CF=OA=1，

∴A（0，1）；

（2）如图2，过点C作CG⊥AC交y轴于点G，

∵CG⊥AC，

∴∠ACG=90°，∠CAG+∠AGC=90°，

∵∠AOD=90°，

∴∠ADO+∠DAO=90°，

∴∠AGC=∠ADO，

在△ACG和△ABD中，，

∴△ACG≌△BAD（AAS），

∴CG=AD=CD，∠ADB=∠AGC，

∵∠ACB=45°，∠ACG=90°，

∴∠DCE=∠GCE=45°，

在△DCE和△GCE中，，

∴△DCE≌△GCE（SAS），

∴∠CDE=∠AGC，

∴∠ADB=∠CDE；

（3）BP的长度不变，理由如下：

如图，过点C作CH⊥y轴于点H．

∵∠ABC=90°，

∴∠CBH+∠ABO=90°．

∵∠BAO+∠ABO=90°，

∴∠CBH=∠BAO．

∵∠CHB=∠AOB=90°，AB=AC，

∴△CBH≌△BAO（AAS），

∴CH=BO，BH=AO=4．

∵BD=BO，

∴CH=BD．

∵∠CHP=∠DBP=90°，∠CPE=∠DPB，

∴△CPH≌△DPB（AAS），

∴BP=HP=2．

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形．

6、作图见解析，点，点，点

【分析】

分别作出A，B，C的对应点，，即可．

【详解】

解： 如图所示．

点，点，点．

【点睛】

本题考查了作图-轴对称变换，直角坐标系中表示点的坐标，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．

7、（1）点A的坐标；（2）P的坐标为：或或．

【分析】

（1）根据已知条件得到，得到，证明得到，再根据已知点的坐标计算即可；

（2）根据题意：考虑作的对称图形，然后根据全等三角形的性质求解即可得．

【详解】

解：（1）过点A作轴，

∵，

∴，

∵在中：，

∴，

∵轴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

又∵点B坐标为，点C坐标为，

∴，，

∴，

∴点A的坐标；

（2）①作关于x轴的对称图形得到，

∴，

∵点B坐标为，点C坐标为，

∴，，

∴，

∴点A的坐标；

∴；

②∵点O，C关于直线对称，

∴作关于直线的对称图形得到，

过点作轴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，

结合点所在的位置可得：；

③作关于x轴的对称图形得到，

∴，即，

∴与横坐标相同，纵坐标互为相反数，

可得：；

综上所述：P的坐标为：或或．

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形的应用，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，根据题意作出相应图形进行分类讨论是解题关键．

8、（1）见解析；（2）见解析；（3）

【分析】

（1）找到绕点O逆时针旋转90°的对应点，顺次连接，则即为所求；

（2）找到关于点O的中心对称的对应点，顺次连接，则即为所求；

（3）根据A(－4，3)，B(－2，4)，C(－1，1)经过旋转变换得到的，即横纵坐标的绝对值交换，且在第三象限，都取负号，即可求得，根据中心对称，横纵坐标都取相反数即可求得

【详解】

（1）如图所示，找到绕点O逆时针旋转90°的对应点，顺次连接，则即为所求；

（2）如图所示，找到关于点O的中心对称的对应点，顺次连接，则即为所求；

（3）

【点睛】

本题考查了求关于原点中心对称的点的坐标，绕原点旋转90度的点的坐标，画旋转图形，画中心对称图形，图形与坐标，掌握中心对称与旋转的性质是解题的关键．

9、（1）作图见解析，（-1，﹣1）；（2）作图见解析，（-1， 1），（-2， 3），（-4， 2）；

【分析】

（1）根据A（1，1），B（3，2），C（2，4）．即可画出△ABC关于原点O对称的的△A1B1C1，进而可以写出点A1的坐标；

（2）根据旋转的性质即可画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；进而可以写出点的坐标即可．

【详解】

解：（1）如图，△A1B1C1即为所求，

所以点A1的坐标为：（-1，﹣1）；

（2）△A2B2C2即为所求；

点的坐标分别为：（-1， 1），（-2， 3），（-4， 2）；

【点睛】

本题考查了作图﹣旋转变换和中心对称变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质．

10、（1）作图见解析，（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；（2）5；（3）见解析

【分析】

（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用△ABC所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案；

（3）先确定A关于轴的对称点，再连接交轴于则此时满足要求．

【详解】

解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，

A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；

故答案为：（0，﹣2），（﹣2，﹣4），（﹣4，﹣1）；

（2）△ABC的面积为：12﹣×1×4﹣×2×2﹣×2×3＝5；

故答案为：5；

（3）如图所示：点P即为所求．

【点睛】

本题考查的是轴对称的作图，坐标与图形，掌握“利用轴对称确定线段和取最小值时点的位置”是解本题的关键.