数学第十五章 平面直角坐标系综合与测试达标测试

七年级数学第二学期第十五章平面直角坐标系专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在平面直角坐标系中，点的坐标为，将点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．

2、如图，在平面直角坐标系中，已知“蝴蝶”上有两点，，将该“蝴蝶”经过平移后点的对应点为，则点的对应点的坐标为（    ）

A． B． C． D．

3、如图，是由ABO平移得到的，点A的坐标为(-1，2)，它的对应点的坐标为(3，4)，ABO内任意点P(a，b)平移后的对应点的坐标为（    ）

A．(a，b) B．(-a，-b) C．(a+2，b+4) D．(a+4，b+2)

4、在平面直角坐标系中，点的坐标是，点与点关于轴对称，则点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

5、在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）在（　 　）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

6、在平面直角坐标系中，下列各点与点（2，3）关于x轴对称的是（    ）

A．（2，﹣3） B．（3，2） C．（﹣2，﹣3） D．（﹣2，3）

7、将点P（2，﹣1）以原点为旋转中心，顺时针旋转90°得到点P'，则点P'的坐标是（　　）

A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）

8、若点在第一象限，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．无解

9、在平面直角坐标系中，点A的坐标为．作点A关于x轴的对称点，得到点，再将点向左平移2个单位长度，得到点，则点所在的象限是（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

10、平面直角坐标系内一点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是（　　）

A．（2，﹣3） B．（3，﹣2） C．（﹣2，﹣3） D．（2，3）

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、已知点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称，则x＋y＝_____．

2、点关于x轴对称的点的坐标为________．

3、点A关于轴的对称点坐标是，则点关于轴的对称点坐标是_____.

4、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a，3)，点B的坐标是(4，b)，若点A与点B关于原点O对称，则a－b＝________．

5、点关于原点对称的点的坐标为________

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．

（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．

（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2，并写出点A2的坐标．

2、已知点P（3a﹣15，2﹣a）．

（1）若点P到x轴的距离是1，试求出a的值；

（2）在（1）题的条件下，点Q如果是点P向上平移3个单位长度得到的，试求出点Q的坐标；

（3）若点P位于第三象限且横、纵坐标都是整数，试求点P的坐标．

3、如图1所示，已知点，有以点为顶点的直角的两边分别与轴、轴相交于点．

（1）试说明；

（2）若点坐标为，点坐标为，请直接写出与之间的数量关系；

（3）如图2所示，过点作线段，交轴正半轴于点，交轴负半轴于点，使得点为中点，且，绕着顶点旋转直角，使得一边交轴正半轴于点，另一边交轴正半轴于点，此时，和是否还相等，请说明理由；

（4）在（3）条件下，请直接写出的值．

4、如图，在直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，2）．

（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1．

（2）求△A1B1C1的面积．

5、如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，3）,B（﹣3，5），C（﹣4，1）．

（1）把△ABC向右平移3个单位得△A1B1C1，请画出△A1B1C1并写出点A1的坐标；

（2）把△ABC绕原点O旋转180°得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．

6、如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，4）、B（3，1）、C（3，5），△ABC关于y轴的对称图形为△A1B1C1

（1）请画出△ABC关于y轴对称图形△A1B1C1，并写出三个顶点的坐标A1（   ）， B1（   ），C1（   ）

（2）在y轴上取点D，使得△ABD为等腰三角形，这样的点D共有　 　     个

7、在平面直角坐标系xOy中，对于任意图形G及直线l1，l2，给出如下定义：将图形G先沿直线l1翻折得到图形G1，再将图形G1沿直线l2翻折得到图形G2，则称图形G2是图形G的<l1，l2>伴随图形．

例如：点P（2，1）的<x轴，y轴>伴随图形是点P'（-2，-1）.

（1）点Q（-3，-2）的<x轴，y轴>伴随图形点Q'的坐标为       ；

（2）已知A（t，1），B（t-3，1），C（t，3），直线m经过点（1，1）.

①当t=-1，且直线m与y轴平行时,点A的<x轴，m>伴随图形点A'的坐标为       ；

②当直线m经过原点时，若△ABC的<x轴，m>伴随图形上只存在两个与x轴的距离为1的点，直接写出t的取值范围．

8、如图

（1）敌方战舰C和我方战舰2号在我方潜艇什么方向？

（2）如何确定敌方战舰B的位置？

9、如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是，点，，．

（1）作关于轴对称的；

（2）通过作图在轴上找出点，使最小，并直接写出点的坐标．

10、在平面直角坐标系中，的顶点坐标是、、．

（1）画出绕点B逆时针旋转的；

（2）画出关于点O的中心对称图形；

（3）可由绕点M旋转得，请写出点M的坐标：________．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

利用平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减求解即可．

【详解】

解：∵点A的坐标为（2，1），将点A向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到点A′，

∴点A′的横坐标是2-3=-1，纵坐标为1+1=2，即（-1，2）．

故选：A．

【点睛】

本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减、右加；上下移动改变点的纵坐标，下减、上加．

2、D

【分析】

先根据与点对应，求出平移规律，再利用平移特征求出点B′坐标即可

【详解】

解：∵与点对应，

∴平移1-3=-2,3-7=-4，

先向下平移4个单位，再向左平移2个单位，

∵点B（7，7），

∴点B′（7-2，7-4）即．

如图所示

故选：D．

【点睛】

本题考查图形与坐标，点的平移特征，掌握点的平移特征是解题关键．

3、D

【分析】

根据点A的坐标和点的坐标确定平移规律，即可求出点P(a，b)平移后的对应点的坐标．

【详解】

解：∵△A′B′O′是由△ABO平移得到的，点A的坐标为(-1，2)，它的对应点A′的坐标为(3，4)，

∴△ABO平移的规律是：先向右移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，

∴△ABO内任意点P(a，b)平移后的对应点P′的坐标为(a+4，b+2)．

故选：D．

【点睛】

此题考查了平面直角坐标系中点的平移规律，解题的关键是熟练掌握平面直角坐标系中点的平移规律．点向左平移，点的横坐标减小，纵坐标不变；向右平移，点的横坐标增大，纵坐标不变；点向上平移，点的横坐标不变，纵坐标增大；向下平移，点的横坐标不变，纵坐标减小．

4、C

【分析】

根据关于轴对称的点坐标的特征：纵坐标不变，横坐标互为相反数，即可求解．

【详解】

解：点的坐标是，点与点关于轴对称，

的坐标为，

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了关于轴对称的点坐标的特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的特征，是解决该类问题的关键．

5、C

【分析】

根据第三象限内点的坐标横纵坐标都为负的直接可以判断

【详解】

解：在平面直角坐标系中，点P（﹣2，﹣3）在第三象限

故选C

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中各象限内的点的坐标特征，理解各象限内点的坐标特征是解题的关键．平面直角坐标系中各象限点的坐标特点：①第一象限的点：横坐标>0，纵坐标>0；②第二象限的点：横坐标<0，纵坐标>0；③第三象限的点：横坐标<0，纵坐标<0；④第四象限的点：横坐标>0，纵坐标<0．

6、A

【分析】

关于轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，据此直接作答即可.

【详解】

解：点（2，3）关于x轴对称的是

故选A

【点睛】

本题考查的是关于轴对称的两个点的坐标特点，掌握“关于轴对称的两个点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数”是解本题的关键.

7、D

【分析】

如图，作PE⊥x轴于E，P′F⊥x轴于F．利用全等三角形的性质解决问题即可．

【详解】

解：如图，作PE⊥x轴于E，P′F⊥x轴于F．

∵∠PEO＝∠OFP′＝∠POP′＝90°，

∴∠POE+∠P′OF＝90°，∠P′OF+∠P′＝90°，

∴∠POE＝∠P′，

∵OP＝OP′，

∴△POE≌△OP′F（AAS），

∴OF＝PE＝1，P′F＝OE＝2，

∴P′（﹣1，-2）．

故选：D．

【点睛】

本题考查旋转变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

8、B

【分析】

由第一象限内的点的横纵坐标都为正数，可列不等式组，再解不等式组即可得到答案.

【详解】

解： 点在第一象限，

由①得：

由②得：

故选B

【点睛】

本题考查的是根据点所在的象限求解字母的取值范围，掌握坐标系内点的坐标特点是解本题的关键.

9、C

【分析】

根据题意结合轴对称的性质可求出点的坐标．再根据平移的性质可求出点的坐标，即可知其所在象限．

【详解】

∵点A的坐标为(1，3)，点是点A关于x轴的对称点，

∴点的坐标为(1，-3)．

∵点是将点向左平移2个单位长度得到的点，

∴点的坐标为(-1，-3)，

∴点所在的象限是第三象限．

故选C．

【点睛】

本题考查轴对称的性质，平移中点的坐标的变化以及判断点所在的象限．根据题意求出点的坐标是解答本题的关键．

10、B

【分析】

根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P（﹣x，﹣y），进而得出答案．

【详解】

解答：解：点P（﹣3，2）关于原点对称的点的坐标是：（3，﹣2）．

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．

二、填空题

1、﹣5

【分析】

利用关于x轴对称的点的坐标特点可得x、y的值，进而可得答案．

【详解】

解：∵点M（x，3）与点N（﹣2，y）关于x轴对称，

∴x＝﹣2，y＝﹣3，

∴x＋y＝﹣5，

故答案为：﹣5．

【点睛】

本题考查了坐标与图象变化的轴对称问题，如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数．相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变．

2、 (-2,-5)

【分析】

关于轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而可求解．

【详解】

解：由点关于轴对称点的坐标为：，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标关于坐标轴对称问题，熟练掌握点的坐标关于坐标轴对称的方法是解题的关键．

3、（2，1）

【分析】

根据关于坐标轴对称的点的特征，先求得的坐标，进而求得的坐标

【详解】

解：∵点A关于轴的对称点坐标是，

∴点坐标是

点关于轴的对称点坐标是

故答案为：

【点睛】

本题考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键．①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数

4、-1

【分析】

直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．

【详解】

解：∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，

∴a＝﹣4，b＝-3，

则a－b＝-4+3=-1．

故答案为：﹣1．

【点睛】

此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．

5、

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【详解】

解：由M（4，−3）关于原点对称的点N的坐标是（−4，3），

故答案为：（−4，3）．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数是解题关键．

三、解答题

1、（1）画图见解析，；（2）画图见解析，（-2，2）

【分析】

（1）根据关于y轴的点的坐标特征分别作出△ABC的各个顶点关于x轴的对称点，然后连线作图即可；

（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A2、B、C2的坐标，然后描点即可得到△A2BC2，然后写出点A2的坐标．

【详解】

解：（1）如图，即为所求；

∵是A（2，4）关于x轴对称的点，

∴根据关于x轴对称的点的坐标特征可知：；

（2）如图，即为所求，

∴的坐标为（-2，2）．

【点睛】

本题考查轴对称及旋转作图，掌握点的坐标变化规律找准图形对应点正确作图是解题关键．

2、（1）或；（2）或；（3）或．

【分析】

（1）根据“点到轴的距离是1”可得，由此即可求出的值；

（2）先根据（1）的结论求出点的坐标，再根据点坐标的平移变换规律即可得；

（3）先根据“点位于第三象限”可求出的取值范围，再根据“点的横、纵坐标都是整数”可求出的值，由此即可得出答案．

【详解】

解：（1）点到轴的距离是1，且，

，即或，

解得或；

（2）当时，点的坐标为，

则点的坐标为，即，

当时，点的坐标为，

则点的坐标为，即，

综上，点的坐标为或；

（3）点位于第三象限，

，解得，

点的横、纵坐标都是整数，

或，

当时，，则点的坐标为，

当时，，则点的坐标为，

综上，点的坐标为或．

【点睛】

本题考查了点到坐标轴的距离、象限内点的坐标特点、点的坐标平移规律和一元一次不等式组的解法等知识，属于基础题，熟练掌握平面直角坐标系的基本知识是解题关键．

3、（1）见解析；（2）；（3）相等，见解析；（4）9

【分析】

（1）过点作轴于点，轴于点，证明即可得到结论；

（2），由可得结论；

（3）连接OP，根据题意可得，，从而得，再证明S可得，进一步可得结论；

（4）过点P作PQ⊥y轴，得PQ=OQ=3，根据题意可得，故BQ=3，从而可求出，由（3）得，从而可得

【详解】

解：（1）过点作轴于点，轴于点，

∵点坐标为

∴

又∵

∴

∵

∴

∴

（2）由（1）知

∴

∵点坐标为，点坐标为，且

∴

∴

∴

（3）相等，

理由：连接，如图，

∵，且，为中点

∴，

∴

∵

∴

又∵

∴

在和中

∴

∴

（4）由（3）知

∴

过点P作PQ⊥y轴于点Q，

∵P（3，-3）

∴PQ=OQ=3

∵

∴

∴

∴

∴

∴=9

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，找出判定三角形全等的条件是解答本题的关键

4、（1）图形见解析；（2）5

【分析】

（1）根据关于原点对称的点的坐标特征，依次求出的坐标即可；

（2）利用割补法求△A1B1C1面积．

【详解】

（1）∵

∴△ABC关于原点O对称的△A1B1C1位置如图：

（2）

【点睛】

此题考查了中心对称的知识，解答本题的关键是根据关于原点对称的点的坐标特征得到各点的对应点．

5、（1）图见解析；A1（3，3）；（2）见解析

【分析】

（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；

（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．

【详解】

解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求，点A1的坐标为：（3，3）；

（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求．

【点睛】

此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．

6、（1）见解析；-1，4 ；-3，1；-3，5；（2）5

【分析】

（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；

（2）分AB为腰和AB为底分别求解可得．

【详解】

解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

A1（-1，4） ；B1（-3，1）；C1（-3，5）；

故答案为：-1，4 ；-3，1；-3，5；

（2）以点A为顶点、AB为腰的等腰三角形ABD，且点D在y轴上的有2个；

以点B为顶点，BA为腰的等腰△ABD，且点D在y轴上的有2个；

以AB为底边的等腰三角形，且点D在y轴上的点只有1个；

所以这样的点D共有5个，

故答案为：5．

【点睛】

本题主要考查作图-轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对应点．

7、

（1）（3，2）

（2）①（3，-1）；②-1＜t＜1或2＜t＜4

【分析】

（1）点先关于轴对称的点坐标为，再关于轴对称的点坐标为，故可得点的伴随图形点坐标；

（2）①时，点坐标为，直线为，此时点先关于轴对称的点坐标为，再关于轴对称的点坐标为，进而得到点的伴随图形点坐标；②由题意知直线为直线，、、三点的轴，的伴随图形点坐标依次表示为：，，，由题意可得，或解出的取值范围即可．

（1）

解：由题意知沿轴翻折得点坐标为；

沿轴翻折得点坐标为

故答案为：．

（2）

①解:．，点坐标为，直线为，

沿轴翻折得点坐标为

沿直线翻折得点坐标为即为

故答案为：

②解：∵直线经过原点

∴直线为

∴、、的伴随图形点坐标先沿轴翻折，点坐标依次为，，；

然后沿直线翻折，点坐标依次表示为：，，

由题意可知：或

解得：或

【点睛】

本题考查了直角坐标系中的点对称，几何图形翻折．解题的关键在于正确的将翻折后的点坐标表示出来．

8、（1）敌方战舰C和我方战舰2号在我方潜艇的正东方；（2）要确定敌方战舰B的位置，需要敌方战舰B与我方潜艇的方向和距离两个数据．

【分析】

（1）根据图中的位置与方向即可确定．

（2）要确定每艘战舰的位置，需要知道每艘战舰分别在什么方向和与我方潜艇的距离是多少．

【详解】

（1）由图像可知，敌方战舰C和我方战舰2号在我方潜艇正东方．

（2）仅知道在我方潜艇北偏东40°方向有小岛，而要确定敌方战舰B的位置，还需要敌方战舰B与我方潜艇的方向和距离两个数据．

【点睛】

本题考查了方向角的表示，方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角．

9、（1）见解析；（2）见解析，点P的坐标为(−3，0)      

【分析】

（1）先分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，然后再顺次连接可得；

（2）作点A关于x轴的对称点A″，再连接A″C交x轴于点P，再确定点P的坐标即可．

【详解】

解：(1)如图所示：即为所求．

（2）作点A关于x轴的对称点A′′，连结A′′C，交x轴于点P，点P即为所求，点P的坐标为(−3，0)   

【点睛】

本题主要考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称变换的定义和性质及最短路径问题是解答本题的关键．

10、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）

【分析】

（1）分别确定绕逆时针旋转后的对应点再顺次连接从而可得答案；

（2）分别确定关于原点对称的对称点再顺次连接从而可得答案；

（3）如图，由；是旋转对应点，则到旋转中心的距离相等，到旋转中心的距离相等，可得线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，再根据在坐标系内的位置写出其坐标即可.

【详解】

解：（1）如图，是所求作的三角形，

（2）如图，是所求作的三角形；

（3）如图，；是旋转对应点，

到旋转中心的距离相等，到旋转中心的距离相等，

则线段的垂直平分线的交点即为旋转中心，其坐标为：

【点睛】

本题考查的是旋转作图，中心对称的作图，确定旋转中心，掌握旋转的性质是解本题的关键.