浙教版九年级下册第一章 解直角三角形1.3 解直角三角形单元测试同步达标检测题

2022年初中数学浙教版九年级下册

第一章解直角三角形  单元测试卷（二）（含答案）

一、单选题(共10题；共30分)

1．（3分）在正方形网格中， ABC的位置如图所示，点A、B、C均在格点上，则cosB的值为（　　） 

A． B． C． D．

2．（3分）如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，tan∠DAC＝ ，DH⊥AB于H，则点D到AB边距离等于（　　） 

A．4 B．5 C． D．

3．（3分）如图，在Rt中，.以点为圆心，CB长为半径的圆交AB于点，则AD的长是（　　）

A．1 B． C． D．2

4．（3分）如图，小慧的眼睛离地面的距离为，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离为，则旗杆的高度（单位：m）为（　　）

A．6.6 B．11.6 C． D．

5．（3分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA，则cosB等于（　　）

A． B． C． D．

6．（3分）计算的值等于（　　）

A． B．1 C．3 D．

7．（3分）下表是小红填写的实践活动报告的部分内容： 

设铁塔顶端到地面的高度 为xm，根据以上条件，可以列出的方程为(　　)

A． B．

C． D．

8．（3分）点关于y轴对称的点的坐标是（　　）

A． B． C． D．

9．（3分）如图，PA、PB分别切⊙O于A，B，∠APB＝60°，⊙O半径为2，则PB的长为（　　）

A．3 B．4 C． D．

10．（3分）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30海里 B．60海里

C．120海里 D．（30＋30）海里

二、填空题(共6题；共24分)

11．（4分）如图，已知Rt ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB ，则AC＝　     　. 

12．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AE＝AD，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F点，若F为CD中点，则BC的长为 　     　．

13．（4分）如图，AB为半圆O的直径，点C为半圆上的一点，CD⊥AB于点D，若AB=10，CD=4，则sin∠BCD的值为　     　．

14．（4分）如图，将矩形 沿 折叠，点B恰好落在 的F处，若 ，则 值为=　     　． 

15．（4分）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将 绕着点A逆时针旋转得到 ，则tan ′的值为　     　． 

16．（4分）如图，在 和 中， ， ， ， ．则下列四个结论：① ；② ；③ ；④在 绕点 旋转过程中， 面积的最大值为 其中正确的是 　     　．（填写所有正确结论的序号）

三、解答题(共8题；共66分)

17．（6分）计算：

（1）（3分） ；  

（2）（3分）

18．（6分）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得 ， ，求出点D到AB的距离．（参考数据 ， ， ） 

19．（6分）如图，四边形 是平行四边形，联结 ， ． 

（1）（3分）求 的度数．  

（2）（3分）求 的值．  

20．（8分）如图，将一个直角三角形形状的楔子（ ）从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动.如果楔子底面的斜角为 ，其高度 为 厘米，楔子沿水平方向前进一段距离（如箭头所示），留在外面的楔子长度 为 厘米. 

（1）（4分）求 的长；  

（2）（4分）木桩上升了多少厘米？（ ， ， ，结果精确到 厘米）  

21．（8分）某课桌生产厂家研究发现，倾斜12°至24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势.根据这一研究，厂家决定将水平桌面做成可调节角度得桌面.新桌面的设计图如图1， 可绕点 旋转，在点 处安装一根长度一定且 处固定，可旋转的支撑臂 ， . 

（参考数据： ， ， ， ）

（1）（4分）如图2，当 时， ，求支撑臂 的长；  

（2）（4分）如图3，当 时，求 的长.（结果保留根号）  

22．（10分）图1是某浴室花洒实景图，图2是该花洒的侧面示意图.已知活动调节点B可以上下调整高度，离地面CD的距离BC＝160cm.设花洒臂与墙面的夹角为α，可以扭动花洒臂调整角度，且花洒臂长AB＝30cm.假设水柱AE垂直AB直线喷射，小华在离墙面距离CD＝120cm处淋浴.

（1）（5分）当α＝30°时，水柱正好落在小华的头顶上，求小华的身高DE.

（2）（5分）如果小华要洗脚，需要调整水柱AE，使点E与点D重合，调整的方式有两种：

①其他条件不变，只要把活动调节点B向下移动即可，移动的距离BF与小华的身高DE有什么数量关系？直接写出你的结论；

②活动调节点B不动，只要调整α的大小，在图3中，试求α的度数.

（参考数据： ≈1.73，sin8.6°≈0.15，sin36.9°≈0.60，tan36.9°≈0.75）

23．（10分）如图，四边形 中， ，且满足 ，连结 . 

（1）（3分）如图1，当 时，求证： .  

（2）（3分）如图2，若 ，求 的值.  

（3）（4分）如图3，延长 ， 交于点D，连结 ，过点D作 ，若 ， .试探究：在射线 上，是否存在点E，使得 的某一个内角等于 的2倍？若存在，连结 ，求 的值；若不存在，请说明理由.  

24．（12分）测量金字塔高度

如图1，金字塔是正四棱锥S-ABCD，点O是正方形ABCD的中心，SO垂直于地面，是正四棱锥S-ABCD的高.泰勒斯借助太阳光，测量金字塔影子△PBC的相关数据，利用平行投影测算出了金字塔的高度，受此启发，人们对甲、乙、丙三个金字塔高度也进行了测量，甲、乙、丙三个金字塔都用图1的正四棱锥S-ABCD表示.

（1）（2分）测量甲金字塔高度：如图2，是甲金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔甲的影子是△PBC，PC=PB=50m，此刻，1米的标杆影长为0.7米，则甲金字塔的高度为　     　m.

（2）（5分）测量乙金字塔高度：如图1，乙金字塔底座正方形ABCD的边长为80m，金字塔乙的影子是△PBC，∠PCB=75°，PC= m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算乙金字塔的高度.  

（3）（5分）测量丙金字塔高度：如图3，是丙金字塔的俯视图，测得底座正方形ABCD的边长为56m，金字塔丙的影子是△PBC，PC=60m，PB=52m，此刻，1米的标杆影长为0.8米，请利用已测出的数据，计算丙金字塔的高度.（精确到0.1）（ ） 

答案

1．B

2．C

3．B

4．D

5．A

6．C

7．A

8．C

9．C

10．D

11．5

12．4

13．

14．

15．

16．①②④

17．（1）解：

（2）解：

18．解：如图，过点D作 于E，过D作 于F，则四边形EBFD是矩形，  

设 ，

在Rt△ADE中， ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

又 ，

∴ ，

在Rt△CDF中， ， ，

∴ ，

又 ，

即： ，

解得： ，

故：点D到AB的距离是214m

19．（1）解：过点A作 ，  

中

；

（2）解：过点 作 ，如图，  

四边形 是平行四边形，

中，

．

20．（1）解：在 中， ， ，  

则 ，

，

（2）解：在 中， ， ，  

则 ，

答：木桩上升了大约 厘米.

21．（1）解：∵∠BAC=24°， ，  

∴

∴ ，

∴支撑臂 的长为12cm

（2）解：如图，过点C作CE⊥AB，于点E， 

当∠BAC=12°时，

∴

∴

∵CD=12，

∴由勾股定理得：   ，

∴AD的长为(12 +6 )cm或(12 −6 )cm

22．（1）解：过点A作AG⊥CB的延长线于点G，交DE的延长线于点H， 

∵∠C＝∠D＝90°，∴四边形GCDH为矩形，

∴GH＝CD＝120，DH＝CG，∠H＝90°，

在Rt△ABG中，∠ABG＝α＝30°，AB＝30，

∴AG＝15，BG=15

∴AH＝120﹣15＝105，

∵AE⊥AB，∴∠EAH＝30°，

又∠H＝90°，∴EH＝AHtan30°＝35

∴ED＝HD﹣HE＝160+15 ﹣35 ≈125.4（cm）

（2）解：①BF＝DE； 

②如图，

在Rt△BCD中，BD＝ ＝200，

∴sin∠1＝ ＝0.6，

∴∠1≈36.9°，

在Rt△BAD中，AB＝30．

∴sin∠2＝ ＝0.15，

∴∠2≈8.6°，

∴∠3≈90°﹣8.6°＝81.4°，

∴α＝180°﹣∠1﹣∠3≈180°﹣36.9°﹣81.4°＝61.7°．

23．（1）解：如图，过点A作 和 的垂线，垂足分别为点M、N，  

当 时，

∵

∴OA平分∠COB

又∵AM⊥OB，AN⊥OC

∴ ，

∵ ， ，

∴ ，

又∵∠AMB=∠ANC=90°

∴ ，

∴ ；

（2）解：如图，过点A作 和 的垂线，垂足分别为点M、N，  

∵ ， ，

∴ ，

又∵∠AMB=∠ANC=90°

∴ ，

∴ ，

故 的值为 ；

（3）解：如图，过点E作 于H，作 的垂直平分线交 于点G，则 ，  

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

①当 时，

∴ ，

∴ ，

∵DF⊥AC，

∴∠CDF=90°

∴∠CDO+∠FDH=90°

又∵EH⊥OB

∴∠DEH+∠FDH=90°

∴∠CDO=∠DEH

又∵∠COD=∠EHD=90°

，

∴ ，

∴ ，

∴

②当 时，同理可得 ，

∴

综上所述：∴ 或 .

24．（1）100

（2）解：如图4，作CH⊥OP于H， 

∵四边形ABCD是正方形，

AC= m，

∴OC= AC= m，

∵PC= m，

∴OC=PC.

∵∠PCB=75°，

∴∠OCP=45°+75°=120°.

∴∠COP=∠CPO=30°，

∴OH=cos30°×OC= m，

∴OP= m，

由题意，得

，

∴SO= m，

∴乙金字塔的高度是 m；

（3）解：作PM⊥BC于M，作ON⊥PM交|PM的延长线于N，连接ON，作OT⊥BC于T，则四边形ONMT是矩形， 

∵四边形ABCD是正方形，

∴OB⊥OC，

∴OT= BC= ×56=28m，

∴MN=28m，

设CM=xm，则BM=(56-x)m，由勾股定理，得

PC2-CM2=PB2-BM2，

∴602-x2=522-(56-x)2，

解得x=36，

∴PM= m，

∴NP=28+48=76m，ON=MT=36-28=8m，

∴OP= ，

由题意得

，

∴SO≈95.5m，

∴ 丙金字塔的高度是95.5m.