高中物理教科版必修17 对自由落体运动的研究学案设计

对自由落体运动的研究

一、自由落体运动

如图所示，在有空气的玻璃管中，金属片比羽毛下落得快，在抽掉空气的玻璃管中，金属片和羽毛下落快慢相同吗？

提示：相同。

1．性质：初速度为零的匀加速直线运动。

2．特点：

(1)运动特点：初速度等于零的匀加速直线运动。

(2)受力特点：只受重力作用。

(3)物体下落可看作自由落体运动的条件：在实际中物体下落时由于受空气阻力的作用，物体并不是做自由落体运动，只有当空气阻力比重力小得多，可以忽略时，物体的下落才可当作自由落体运动来处理。

二、伽利略对落体运动规律的研究

(1)亚里士多德的观点：物体下落的快慢是由它们的重量决定的。

(2)关于伽利略的研究，符合科学实际的有②④

①亚里士多德的观点是：重物、轻物下落得一样快。

②伽利略通过实验证明了，只要斜面的倾角一定，小球自由滚下的加速度是相同的。

③伽利略科学思想方法的核心是做实验。

④伽利略认为当斜面倾角为90度时，小球将自由下落，仍会做匀变速直线运动。

三、自由落体的加速度

1．方向：竖直向下。

2．大小：

(1)在地球上的同一地点：一切物体自由下落的加速度都相同。

(2)在地球上不同的地点，g的大小一般是B(A.相同　B．不同)的，g值随纬度的增大而逐渐增大。

(3)通常计算中，g取9.8__m/s2，粗略计算时g可取10__m/s2。

知识点一　自由落体运动和自由落体加速度

角度1自由落体运动的产生条件、模型

1．物体做自由落体运动的两个条件：

(1)运动条件：初速度为零。

(2)受力条件：只受重力。

2．自由落体运动是一种理想化模型：

(1)这种模型忽略了次要因素——空气阻力，突出了主要因素——重力。实际中，物体下落时由于受空气阻力的作用，并不做自由落体运动。

(2)当空气阻力远小于重力时，物体由静止开始的下落可看作自由落体运动。如在空气中自由下落的石块可看作自由落体运动，空气中羽毛的下落不能看作自由落体运动。

情境：如图甲所示，在空气中，将一张纸片和一小球从同一高度同时释放。乙图是牛顿管。

讨论：(1)小球和纸片哪个下落得快？若把这张纸片团紧成一团，再与石块从同一高度释放，情况会怎样？

提示：小球下落得快；纸团和石块几乎同时着地。

(2)牛顿管实验：玻璃管中有羽毛、小软木片、小铁片……把玻璃管抽成真空，将物体聚于一端，再将玻璃管倒立，让所有物体同时下落。将会看到什么现象？说明什么问题？

提示：下落快慢相同。在没有空气阻力影响的情况下，所有物体下落快慢是相同的，与质量无关。

【典例1】下列关于自由落体运动的说法正确的是(　　)

A．自由落体运动是一种初速度为零的匀加速直线运动

B．从竖直上升的热气球吊篮中掉下的物体的运动是自由落体运动

C．在空气中下落的雪花的运动是自由落体运动

D．伽利略认为在同一地点，重的物体和轻的物体下落快慢不同

【解析】选A。自由落体运动是初速度为零，加速度为g的匀加速直线运动，故A正确； 从竖直上升的热气球吊篮上掉下的物体的运动具有向上的初速度，所以不是自由落体运动，是竖直上抛运动，故B错误；在空气中下落的雪花的运动受到的空气阻力不能忽略不计，不是自由落体运动，故C错误； 亚里士多德认为在同一地点重的物体和轻的物体下落快慢不同，故D错误。

角度2自由落体加速度的产生、大小和方向

1．产生原因：地球上的物体受到地球的吸引力而产生的。

2．大小：与在地球上的纬度以及距地面的高度有关：

3.方向：竖直向下。由于地球是一个球体，各处的重力加速度的方向是不同的。

【典例2】下列关于重力加速度的说法不正确的是(　　)

A．重力加速度g是标量，只有大小没有方向，通常计算中g取9.8 m/s2

B．在地面上不同的地方，g的大小不同，但它们相差不是很大

C．在地球上同一地点，一切物体在自由落体运动中落至同一高度时的加速度都相同

D．在地球上同一地点，离地面高度越大，重力加速度g越小

【解析】选A。重力加速度是矢量，方向竖直向下，A错；在地球的表面，不同的地方重力加速度g的大小略有不同，但都在9.8 m/s2左右，B对；在地球表面同一地点，g的值都相同，但随着高度的增大，g的值逐渐减小C、D对。

1．关于自由落体运动，下列说法正确的是(　　)

A．自由落体运动是一种匀速直线运动

B．物体刚下落时，速度和加速度都为零

C．古希腊哲学家亚里士多德认为物体下落快慢与质量无关

D．伽利略认为，如果没有空气阻力，重物与轻物应该下落得同样快

【解析】选D。自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，故A错误。 物体刚下落时，速度为零，加速度不为零，故B错误。 古希腊哲学家亚里士多德认为物体下落快慢与质量有关，重的物体下落快，故C错误。 伽利略认为，如果没有空气阻力，重物与轻物应该下落得同样快，故D正确。

2．(多选)一个铁钉和一团棉花同时从同一高处下落，总是铁钉先落地，这是因为(　　)

A．铁钉比棉花团重

B．棉花团受到的空气阻力不能忽略

C．棉花团的加速度比重力加速度小

D．铁钉的重力加速度比棉花团的重力加速度大

【解析】选B、C。铁钉受到的空气阻力与其重力相比较小，可以忽略，而棉花受到的空气阻力与其重力相比较大，不能忽略，所以铁钉的下落加速度较大，而它们的重力加速度是相同的，故只有B、C正确。

【加固训练】

下列叙述不符合史实的是(　　)

A．伽利略用实验直接证实了自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动

B．伽利略发现亚里士多德的观点有自相矛盾的地方

C．伽利略认为，如果没有空气阻力，重物与轻物应该下落得同样快

D．古希腊哲学家亚里士多德认为物体越重，下落得越快

【解析】选A。古希腊哲学家亚里士多德认为物体越重，下落得越快，D正确；伽利略应用“归谬法”发现了亚里士多德的观点有自相矛盾的地方，B正确；采用了斜面实验，利用斜面“冲淡”重力的作用，得出物体在斜面上做匀加速直线运动，进而通过逻辑分析和数学推理，提出自由落体运动是一初速度为零的匀加速直线运动，如果没有空气阻力，重物与轻物应该下落得同样快，C正确；但他并没有直接用实验证实，A错误。故选A。

知识点二　自由落体运动的规律及其应用

1．自由落体运动的重要公式：

(1)应用思路：自由落体运动是匀变速直线运动的特例，因此匀变速直线运动规律也适用于自由落体运动。

(2)转化方法：将匀变速直线运动公式中的v0换成0，a换成g，x换成h，匀变速直线运动公式就变为自由落体运动公式。

2．自由落体运动的几个比例关系式：

(1)第1T末，第2T末，第3T末，…，第nT末速度之比v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n。

(2)前1T内，前2T内，前3T内，…，前nT内的位移之比h1∶h2∶h3∶…∶hn＝1∶4∶9∶…∶n2。

(3)第1T内，第2T内，第3T内，…，第nT内的位移之比hⅠ∶hⅡ∶hⅢ∶…∶hN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)。

(4)通过第1个H，第2个H，第3个H，…第n个H所用时间之比t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－)。

情境：匀变速直线运动是物理学的重要组成部分。

讨论：(1)匀变速直线运动的基本规律对于自由落体运动是否适用？

提示：适用。自由落体运动是初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动，匀变速直线运动的基本规律都能适用。

(2)月球表面没有空气，在月球表面附近自由下落的物体的运动规律是否与地球上的自由落体运动规律相似？

提示：相似。不同之处是月球表面的重力加速度是地球表面重力加速度的1/6。

【典例】从离地面500 m的空中①一个小球，g取10 m/s2，求小球：

(1)经过多长时间落到地面？

(2)自开始下落计时，在②内的位移为多少？

(3)下落时间为总时间的一半时的位移是多少？

【审题关键】

【解析】(1)由h＝gt2，得落地时间t＝＝ s＝10 s。(2)第1 s内的位移h1＝gt＝×10×12 m＝5 m，因为从开始运动起前9 s内的位移为h9＝gt＝×10×92 m＝405 m，所以最后1 s内的位移为h′1＝h－h9＝500 m－

405 m＝95 m。(3)下落一半时间即t′＝5 s，其位移为h5＝gt′2＝×10×25 m＝125 m。

答案：(1)10 s　(2)5 m　95 m　(3)125 m

自由落体运动的处理技巧

(1)自由落体运动是匀变速直线运动的特例，分析匀变速直线运动的各种方法对于自由落体运动仍然适用。

(2)自由落体运动的中间一段过程的分析方法。

①自由落体运动法：从物体开始下落开始研究，物体做自由落体运动，如求物体下落后第4 s内的位移，可以用自由落体前4 s的位移与前3 s的位移之差求得。

②匀加速直线运动法：如求物体下落后第4 s内的位移，可以先根据v0＝gt1求出第4 s的初速度，再利用h＝v0t2＋gt求出相应的位移。

1.如图所示，某同学为估测一教学楼的总高度，在楼顶将一直径为2 cm的钢球由静止释放，测得通过安装在地面的光电门数字计时器的时间为0.001 s，由此可知教学楼的总高度约为(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2)(　　)

A．10 m　　　B．20 m　　　C．30 m　　　D．40 m

【解析】选B。钢球的直径为2 cm，即0.02 m，曝光时间为0.001 s，所以过光电门的平均速度的大小为：＝＝ m/s＝20 m/s，由于时间极短，故瞬时速度近似为20 m/s，自由下落时t＝，楼高h＝gt2＝20 m。则B正确，A、C、D错误。

2．一个物体从塔顶上自由下落，在到达地面前最后1 s内通过的位移是整个位移的，g取10 m/s2，则塔顶高为(　　)

A．100 m　　B．125 m　　C．200 m　　D．80 m

【解析】选B。设物体运动的时间为t，塔顶高为h，则有：h＝gt2，h′＝

g(t－1)2，h－h′＝h，联立解得：t＝5 s，h＝125 m。故选项B正确。

【加固训练】

1．一物体从离地H高处自由下落，经过时间t落地，则当它下落时，离地的高度为(　　)

A．H　　B．H　　C．H　　D．H

【解析】选C。根据自由落体运动的位移规律可得：H＝gt2，它下落的位移为h＝g()2，此时，物体离地的高度H0＝H－h＝H，选项C正确。

2.距地面高5 m 的水平直轨道上A、B两点相距2 m，在B点用细线悬挂一小球，离地高度为h，如图。小车始终以4 m/s 的速度沿轨道匀速运动，经过A点时将随车携带的小球由轨道高度自由卸下，小车运动至B点时细线被轧断，最后两球同时落地。不计空气阻力，取重力加速度的大小g＝10 m/s2。可求得h等于(　　)

A.1.25 m　　B．2.25 m　　C．3.75 m　　D．4.75 m

【解析】选A。小车由A运动到B的时间 s＝0.5 s，两小球都做自由落体运动，5 m＝gt2，h＝g(t－0.5 s)2，联立解得h＝1.25 m，A正确。

知识点三　重力加速度的测量

1．打点计时器法：

(1)按如图所示安装好实验装置，接通电源让重锤做自由落体运动，与重锤相连的纸带上便会被打点计时器打出一系列点迹。

(2)对纸带上计数点间的距离h进行测量，利用hn－hn－1＝gT2求出重力加速度的大小。

2．频闪照相法：

(1)频闪照相机可以在间隔相等的时间内拍摄一次，利用频闪照相机的这一特点可追踪记录做自由落体运动的物体在各个时刻的位置。

(2)根据匀变速运动的推论Δh＝gT2可求出重力加速度g＝。也可以根据＝＝，求出物体在某两个时刻的速度，由g＝，也可求出重力加速度g。

3．滴水法：

(1)让水滴一滴滴落到正下方的盘子里，调节阀门，直到清晰听到每一滴水滴撞击盘子的声音。

(2)记录下N滴水滴下落的总时间为T，则一滴水滴下落时间t＝。

(3)用米尺量出水龙头滴水处到盘子的距离为h，利用h＝gt2计算出重力加速度的值。

【典例】甲、乙两图都是使用电磁打点计时器测量重力加速度g的装置示意图，已知该打点计时器的打点频率为50 Hz。

(1)甲、乙两图相比较，哪个图所示的装置更合理？

(2)丙图是采用较合理的装置并按正确的实验步骤进行实验打出的一条纸带，其中打出的第一个点标为1，后面依次打下的一系列点迹分别标为2、3、4、5…经测量，第15至第17点间的距离为11.70 cm，第1至第16点间距离为43.88 cm，则打下第16个点时，重物下落的速度大小为________m/s，测出的重力加速度值为g＝________ m/s2。(要求保留三位有效数字)

【解析】(1)甲图释放时更稳定，既能更有效地减小摩擦力，又能保证释放时初速度的大小为零，所以甲图更合理。

(2)自由落体运动是初速度为零的匀加速直线运动，所以v16＝＝2.93 m/s

又根据v16＝gt，h＝gt2

可得g＝9.78 m/s2。

答案：(1)甲图　(2)2.93　9.78(9.78±0.02)

利用纸带计算重力加速度的方法

(1)计算出纸带上一个点或几个点的速度，根据匀变速直线运动的公式求加速度。

(2)计算出纸带上各点的速度，画出v­t图像，由图像的斜率可求得重物下落的加速度即重力加速度。

(3)根据Δh＝gt2用逐差法求加速度。(注意要尽可能多地选用数据)

1．我们知道：物体在自由落体运动中的加速度大小为重力加速度g，其数值在不同的区域是有差异的。为了测得天门外国语学校区域的g值，李游和袁樱两位同学决定尝试做一下这个实验。他们的实验设计是利用数码相机的连拍功能。实验中，他们分工合作，李游同学负责释放金属小球，袁樱同学负责在小球自由下落时拍照。已知相机每间隔0.1 s拍1帧照片。

(1)若要从所拍得的照片中获取必要的信息，要完成该实验，在此实验中还必须使用的器材是________。(选填正确答案标号)

A．天平　　B．秒表　　C．光电门　　D．米尺

(2)实验中两同学由连续3帧照片上小球的位置x、y和z得到xy＝24.5 cm、xz＝58.8 cm，则该区域的重力加速度大小为g＝________m/s2。(保留2位有效数字)

【解析】(1)若要从拍得的照片中获取必要的信息，在此实验中还必须使用的器材是米尺，用此器材测量距离，故选D。

(2)根据匀变速直线运动的规律得Δh＝gT2，则该地的重力加速度大小为

g＝ m/s2＝9.8 m/s2

答案：(1)D　(2)9.8

2．(多选)在一次利用滴水法测重力加速度的实验中：让水龙头的水一滴一滴地滴在其正下方的盘子里，调整水龙头，让前一滴水滴到盘子而听到声音时，后一滴恰好离开水龙头。从第1次听到水击盘声时开始数“1”并开始计时，数到“n”时听到水击盘声的总时间为T，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差为h，即可算出重力加速度。则(　　)

A．每一滴水从水龙头落到盘子的时间为

B．每一滴水从水龙头落到盘子的时间为

C．重力加速度的计算式为

D．重力加速度的计算式为

【解析】选B、D。从第1次听到水击盘声开始计数为“1”，当数到“n”时，共经历了n－1个水滴下落的时间，故每一滴水从水龙头落到盘子的时间为t＝，A错误，B正确；由h＝gt2，可得：g＝，C错误，D正确。

【加固训练】

1．某实验小组用图甲所示的装置测自由落体的加速度。其操作步骤如下：

A．按照图甲的装置安装实验器材

B．将打点计时器接到学生电源的“直流输出”上

C．先释放纸带，之后闭合开关接通电源，打出一条纸带

D．重复步骤C几次，从打出的纸带中选取较理想的一条如图乙所示，测出纸带上一些连续点的距离为AB＝5.8 mm，BC＝9.7 mm，CD＝13.6 mm，DE＝

17.5 mm

E．根据测量的数据算出重力加速度(1)以上步骤中有错误，请指出其错误步骤(填代号)并改正：__________________________________________________。

(2)分析纸带可以得到B点速度为________，当地重力加速度为________(交流电频率为50 Hz，保留三位有效数字)。用这种方法测出的重力加速度总比实际值偏小，其原因是________________。

【解析】(1)打点计时器的工作电源是交流电源，故B中直流应该为交流；实验时应先接通电源后释放纸带，故C中应该为先接通电源，之后释放纸带。

(2)根据匀变速直线运动中间时刻的速度等于该过程中的平均速度可得：vB＝＝0.388 m/s

根据匀变速直线运动的推论公式Δx＝gT2

得：g＝＝9.75 m/s2

因为纸带运动过程中存在阻力，所以用这种方法测出的重力加速度总比实际值偏小。

答案：(1)B中直流应该为交流；C中应该为先接通电源，之后释放纸带。　

(2)0.388 m/s　9.75 m/s2　物体拖着纸带运动过程中存在阻力

2．在地质、地震、勘探、气象和地球物理等领域的研究中，需要精确的重力加速度g值，g值可由实验精确测定。近年来测g值的一种方法叫“对称自由下落法”，它是将测g值归于测长度和时间，以稳定的氦氖激光的波长为长度标准，用光学干涉的方法测距离，以铷原子钟或其他手段测时间，能将g值测得很准，具体做法是：将真空长直管沿竖直方向放置，自其中O点向上抛小球又落至原处的时间为T2，在小球运动过程中经过比O点高H的P点，小球离开P点至又回到P点所用的时间为T1，测得T1、T2和H，可求得g等于(　　)

A．　　　　　　  B．

C．　　　　　　　 D．

【解析】选A。设小球上升的最大高度为h，则有h＝g()2，h－H＝g()2，联立解得g＝。

【拓展例题】考查内容：多物体的自由落体运动问题

【典例】一矿井深为80 m，在井口每隔一定时间自由下落一个小球。当第11个小球刚从井口开始下落时，第1个小球恰好到达井底，不计空气阻力，g取

10 m/s2，求：

(1)每隔多长时间释放一个小球？

(2)第11个小球刚释放时，第6个小球的速度多大？

(3)第11个小球刚释放时，第5个小球和第7个小球相距多远？

【解析】(1)设相邻小球开始下落的时间间隔为T，则第1个小球从井口落至井底的时间：t＝10T

h＝gt2＝g(10T)2，解得：T＝0.4 s

(2)第6个小球的速度：v1＝gt1＝g(5T)＝20 m/s

(3)第5个小球下落时间t5＝6T，第7个小球下落时间t7＝4T，第5个小球和第7个小球相距：Δh＝h5－h7＝gt－gt＝16 m。

答案：(1)0.4 s　(2)20 m/s　(3)16 m

1.近年来学校都非常重视足球。在某学校举行的颠球比赛中，小明在颠球过程中脚部几乎不动，如图所示，图示时刻足球恰好运动到最高点，估算足球刚被颠起时的初速度大小是(g取10 m/s2)(　　)

A．6 m/s　　B．3 m/s  C．1 m/s     D．0.5 m/s

【解析】选B。足球被颠起后做竖直上抛运动，由上升的高度即可求出其初速度。由题图可知，足球上升到的高度略小于人的高度的一半，大约有0.7 m，人的脚的上表面距离地面的高度约0.15 m；设初速度为v，上升的高度为h，则：v2＝2gh，所以：v＝＝ m/s≈3.3 m/s ，可知在四个选项中，最接近的是B选项。故选B。

2．一物体从H高处自由下落，经时间t落地，则当它下落时，离地的高度为 (　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

【解析】选C。由h＝gt2得，H＝gt2，当下落时，物体下落高度h＝g＝，此时离地高度为h′＝H－h＝H。

【加固训练】

秋天大枣红了的时候，几个小朋友正在大枣树下用石块投向枣树，若某个小朋友从看到石块击中枣树树枝到听到大枣的落地声最少需要0.7 s，估算一下这棵枣树的高度至少是(　　)

A．1.5 m　　　B．2.5 m　　　C．5 m　　　D．7 m

【解析】选B。红枣从树枝上脱落可认为做自由落体运动，下落时间t＝0.7 s，根据h＝gt2，h≈2.5 m，所以树高至少2.5 m，选项B正确。

3．一名宇航员在某星球上完成自由落体运动实验，让一个质量为2 kg的物体从一定的高度自由下落，测得在第5 s内的位移是18 m，则(　　)

A．物体在2 s末的速度是20 m/s

B．物体在第5 s内的平均速度是3.6 m/s

C．物体在5 s内的位移是50 m

D．物体在第2 s内的位移是20 m

【解析】选C。第5 s内的位移是18 m，有：at－at＝18 m，其中t1＝

5 s，t2＝4 s，解得：a＝4 m/s2。所以2 s末的速度：v＝at＝8 m/s，故A项错误；第5 s内的平均速度＝ m/s＝18 m/s，故B项错误；物体在5 s内的位移x＝at＝×4×52 m＝50 m，故C项正确；物体在第2 s内的位移x′＝×4×22 m－×4×12 m＝6 m，故D项错误。

4．某同学用如图1所示的装置来研究自由落体运动。

(1)下列有关操作的叙述正确的是________(选填字母代号)。

A．安装打点计时器时要注意让上下限位孔在同一竖直线上

B．将打点计时器与直流4～6 V低压电源连接

C．应先释放纸带，然后接通电源

D．释放纸带时应尽量让重物靠近打点计时器

(2)实验得到一条纸带，测得各点之间的距离如图2所示。已知电源频率为

50 Hz。从该纸带可知，重物加速度大小g＝________m/s2(保留三位有效数字)。

【解析】(1)打点计时器的两个限位孔应在同一竖直线上，以减小摩擦力的影响，故A正确。电磁打点计时器应该接在4～6 V的交流电源上，故B错误。开始时应使重物靠近打点计时器处并保持静止，先接通电源，再释放纸带，故C错误，D正确。

(2)已知电源频率为50 Hz，则纸带中相邻两点间的时间间隔是0.02 s，根据匀变速直线运动的推论公式Δx＝gT2可以求出加速度的大小

g＝ m/s2＝9.63 m/s2

答案：(1)A、D　(2)9.63