数学七年级下册第十二章 实数综合与测试同步训练题

沪教版（上海）七年级数学第二学期第十二章实数综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如果a、b分别是的整数部分和小数部分，那么的值是（    ）

A．8 B． C．4 D．

2、在﹣3，0，2，这组数中，最小的数是（　　）

A． B．﹣3 C．0 D．2

3、下列四个数中，最小的数是（    ）

A．﹣3 B．﹣ C．0 D．﹣π

4、下列判断中，你认为正确的是（　　）

A．0的倒数是0 B．是分数 C．3＜＜4 D．的值是±3

5、一个正方体的体积是5m3，则这个正方体的棱长是（　　）

A．m B．m C．25m D．125m

6、平方根和立方根都等于它本身的数是（    ）

A．±1 B．1 C．0 D．﹣1

7、16的平方根是（　　）

A．±8 B．8 C．4 D．±4

8、若与互为相反数，则a、b的值为（    ）

A． B． C． D．

9、若 ,则 （   ）

A． B． C． D．

10、a为有理数，定义运算符号▽：当a＞－2时，▽a＝－a；当a＜－2时，▽a＝ a；当a＝－2时，▽a＝ 0．根据这种运算，则▽[4＋▽（2－5）]的值为（　　）

A． B．7 C． D．1

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、计算：＝___．

2、计算：－20－│－3│＝______．

3、若m、n是两个连续的整数，且，则______．

4、计算：__________．

5、如果一个正数x的平方根是2a﹣3和5﹣a，那么x的值是 _____．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的算术平方根．

2、计算题

（1）；

（2）（﹣1）2021＋．

3、有理数a，b如果满足，那么我们定义a，b为一组团结数对，记为＜a，b＞．例如：和，因为，所以，则称和为一组团结数对，记为＜＞．

根据以上定义完成下列各题：

（1）找出2和2，1和3，－2和这三组数中的团结数对，记为        ；

（2）若＜5，x＞成立，则x的值为        ；

（3）若＜a，b＞成立，b为按一定规律排列成1，－3，9，－27，81，－243，……这列数中的一个，且b与b左右两个相邻数的和是567，求a的值．

4、计算：

（1）；

（2）．

5、计算：

6、计算：.

7、观察下列等式：

第1个等式：12＝13；

第2个等式：(1+2)2＝13+23；

第3个等式：(1+2+3)2＝13+23+33；

第4个等式：(1+2+3+4)2＝13+23+33+43；

……

按照以上规律，解决下列问题：

（1）写出第5个等式：__________________；

（2）写出第n（n为正整数）个等式：__________________（用含n的等式表示）；

（3）利用上述规律求值：．

8、对于一个三位自然数m，若m的百位数字等于两个一位正整数a与b的和，m的个位数字等于两个一位正整数a与b的差，m的十位数字等于b，则称m是“和差数”，规定．例如：723是“和差数”，因为，，，所以723是“和差数”，即．

（1）填空：______．

（2）请判断311是否是“和差数”？并说明理由；

（3）若一个三位自然数（，，x、y是整数，即n的百位数字是9，十位数字是x，个位数字是y）为“和差数”，求所有满足条件的“和差数”n．

9、阅读下列材料：

∵，

∴，

∴的整数部分为3，小数部分为．

请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的整数部分为，的小数部分为，求的值．

10、对于有理数a，b，定义运算：

（1）计算的值；

（2）填空_______：（填“＞”、“＜”或“＝”）

（3）与相等吗？若相等，请说明理由．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

先求得的范围，进而求得的范围即可求得的值，进而代入代数式求值即可

【详解】

则

a、b分别是的整数部分和小数部分，则

故选B

【点睛】

本题考查了估算无理数的大小，二次根式的混合运算，求得的值是解题的关键．

2、B

【分析】

先确定3与的大小，再确定四个数的大小顺序，由此得到答案．

【详解】

解：∵9>7，

∴3>，

∴-3<，

∴-3<<0<2，

故选：B．

【点睛】

此题考查了实数的估值，实数的大小比较，正确掌握实数的估值计算是解题的关键．

3、D

【分析】

正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断出各数中最小的是哪个即可．

【详解】

解：∵，，，，

∴，

∴最小的数是，

故选D．

【点睛】

此题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．

4、C

【分析】

根据倒数的概念即可判断A选项，根据分数的概念即可判断B选项，根据无理数的估算方法即可判断C选项，根据算术平方根的概念即可判断D选项．

【详解】

解：A、0不能作分母，所以0没有倒数，故本选项错误；

B、属于无理数，故本选项错误；

C、因为 9＜15＜16，所以 3＜＜4，故本选项正确；

D、的值是3，故本选项错误．

故选：C．

【点睛】

此题考查了倒数的概念，分数的概念，无理数的估算方法以及算术平方根的概念，解题的关键是熟练掌握倒数的概念，分数的概念，无理数的估算方法以及算术平方根的概念．

5、B

【分析】

根据正方体的体积公式：V＝a3，把数据代入公式解答．

【详解】

解：××＝5（立方米），

答：这个正方体的棱长是米，

故选：B．

【点睛】

此题主要考查正方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式．

6、C

【分析】

根据平方根和立方根的定义，可以求出平方根和立方根都是本身数是0．

【详解】

解：平方根是本身的数有0，立方根是本身的数有1，-1，0；

∴平方根和立方根都是本身的数是0．

故选C．

【点睛】

本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟知定义是解题的关键：如果有两个数a，b（b≥0），满足，那么a就叫做b的平方根；如果有两个数c、d满足，那么c就叫做d的立方根．

7、D

【分析】

根据平方根可直接进行求解．

【详解】

解：∵（±4）2＝16，

∴16的平方根是±4．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查平方根，熟练掌握求一个数的平方根是解题的关键．

8、D

【分析】

首先根据绝对值的性质和二次根式的性质得到，然后解方程组求解即可．

【详解】

解：∵与互为相反数，

∴+＝0，

∴，

得：，

得：，解得：，

将代入①得：，解得：．

故选：D．

【点睛】

此题考查了绝对值的性质，二次根式的性质，相反数的性质以及解二元一次方程组等知识，解题的关键是根据题意得出关于a、b的方程组并求解．

9、B

【分析】

先利用的值，求出，再利用负整数指数幂的运算法则，得到的值．

【详解】

解：，

或（舍去），

，

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了开二次根式以及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握负整数指数幂的运算法则：，是解决本题的关键．

10、A

【分析】

定义运算符号▽：当a＞－2时，▽a＝－a；当a＜－2时，▽a＝ a；当a＝－2时，▽a＝ 0．先判断a的大小，然后按照题中的运算法则求解即可．

【详解】

解：且当时，▽a=a，

▽(-3)=-3，

4+▽（2-5）=4-3=1>-2，

当a>-2时，▽a=-a，

▽［4+▽（2-5）］=▽1=-1，

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．

二、填空题

1、1

【分析】

根据平方和立方根的定义分别化简，再计算算术平方根即可．

【详解】

解：，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查了实数的运算，解题的关键是掌握算术平方根和立方根的定义．

2、

【分析】

直接根据算术平方根，绝对值，实数的运算法则计算即可．

【详解】

解：原式＝，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了算术平方根，绝对值，实数的运算，本题比较简单，属于基础题．

3、11

【分析】

根据无理数的估算方法求出、的值，由此即可得．

【详解】

解：∵，

∴，

∵5、6是两个连续的整数，且，

，

，

故答案为：11．

【点睛】

本题考查了无理数的估算和代数式求值，熟练掌握无理数的估算方法是解题关键．

4、3

【分析】

根据实数的运算法则即可求出答案．

【详解】

解：原式．

【点睛】

本题考查了实数的运算法则，掌握负整指数幂，零指数幂的运算性质是解本题的关键．

5、49

【分析】

一个正数的平方根性质是互为相反数得出2a﹣3+5﹣a=0，解方程求出a =-2，再求平方根，利用平方根求出原数即可

【详解】

解：∵一个正数x的平方根是2a﹣3和5﹣a，

∴2a﹣3+5﹣a=0，

解得a =-2，

当a =-2时2a﹣3=-2×2-3=-7，

∴x=(-7)2=49．

故答案为：49．

【点睛】

本题考查一个正数x的平方根性质，一个正数有两个平方根，它们是互为相反数,0的平方根是0，负数没有平方根，根据平方根性质列方程是解题关键．

三、解答题

1、

【分析】

直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案．

【详解】

解：∵2a-1的平方根是±3，

∴2a-1=9，

解得：a=5，

∵3a+b-9的立方根是2，

∴15+b-9=8，

解得：b=2，

∵4＜＜5，c是的整数部分，

∴c=4，

∴a+2b+c=5+4+4=13，

∴a+2b+c的算术平方根为

【点睛】

此题主要考查了平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键．

2、（1）2＋2；（2）4

【分析】

（1）原式利用立方根性质及绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果；

（2）原式利用乘方的意义，算术平方根定义计算即可得到结果．

【详解】

解：（1）原式＝2﹣2＋|﹣4|

＝2﹣2＋4

＝2＋2；

（2）原式＝﹣1＋5

＝4．

【点睛】

本题考查了实数的混合运算，正确的求得立方根和算术平方根是解题的关键．

3、

（1）＜2，2＞，＜－2，＞

（2）

（3）

【解析】

（1）

和2是一组团结数，即为＜＞，

和3不是一组团结数，

和是一组团结数，即为＜＞，

故答案为：＜＞，＜＞；

（2）

若＜5，x＞成立，则

故答案为：；

（3）

设b左面相邻的数为x，b为－3x，b右面相邻的数为9x．

由题意可得

解得 x＝81

所以 b＝－243

由于＜a，b＞成立，则a－243＝－243a，解得．

【点睛】

本题考查新定义计算，实际有理数的混合运算、一元一次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．

4、（1）1；（2）

【分析】

（1）先计算负指数幂，零指数幂，绝对值，再计算加法即可；

（2）先调整符号，利用平分差公式计算，再利用完全平方公式展开计算去括号即可．

【详解】

解：（1），

=，

=1；

（2），

=，

=，

=，

=．

【点睛】

本题考查实数混合计算，负指数幂，零指数幂，整式乘法公式混合计算，掌握实数混合计算，负指数幂，零指数幂，整式乘法公式混合计算是解题关键．

5、

【分析】

分别计算乘方运算，零次幂，算术平方根，负整数指数幂，再合并即可.

【详解】

解：原式

【点睛】

本题考查的是零次幂的含义，求解一个数的算术平方根，负整数指数幂的含义，掌握以上基础运算是解题的关键.

6、．

【分析】

先计算算术平方根、立方根、乘方、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．

【详解】

解：原式

．

【点睛】

本题考查了算术平方根、立方根、实数的加减等知识点，熟练掌握各运算法则是解题关键．

7、

（1）（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；

（2）（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3；

（3）265

【分析】

（1）根据前几个等式的变化规律解答即可；

（2）根据前几个等式的变化规律写出第n个等式即可；

（3）根据变化规律和平方差公式进行计算即可．

（1）

解：根据题意，第5个等式为（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53，

故答案为：（1+2+3+4+5）2＝13+23+33+43+53；

（2）

解：根据题意，第n个等式为（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3，

故答案为：（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3；

（3）

解：由（2）中（1+2+3+4+5+…+n）2＝13+23+33+43+53+…+n3知，

（1+2+3+4+5+…+20）2＝13+23+33+43+53+…+203①，

（1+2+3+4+5+…+10）2＝13+23+33+43+53+…+103②，

①－②得：

（1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10）×（11+12+13+…+20）=113+123+133+…+203，

∴

=（1+2+3+4+5+…+20+1+2+3+4+5+…+10）

=265．

【点睛】

本题考查数字类规律探究、平方差公式、与实数运算相关的规律题，理解题意，正确得出等式的变化规律并能灵活运用是解答的关键．

8、

（1）412

（2）是，理由见解析

（3）941或933或925或917

【分析】

（1）根据定义可知，百位上数字为：3+1=4，个位数字为：3-1=2，即可得解；

（2）根据定义即可判断311是“和差数”；

（3）由题意得到，解得，再结合a、b为正整数且，即可得解.

（1）

解：根据定义可知，百位上数字为：3+1=4，个位数字为：3-1=2，故412.

故答案为：412；

（2）

解：311是“和差数”，

∵，，，

∴是“和差数”；

（3）

解：∵（，，、是整数）

∴

∴

∴，，，

9、a+b的值为25+．

【分析】

由9π≈28.26，可得其整数部分a=28，由27＜28＜64，可求得的小数部分，继而可得a+b的值．

【详解】

解：∵9π≈28.26，

∴a=28，

∵27＜28＜64，

∴，

∴3＜＜4，

∴b=-3，

∴a+b=28+-3=25+，

∴a+b的值为25+．

【点睛】

本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键．

10、（1）；（2）=；（3）相等，证明见详解．

【分析】

（1）按照给定的运算程序，一步一步计算即可；

（2）先按新定义运算，再比较大小；

（3）按新定义分别运算即可说明理由．

【详解】

解：（1）；

（2），

，

∴=，

故答案是：=；

（3）相等

∵，，

∴=．

【点睛】

此题是定义新运算题型，直接把对应的数字代入所给的式子可求出所要的结果．