初中第十六章 一元二次方程综合与测试课时作业

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程必考点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若a是方程的一个根，则的值为（    ）

A．2020 B． C．2022 D．

2、下列方程中，是关于x的一元二次方程是（    ）

A． B． C． D．

3、某公司去年的各项经营中，九月份的营业额为200万，十一月的营业额为950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，设这个增长率为，则可列方程得（    ）

A． B．

C． D．

4、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（    ）

A． B． C． D．

5、目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.92万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）

A．20% B．30% C．40% D．50%

6、下列所给方程中，没有实数根的是（    ）

A． B．

C． D．

7、已知m，n是方程的两根，则代数式的值等于（    ）

A．0 B． C．9 D．11

8、小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

9、一元二次方程根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

10、如图，在一块长为30m，宽为20m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2，若设道路宽为xm，则根据题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有一个根为1，则m的值为_______．

2、如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形．为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为______________．

3、代数式的最小值是_______．

4、如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝3，D是边AB上的一点，将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，若B1D⊥BC，则BD的长度为 _____．

5、一元二次方程3x2＝3﹣2x的根的判别式的值为 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

（1）求a的取值范围；

（2）若a为正整数，求方程的根．

2、我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．

（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　   　；

（2）已知两个根分式M＝与N＝．

①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；

②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．

3、用适当的方法解下列方程：

（1）（x﹣1）2＝9；

（2）x2+4x﹣1＝0．

（3）3（x﹣5）2＝4（5﹣x）．

（4）x2﹣4x+10＝0．

4、A市计划对本市215万人接种新冠疫苗，在前期完成5万人接种后，又花了100天时间接种了剩下的210万人．在这100天中，该市的接种时间和接种人数的关系如图所示．

（1）前40天中，每天接种的人数为           人．

（2）这100天中，B市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，

①请通过计算判断，第40天接种完成后，B市的接种人数是否超过A市？

②直接写出第几天接种完成后，A，B两市接种人数恰好相同？

5、已知，如图，在平面直角坐标系内，点A的坐标为(0，12)，经过原点的直线l1与经过点A的直线l2相交于点B，点B坐标为(﹣9，3)．

（1）求直线l1，l2的表达式；

（2）点C为直线OB上一动点（点C不与点O，B重合），作CDy轴交直线l2于点D，过点C，D分别向y轴作垂线，垂足分别为F，E，得到矩形CDEF．

①设点C的纵坐标为n，求点D的坐标（用含n的代数式表示）；

②若矩形CDEF的面积为48，请直接写出此时点C的坐标．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：是关于的方程的一个根，

，

，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，利用整体代入的方法计算可简化计算．

2、C

【分析】

根据只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程选择即可．

【详解】

A．当a=0时，是一元一次方程，该选项不符合题意；

B．分母上有未知数，是分式方程，该选项不符合题意；

C．是关于x的一元二次方程，该选项符合题意；

D．经整理后为，是一元一次方程，该选项不符合题意．

故选择C．

【点睛】

本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．

3、C

【分析】

根据增长率的意义，列式即可．

【详解】

设这个增长率为，

根据题意，得，

故选C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，熟练增长率问题计算特点是解题的关键．

4、C

【分析】

设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，

整理得：．
故选：C．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

5、C

【分析】

先用含x的代数式表示出2021年底5G用户的数量， 然后根据2021年底5G用户数为3.92万户列出关于x的方程，解方程即得答案．

【详解】

解：设全市5G用户数年平均增长率为x，

根据题意，得： ，

整理得：，

∴，

解得：x1=0.4=40%，x2= −2.4（不合题意，舍去）．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．

6、D

【分析】

逐一求出四个选项中方程的根的判别式Δ的值，取其小于零的选项即可得出结论．

【详解】

解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根；

 B、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×5×(-2)＝56＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根；

C、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，

∴一元二次方程有两个不相等的实数根；

D、∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4×2＝-23＜0，

∴一元二次方程没有实数根．

故选：D．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，牢记“当Δ＜0时，一元二次方程没有实数根”是解题的关键．

7、C

【分析】

利用方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，可得， ，从而得到，再代入，即可求解．

【详解】

解：∵m，n是方程的两根，

∴， ，

∴，

∴．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握使方程左右两边同时成立的未知数的值就是方程的解；若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

8、B

【分析】

设小明的年龄为x岁，则可用x表示出小亮的年龄和小刚的年龄．再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可列出方程．

【详解】

设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为岁，小刚的年龄为岁，

根据题意即可列方程：．

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，正确找出题干中的数量关系列出等式是解答本题的关键．

9、A

【分析】

计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．

【详解】

∵，，，

∴，

∴方程有有两个不相等的实数根．

故选：A

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．

10、B

【分析】

根据题意草坪的长为m，宽为m，根据长方形的面积公式列出一元二次方程即可

【详解】

解：设道路宽为xm，则根据题意可列方程为

故选B

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

根据关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1，将x=1代入可以得到m的值，本题得以解决．

【详解】

解：∵关于x的方程x2-2x+m=0的一个根是1，

∴1-2+m=0，

解得m=1，

故答案为：1．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

2、（35-2x）（20-x）=660

【分析】

若设小道的宽为x米，则阴影部分可合成长为（35-2x）米，宽为（20-x）米的矩形，利用矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解

【详解】

解：依题意，得：（35-2x）（20-x）=660．

故答案为：（35-2x）（20-x）=660．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3、

【分析】

利用配方法得到：．利用非负数的性质作答．

【详解】

解：因为≥0，

所以当x=1时，代数式的最小值是，

故答案是：．

【点睛】

本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质．配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2．

4、

【详解】

延长B1D交BC于E，由B1D⊥BC，根据含角直角三角形和勾股定理的性质，推导得DE＝BD，BE＝BD，设BD＝x，在Rt△B1CE中根据轴对称、勾股定理的性质,建立方程计算即可解得答案．

【解答】

延长B1D交BC于E，如图：

∵B1D⊥BC，

∴∠BED＝∠B1EC＝90°，

∵∠B＝30°，

∴DE＝BD，

∴BE＝＝BD，

设BD＝x，

∵将△BCD沿直线CD翻折，使点B落在点B1的位置，

∴B1D＝x，

∵BC＝3，

∴CE＝3﹣x，B1C＝BC＝3，

在Rt△B1CE中，B1E2+CE2＝B1C2，

∴（x+x）2+（3﹣x）2＝32

∴

∴x＝0（舍去）或x＝

∴BD＝

故答案为：．

【点睛】

本题考查了勾股定理、一元二次方程、轴对称、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握勾股定理；轴对称、含角直角三角形、一元二次方程的性质，从而完成求解．

5、40

【分析】

先把一元二次方程化为一般式，然后利用一元二次方程根的判别式直接计算即可解答．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，，，

，

故答案为：40．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是解题关键．

三、解答题

1、（1）a＜；（2）

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ=b2-4ac＞0，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围；
（2）由（1）的结论结合a为正整数，即可得出a=1，将其代入原方程，再利用公式法解一元二次方程，即可求出原方程的解．

【详解】

解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，

∴＞0，

解得a＜，

∴的取值范围为a＜．

（2）∵a＜，且a为正整数，

∴，代入，

此时，方程为．

∴解得方程的根为

【点睛】

本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根．

2、（1）；（2）①不存在，见解析；②，，，（答案不唯一）

【分析】

（1）依照根分式的定义写一个即可；

（2）①根据建立关于x的等式，即可求出x的值，注意需要判断x的值是否使根分式有意义；

②表达，分离整式，再判断什么时候为整数，求出x的值．

【详解】

（1）由题意得：

故答案是：；

（2）①∵，

∴，

∴，

解得：，

检验，当时，，

∴原分式方程无解，

从而不存在x的值使得；

②，

∴当是一个整数时，可以取1或2，等，

∴当x是无理数时，或，

，解得：，

，解得：，

∴，，（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查求解一元二次方程，分式与二次根式的应用，掌握题目给出的新定义是解题的关键．

3、（1）x1＝4，x2＝﹣2

（2）

（3）

（4）

【分析】

（1）利用直接开平方法求解即可；

（2）利用配方法求解即可．

（3）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．

（4）先判断是否有解，若有解，可直接利用公式法求解即可．

（1）

解：（x﹣1）2＝9，

∴x﹣1＝3或x﹣1＝﹣3，

∴x1＝4，x2＝﹣2．

（2）

解：x2+4x﹣1＝0，

x2+4x＝1，

x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，

∴x+2＝或x+2＝﹣，

∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．

（3）

解：∵3（x﹣5）2＝4（5﹣x），

∴3（x﹣5）2+4（x﹣5）＝0，

∴（x﹣5）（3x﹣11）＝0，

则x﹣5＝0或3x﹣11＝0，

解得x1＝5，x2＝．

（4）

解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝10，

∴Δ＝（﹣4）2﹣4×1×10＝8＞0，

∴x＝＝＝2±，

∴，．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，要根据不同的方程采取不同的方法，解题时要先判断方程是否有根．

4、（1）3万；（2）①第40天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市；②52天接种完成后A，B两市接种人数恰好相同．

【分析】

（1）根据前100天接种的总人数除以时间求解即可；

（2）①将代入计算比较即可；

②先由题意得到前40天市接种人数少于A市，求出40到100天间A市接种人数的函数解析式，再列等式求解问题．

【详解】

解：（1）（万人），

∴故答案为：3万；

（2）①把代入得：

答：第40天接种完成后，B市的接种人数没有超过A市．

②由题意前40天市接种人数少于A市，

设40天到100天这段时间A市的接种人数y（万人）与接种天数x（天）的关系为，

∴将（40，125）和（100，215）代入，

得：，解得：，

∴A市接种人数，，

（舍去），

答：52天接种完成后A，B两市接种人数恰好相同．

【点睛】

此题考查一次函数的图象和求一次函数的解析式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．

5、（1）y＝﹣x，y＝x+12；（2）①(﹣3n，﹣3n+12)；②(3，﹣1)或C(﹣12，4)

【分析】

（1）从图中看以看出l1是正比例函数，l2是一次函数，根据点A、B的坐标，用待定系数法即可求得l1、l2的解析式；

（2）①已知点C的纵坐标及点C在直线l1上，求得点C的横坐标；进而知道了点D的横坐标，点D在直线l2上，易得点D的坐标；

②根据点C与点D坐标，求出CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，利用矩形的面积＝长×宽，列出关于n的方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）设直线l1的表达式为y＝k1x，

∵过点B（﹣9，3），

∴﹣9k1＝3，

解得：k1＝﹣，

∴直线l1的表达式为y＝﹣x；

设直线l2的表达式为y＝k2x+b，

∵过点A （0，12），B（﹣9，3），

∴，

解得：，

∴直线l2的表达式y＝x+12；

（2）①∵点C在直线l1上，且点C的纵坐标为n，

∴n＝﹣x，

解得：x＝﹣3n，

∴点C的坐标为（﹣3n，n），

∵CD∥y轴，

∴点D的横坐标为﹣3n，

∵点D在直线l2上，

∴y＝﹣3n+12，

∴D（﹣3n，﹣3n+12）；

②∵C（﹣3n，n），D（﹣3n，﹣3n+12），

∴CF＝|3n|，CD＝|﹣3n+12﹣n|＝|﹣4n+12|，

∵矩形CDEF的面积为60，

∴S矩形CDEF＝CF•CD＝|3n|×|﹣4n+12|＝48，

解得n＝﹣1或n＝﹣4，

当n＝﹣1时，﹣3n＝3，故C（3，﹣1），

当n＝4时，﹣3n＝1﹣12，故C（﹣12，4）．

综上所述，点C的坐标为：（3，﹣1）或C（﹣12，4）．

【点睛】

本题考查待定系数法求一次函数的解析式，勾股两点距离，矩形面积，解一元二次方程，掌握待定系数法求一次函数的解析式，勾股两点距离，矩形面积，解一元二次方程是解题关键．