数学八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试课后练习题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一元二次方程根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

2、已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为（    ）．

A．4 B．3 C． D．

3、一元二次方程x2＝－2x的解是（      ）

A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2

4、将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是（    ）

A． B． C． D．

5、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能为（    ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

6、下列方程中是一元二次方程的是（     ）

A．y＋2＝1 B．＝0 C． D．

7、一元二次方程的解是（    ）

A． B．

C．， D．

8、把长为2 m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为（     ）

A． B． C． D．

9、关于x的一元二次方程（a－1）x2＋x＋a2－1＝0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1 B．－1 C．1或－1 D．0

10、不解方程，判别方程的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法确定

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为　______．

2、已知关于x方程的一个根是1，则m的值等于______．

3、已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则k的值是______．

4、学校组织一次乒乓球赛，要求每两队之间都要比赛一场．若共赛了28场，设有个球队参赛，根据题意列出满足的关系式为_______．

5、已知中，，，，则的面积是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、某市尊师重教，市委、市政府非常重视教育，将教育纳入质量强市考核，近几年全市公共预算教育支出逐年增长．已知2019年教育支出约80亿元，2021年教育支出约为96.8亿元，求2019年到2021年教育支出的年平均增长率．

2、先化简，再求值．

，请从一元二次方程的两个根中选择一个你喜欢的求值．

3、如图，在一块长、宽的矩形地面内，修筑一横两竖三条道路，横、竖道路的宽度相同，余下的地面铺草坪，要使草坪面积达到，求道路的宽．

4、已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；

（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．

5、（1）解一元二次方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；

（2）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．

【详解】

∵，，，

∴，

∴方程有有两个不相等的实数根．

故选：A

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．

2、A

【分析】

根据方程的系数结合根与系数的关系，即可得出m+n的值，此题得解．

【详解】

解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根，

∴m+n=4．

故选：A．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于-是解题的关键．

3、D

【分析】

先移项、然后再利用因式分解法解方程即可．

【详解】

解 ：x2＝－2x

x2+2x=0

x（x+2）＝0，

x＝0或x+2＝0，

所以x1＝0，x2＝-2．

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程−因式分解法,把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题成为解答本题的关键．

4、A

【分析】

将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可．

【详解】

解：∵，

∴，

∴，即，

故选A．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

5、A

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根，判别式△＞0，确定a的取值范围，判断选择即可．

【详解】

∵方程有两个不相等的实数根，

∴判别式△＞0，

∴，

∴a＜4，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．

6、B

【分析】

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，据此解答即可．

【详解】

解：A．是二元二次方程，故本选项不合题意；

B．是一元二次方程，故本选项符合题意；

C．是二元二次方程，故本选项不合题意；

D．当a=0时，不含二次项，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．

7、C

【分析】

根据因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】

解：

即或

解得，

故选C

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

8、A

【分析】

由题意依据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积建立方程即可得出答案.

【详解】

解：设较长一段的长为x m，则较短一段的长为（2-x ）m，

由题意得：.

故选：A.

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际运用，根据题意找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．

9、B

【分析】

根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出a-1≠0，a2-1=0，求出a的值即可．

【详解】

解：根据题意将x＝0代入方程可得：a2－1＝0，

解得：a＝1或a＝－1，

∵a－1≠0，即a≠1，

∴a＝－1，

故选：B．

【点睛】

本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出a-1≠0且a2-1=0，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．

10、A

【分析】

利用根的判别式进行求解并判断即可．

【详解】

解：原方程中，，，，

，

原方程有两个不相等的实数根

故选：A．

【点睛】

熟练掌握根的判别式是解答此题的关键，当＞0有两不相等实数根，当=0有两相等实数根，当＜0没有实数根．

二、填空题

1、6
 

【分析】

确定二次项系数，一次项系数，常数项以后即可求解．

【详解】

根据题意可得，一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为4，常数项为1；

∴和为．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的一般形式，利用二次项系数、一次项系数、常数项之和算出算式是解题关键．

2、2

【分析】

把方程的根代入原方程，求解即可．

【详解】

解：因为关于x方程的一个根是1，

所以，，解得，，

故答案为：2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根，解题关键是明确方程根的意义，代入原方程求解．

3、-2

【分析】

知道方程的一根，把x=2代入方程中，即可求出未知量k．

【详解】

解：将x=2代入一元二次方程x2-x+k=0，

可得：4-2+k=0，
解得k=-2，

故答案为：-2．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根的定义，把求未知系数的问题转化为解方程的问题，是待定系数法的应用．

4、

【分析】

每支球队要和其他球队共比赛场，一共个球队，共需要 场比赛，但每两支球队之间重复了一次，故实际需要，根据题意，即可列出方程．

【详解】

解：由题意可知：每支球队要和其他球队共比赛场，一共个球队，共需要 场比赛但每两支球队之间重复了一次，故实际比赛场数为，

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要是考查了列一元二次方程，熟练地找到等式关系，根据等式关系列出对应方程，这是解决该类题目的关键．

5、或

【分析】

如图所示，过点C作CE⊥AB于E，先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求出，设，则，，由，得到，由此求解即可．

【详解】

解：如图所示，过点C作CE⊥AB于E，

∴∠CEB=∠CEA=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BCE=30°，

∴BC=2BE，

∴，

设，则，，

∵，

∴，

解得或，

∴或，

∴或，

故答案为：或．

【点睛】

本题主要考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握含30度角的直角三角形的性质．

三、解答题

1、2019年到2021年教育支出的年平均增长率为10%．

【分析】

设2019年到2021年教育支出的年平均增长率为x，则2020年教育支出为， 2021年教育支出为，再由2021年教育支出约为96.8亿元，列方程，再解方程可得答案．

【详解】

解：设2019年到2021年教育支出的年平均增长率为x，由题意得：

，

，

解得，（舍）

答：2019年到2021年教育支出的年平均增长率为10%．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“两次变化后的量=原来的量（1+平均增长率）2”是解题的关键.

2、；

【分析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再利用因式分解法解一元二次方程求出a的值，继而选择任意一个a的值代入计算即可．

【详解】

解： ÷（+3 +）

= ÷

= •

= •

=

2-7+12=0

∙=0                                                  

∴或 = 0

∴,=

又∵，，

∴当时，原式

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值和解一元二次方程，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及因式分解法解一元二次方程．

3、道路的宽为2m

【分析】

设道路的宽为xm，根据图形可以把草坪面积看做是一个长为m，宽为m的长方形面积，由此建立方程求解即可．

【详解】

解：设道路的宽为xm，

由题意得：，

∴，

∴，

∴，

解得或（舍去），

∴道路的宽为2m．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键在于能够根据题意列出方程求解．

4、（1）证明见解析；（2）k=3

【分析】

（1）根据根的判别式判断即可．

（2）由等腰三角形性质可判断出腰长为2和底为2两种情况，即可求得两个k，将k代入抛物线解析式求得x的解，再结合三角形三边关系判断即可．

【详解】

（1）∵中a=1，b=-k，c=k-1

∴

∵

∴

∴无论k取何值，该方程总有实数根

（2）若2为等腰三角形的腰，则另一边也为2，即2为方程的一个根

将x=2代入有

4-2k+k-1=0

解得k=3

则方程为

解得

等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．

若2为等腰三角形的底，则两根为腰且相等，有

即

解得k=2

则方程为

解得

等腰三角形三边长为2，1，1，

1+1=2，不符合三角形三边关系，故k=2舍去．

综上所述k的值为3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形性质以及三角形三边成立的关系，易错点为第二问未验证所算三边长是否能构成等腰三角形．

5、（1）；（2）见详解．

【分析】

（1）首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；
（2）首先表示出Δ，得出Δ符号进而求出即可．

【详解】

（1）解：，

，
则，
整理得：，
解得：；
（2）证明：把化为一般形式：，



，
故无论m为何值，4m2+1永远大于0，则方程总有两个不相等的实数根．

【点睛】

此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及根的判别式，正确分解因式是解题关键．