初中数学北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试同步练习题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程难点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若a是方程的一个根，则的值为（    ）

A．2020 B． C．2022 D．

2、关于x的一元二次方程x2－mx＋（m－2）＝0的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．根据m的取值范围确定

3、方程x2＝4x的解是（　　）

A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0

4、下列方程中一定是一元二次方程的是（    ）

A．x2﹣4＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x2﹣y＋1＝0 D．＋x﹣1＝0

5、一元二次方程的解是（    ）

A． B．

C．， D．

6、一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

7、如图，某学校有一块长35米、宽20米的长方形试验田，为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，要使种植面积为600平方米．设小道的宽为米，根据题意可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

8、若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k≥2 B．k≥﹣2 C．k＞﹣2且k≠0 D．k≥﹣2且k≠0

9、把方程化成（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（    ）．

A．2，7 B．2，5 C．，7 D．，5

10、某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第十二月的总营业额要达到9100万元，求该公司11；12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、小华在解方程x2 = 3x时，只得出一个根x = 3，则被他漏掉的一个根是x =_______

2、下列各数：－2，－1，0，2，3，是一元二次方程x²＋3x＋2＝0的根的是_________．

3、如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂ABC部分构成一个直角三角形，且，起重臂AD可以通过拉伸BD进行上下调整．现将起重臂AD从水平位置调整至位置，使货物E到达位置（挂绳DE的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物E升高了24米，且到塔身AH的距离缩短了16米，测得，则AC的长为_____________米．

4、关于x的一元二次方程的两实数根，，满足，则m的值是______．

5、某班学生去参加义务劳动，其中一组到一果园去摘梨子， 第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，…以此类推，后来的学生都比前面的学生多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了6个梨子，请问这组学生的人数为 _______

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝3cm，点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度运动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度运动．如果P、Q同时出发，运动时间为t（s）（0≤t≤3）．

（1）AP＝      cm，AQ＝       cm；

（2）t为何值时，△QAP的面积等于2cm2？

2、用配方法解方程3﹣6x+1＝0．

3、已知关于x的一元二次方程有两个实数根，．

（1）若，求k的值．

（2）若，，求k的取值范围．

4、某商城购进了一批某种品牌冰箱，标价为每台3000元．

（1）为回馈新老用户，在国庆节期间，商城对冰箱进行了连续两次降价销售，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；

（2）市场调研表明：当每台冰箱的售价为3000元时，每天能售出8台；当每台冰箱的售价每降50元时，每天就能多售出4台；若商城计划在某天销售20台冰箱，则每台冰箱的售价应定为多少元？

5、当k为何值时，一元二次方程（k-1）x2-6x+9=0总有实数根．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

先根据一元二次方程根的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

解：是关于的方程的一个根，

，

，

，

．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，利用整体代入的方法计算可简化计算．

2、A

【分析】

根据根的判别式判断即可．

【详解】

∵，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：A．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．

3、C

【分析】

本题可先进行移项得到：x2﹣4x＝0，然后提取出公因式x，两式相乘为0，则这两个单项式必有一项为0．

【详解】

解：原方程可化为：x2﹣4x＝0，提取公因式：x（x﹣4）＝0，

∴x＝0或x＝４

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的计算，准确分析计算是解题的关键．

4、A

【分析】

利用一元二次方程定义进行解答即可．

【详解】

解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；

B、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

5、C

【分析】

根据因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】

解：

即或

解得，

故选C

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

6、D

【分析】

先求出Δ的值，再判断出其符号即可．

【详解】

解：∵

∴Δ＝b2−4ac＝12−4×1×（－3）＝13＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac的关系是解答此题的关键．

7、C

【分析】

设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，根据种植面积为600平方米，列出关于的一元二次方程即可.

【详解】

解：设小道的宽为米，则剩余部分可合成长米，宽米的长方形，

依题意得：.

故选：C.

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、列出一元二次方程是解答本题的关键.

8、B

【分析】

根据当时，方程是一元一次方程有实数根，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，然后求出两不等式组的公共部分，两种情况合并即可．

【详解】

解：根据题意得：①当时，方程是一元一次方程，此时﹣4x﹣2＝0，方程有实数解；

②当时，此方程是一元二次方程，可得

k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，

解得k≥-2且k≠0．

综上，当时，关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

9、C

【分析】

利用配方法将一元二次方程进行化简变形即可得．

【详解】

解：，

，

，

，

∴，，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查利用配方法将一元二次方程进行变形，熟练掌握配方法是解题关键．

10、C

【分析】

根据等量关系第10月的营业额×（1+x）2=第12月的营业额列方程即可．

【详解】

解：根据题意，得：，

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．

二、填空题

1、0

【分析】

根据因式分解法即可求出答案．

【详解】

解：∵x2=3x，
∴x2-3x=0，
∴，
∴x=0或x-3=0，
∴x1=0，x2=3，
故答案为：0．

【点睛】

本题考查解一元二次方程，解题的关键是熟练运用因式分解法．

2、-1和-2

【分析】

直接用因式分解的方法求出一元二次方程的根即可得到答案．

【详解】

解：∵，

∴，

解得，，

∴-2，-1，0，2，3，中是方程的根的是-2，-1，

故答案为：-1和-2．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程和一元二次方程根的定义，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．

3、7

【分析】

过点B作于点M，由题意易得，则有四边形是矩形，设，则，然后根据勾股定理可得AF的长，进而问他可求解．

【详解】

解：过点B作于点M，如图所示：

由题意得：，

∴四边形是矩形，

∴，

设，则，在中，由勾股定理得：

，解得：，

∴，

设，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∴，整理得：，

解得：；

故答案为7．

【点睛】

本题主要考查勾股定理、矩形的性质与判定及一元二次方程的解法，熟练掌握勾股定理、矩形的性质与判定及一元二次方程的解法是解题的关键．

4、2

【分析】

先根据根的判别式求得m的取值范围，然后根据一元二次方程根与系数的关系得到x1x2＝m2−m＝2，进而求得m＝2或m＝−1，故可得解．

【详解】

解：由题意得Δ＝（2m）2−4（m2−m）≥0，

∴m≥0，

∵关于x的一元二次方程的两实数根，，

则x1x2＝m2−m＝2，

∴m2−m−2＝0，解得m＝2或m＝−1（舍去），

故答案为：2．

【点睛】

本题考查的是解一元二次方程和一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，x1x2＝．

5、11

【分析】

设这组学生的人数为 人，根据题意列出方程，解出即可．

【详解】

解：设这组学生的人数为 人，根据题意得：

，

即

解得： ．

故答案为：11

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

三、解答题

1、（1）2t；（3-t）；（2）t为1或2．

【分析】

（1）先证明AD=BC=3cm，∠A=90°，再根据题意即可求解；

（2）根据三角形面积公式列出一元二次方程，解方程即可求解．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴AD=BC=3cm，∠A=90°，

∴AP=2tcm，AQ=（3-t）cm，

故答案为：2t；（3-t）

（2）由题意得，

整理得，

解得，

答：t为1或2时，△QAP的面积等于2cm2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用含t的式子表示出直角三角形两边，列出方程是解题关键．

2、＝1+，＝1﹣

【分析】

方程移项后，二次项系数化为1，两个加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．

【详解】

解：方程移项得：3﹣6x＝﹣1，

即﹣2x＝﹣，

配方得：＝，

开方得：x﹣1＝±，

解得 ＝1+，＝1﹣．

【点睛】

本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握求根公式是解题的关键．

3、（1）或；（2）

【分析】

（1）根据方程的特点，因式分解法解方程，进而求得的值；

（2）根据方程的解，以及，，即可求得k的取值范围．

【详解】

解：

有实根

（1）

即

解得

即或

解得或

（2）若，，则

解得

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，求得方程的解是解题的关键．

4、（1）每次降价的百分率是10%；（2）定价为2850元．

【分析】

（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；

（2）假设下调a个50元，销售冰箱数量＝原销售量+多售出量，即可列方程求解．

【详解】

解：（1）设每次降价的百分率为x，

依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）

答：每次降价的百分率是10%；

（2）假设下调a个50元，依题意得：20＝8+4a．

解得a＝3．

所以下调150元，因此定价为3000-150=2850元．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．

5、k≤2且k≠1．

【分析】

由方程为一元二次方程可得知k-1≠0；由方程总有实数根可得出根的判别式≥0，解关于k的一元一次不等式即可得出结论．

【详解】

解：根据判别式的意义得到＝(-6)2﹣4×(k-1)×9≥0，且k-1≠0，

解得k≤2且k≠1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，解题的关键是根与方程有实数根得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该类型题目时，牢记根的判别式的意义即可．