数学七年级下册第七章 观察、猜想与证明综合与测试同步训练题

京改版七年级数学下册第七章观察、猜想与证明定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠A＝60°，则∠DBC的度数为（ ）

A．45° B．25° C．15° D．20°

2、已知∠α的两边分别平行于∠β的两边．若∠α＝60°，则∠β的大小为（　　）

A．30° B．60° C．30°或60° D．60°或120°

3、下列命题是真命题的是（　　）

A．等角的余角相等 B．同位角相等

C．互补的角一定是邻补角 D．两个锐角的和是钝角

4、下列说法正确的个数是（　　）

①平方等于本身的数是正数；

②单项式﹣π2x3y2的次数是7；

③近似数7与7.0的精确度不相同；

④因为a＞b，所以|a|＞|b|；

⑤一个角的补角大于这个角本身．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5、将一副三角板按如图所示位置摆放，已知∠α＝30°14′，则∠β的度数为（　　）

A．75°14′ B．59°86′ C．59°46′ D．14°46′

6、下列命题中是真命题的是（    ）

A．对顶角相等 B．两点之间，直线最短

C．同位角相等 D．同旁内角互补

7、下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（      ）

A．  B． 

C．  D．

8、可以用来说明命题“x2＜y2，则x＜y”是假命题的反例是（　　）

A．x＝4，y＝3 B．x＝﹣1，y＝2 C．x＝﹣2，y＝1 D．x＝2，y＝﹣3

9、如图，一辆快艇从P处出发向正北航行到A处时向左转50°航行到B处，再向右转80°继续航行，此时航行方向为（　　）

A．西偏北50° B．北偏西50° C．东偏北30° D．北偏东30°

10、如图，C、D在线段BE上，下列说法：

①直线CD上以B、C、D、E为端点的线段共有6条；

②图中至少有2对互补的角；

③若∠BAE=90°，∠DAC=40°，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和360°；

④若BC=2，CD=DE=3，点F是线段BE上任意一点，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大值为15，最小值为11，其中说法正确的个数有（  ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、 “在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．”这个命题是 ___命题．（填“真”或“假”）

2、判断正误：

（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角（    ）

（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角（    ）

（3）有一条公共边的两个角是邻补角（    ）

（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补（    ）

（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角（    ）

3、如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOD＋∠BOC＝240°，则∠BOC的度数为__________°．

4、如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=40°，则∠AEC=_____度．

5、已知，那么的余角是_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．

（1）试说明：AD∥EF；

（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．

2、如图，直线AB，CD，EF相交于点O，

（1）指出∠AOC，∠EOB的对顶角及∠AOC的邻补角．

（2）图中一共有几对对顶角？指出它们．

3、如图，已知∠AOB＝140°，∠COE与∠EOD互余，OE平分∠AOD．

（1）若∠COE＝40°，求∠DOE和∠BOD；

（2）设∠COE＝α，∠BOD＝β，试探究α与β之间的数量关系．

4、完成下面的证明：

已知：如图，∠1＝30°，∠B＝60°，AB⊥AC．求证：AD∥BC．

证明：∵AB⊥AC（已知）

∴∠　   　＝90°（ 　   　）

∵∠1＝30°，∠B＝60°（已知）

∴∠1+∠BAC+∠B＝　   　（ 　   　）

即∠　   　+∠B＝180°

∴AD∥BC（ 　   　）

5、如图①，直线AB与直线CD相交于点O，， 过点O作射线．

（1）若射线OF平分， 求的度数；

（2）若将图①中的直线绕点O逆时针旋转至图②， ，当射线平分时，射线C是否平分，请说明理由；

（3）若， ， 将图①中的直线绕点O按每秒5° 的速度逆时针旋转 度（），设旋转的时间为t秒，当时，求t的值．

---------参考答案-----------

一、单选题

1、C

【分析】

直接利用三角板的特点，结合平行线的性质得出∠ABD=45°，进而得出答案．

【详解】

解：由题意可得：∠EDF=45°，∠ABC=30°，

∵AB∥CF，

∴∠ABD=∠EDF=45°，

∴∠DBC=45°-30°=15°．

故选：C．

【点睛】

此题主要考查了平行线的性质，根据题意得出∠ABD的度数是解题关键．

2、D

【分析】

根据题意画图如图（1），根据平行线性质两直线平行，同位角相等，即可得出∠α＝∠1＝∠β，即可得出答案，如图（2）根据平行线性质，两直线平行，同旁内角互补，∠α+∠2＝180°，再根据两直线平行，内错角相等，∠2＝∠β，即可得出答案．

【详解】

解：如图1，

∵a∥b，

∴∠1＝∠α，

∵c∥d，

∴∠β＝∠1＝∠α＝60°；

如图（2），

∵a∥b，

∴∠α+∠2＝180°，

∵c∥d，

∴∠2＝∠β，

∴∠β+∠α＝180°，

∵∠α＝60°，

∴∠β＝120°．

综上，∠β＝60°或120°．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质进行计算是解决本题的关键．

3、A

【分析】

由同角或等角的余角相等可判断A，由平行线的性质可判断B，由邻补角的定义可判断C，通过举反例，比如 可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：等角的余角相等，正确，是真命题，故A符合题意，

两直线平行，同位角相等，所以同位角相等是假命题，故B不符合题意；

互补的角不一定是邻补角，所以互补的角一定是邻补角是假命题，故C不符合题意；

两个锐角的和不一定是钝角，所以两个锐角的和是钝角是假命题，故D不符合题意；

故选：A

【点睛】

本题考查的是等角的余角相等，平行线的性质，邻补角的定义，锐角与钝角的含义，掌握判断命题真假的方法是解题的关键.

4、A

【分析】

根据平方等于本身的数是0和1，即可判断①；根据单项式次数的定义：表示数或字母的积的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数，即可判断②；根据近似数的精确度可以判断③；根据绝对值的定义可以判断④；根据补角的定义：如果两个角的和为180度，那么这两个角互补即可判断⑤．

【详解】

解：①平方等于本身的数是1和0，故此说法错误；

②单项式﹣π2x3y2的次数是5，故此说法错误；

③近似数7精确到个位，近似数7.0精确到十分位，两者的精确度不相同，故此说法正确；

④因为a＞b，不一定有 |a|＞|b|，如1＞-2，但是|1|＜|-2|，故此说法错误；

⑤一个角的补角可能大于等于或小于这个角本身，故此说法错误；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了有理数的乘方，绝对值，单项式次数，补角和近似数，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

5、C

【分析】

观察图形可知，∠β=180°-90°-∠α，代入数据计算即可求解．

【详解】

解：∠β＝180°﹣90°﹣∠α

＝90°﹣30°14′

＝59°46′．

故选：C．

【点睛】

本题考查了余角和补角，准确识图，得到∠β=180°-90°-∠α是解题的关键．

6、A

【分析】

根据对顶角相等，两点之间，线段最短，两直线平行，同位角相等，同旁内角互补进行判断求解即可．

【详解】

解：A、对顶角相等，是真命题，符合题意；

B、两点之间，直线最短，是假命题，应该是两点之间，线段最短，不符合题意；

C、同位角相等，是假命题，应该是两直线平行，同位角相等，不符合题意；

D、同旁内角互补，是假命题，应该是两直线平行，同旁内角互补，不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了判断命题真假，解题的关键在于能够熟知相关定义和定理．

7、C

【分析】

根据对顶角的定义作出判断即可．

【详解】

解：根据对顶角的定义可知：只有C选项的是对顶角，其它都不是．
故选C．

【点睛】

本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．

8、D

【分析】

根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题．

【详解】

解：当x＝2，y＝﹣3时，x2＜y2，但x＞y，

故选：D．

【点睛】

此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法．

9、D

【分析】

由，证明，再利用角的和差求解 从而可得答案.

【详解】

解：如图，标注字母， ，

∴,

此时的航行方向为北偏东30°，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是平行线的性质，角的和差运算，掌握“两直线平行，同位角相等”是解本题的关键.

10、B

【分析】

按照两个端点确定一条线段即可判断①；根据补角的定义即可判断②；根据角的和差计算机可判断③；分两种情况讨论：当点F在线段CD上时点F到点B、C、D、E的距离之和最小，当点F和E重合时，点F到点B、C、D、E的距离之和最大计算即可判断④．

【详解】

解：①以B、C、D、E为端点的线段BC、BD、BE、CE、CD、DE共6条，故此说法正确；

②图中互补的角就是分别以C、D为顶点的两对邻补角，即∠BCA和∠ACD互补，∠ADE和∠ADC互补，故此说法正确；

③由∠BAE=90°，∠CAD=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠DAE+∠DAC+∠BAE+∠BAD+∠CAE=3∠BAE+∠CAD=310°，故此说法错误；

④如图1，当F不在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD+2FC，如图2当F在CD上时，FB+FC+FD+FE=BE+CD，如图3当F与E重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2ED，同理当F与B重合时，FB+FC+FE+FD=BE+CD+2BC，

∵BC=2，CD=DE=3，

∴当F在的线段CD上最小，则点F到点B、C、D、E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC=2+3+3+3=11，当F和E重合最大则点F到点B、C、D、E的距离之和FB+FE+FD+FC=17，故此说法错误．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了线段的数量问题，补角的定义，角的和差，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

二、填空题

1、真

【分析】

根据平行线的判定即可得．

【详解】

解：“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．”这个命题是真命题．

故答案为：真．

【点睛】

本题考查了平行线的判定、命题，熟练掌握平行线的判定是解题关键．

2、（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×

【分析】

根据对顶角与邻补角的定义与性质分析判断即可求解．

【详解】

（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角，错误；

（2）如果两个角相等，那么这两个角不一定是对顶角，错误；

（3）有一条公共边的两个角不一定是邻补角，错误；

（4）如果两个角是邻补角，那么它们一定互补，正确；

（5）有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角不一定是邻补角，错误；

故答案为：（1）×；（2）×；（3）×；（4）√；（5）×．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的与邻补角的性质，是基础题，熟记概念与性质是解题的关键，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角．

3、120

【分析】

由题意根据对顶角相等得出∠BOC=∠AOD进而结合∠AOD＋∠BOC＝240°即可求出∠BOC的度数．

【详解】

解：∵∠AOD＋∠BOC＝240°，∠BOC=∠AOD，
∴∠BOC=120°．
故答案为：120．

【点睛】

本题考查的是对顶角的性质，熟练掌握对顶角相等是解题的关键．

4、70

【分析】

根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，再根据平行线性质求出∠AEC的度数即可．

【详解】

解：∵ABCD，

∴∠C+∠CAB=180°，

∵∠C=40°，

∴∠CAB=180°-40°=140°，

∵AE平分∠CAB，

∴∠EAB=70°，

∵ABCD，

∴∠AEC=∠EAB=70°，

故答案为70．

【点睛】

本题考查角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．

5、

【分析】

直接利用互余两角的关系，结合度分秒的换算得出答案．

【详解】

∵，
∴的余角为：．
故答案为：．

【点睛】

此题主要考查了余角的定义和分秒的转换，正确把握相关定义是解题关键．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）∠B＝38°．

【解析】

【分析】

（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明；

（2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°．

【详解】

（1）∵AB∥DG，

∴∠BAD＝∠1，

∵∠1+∠2＝180°，

∴∠BAD+∠2＝180°.

∵AD∥EF .

（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，

∴∠1＝38°，

∵DG是∠ADC的平分线，

∴∠CDG＝∠1＝38°，

∵AB∥DG，

∴∠B＝∠CDG＝38°．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．

2、（1）∠AOC的对顶角是∠BOD，∠EOB的对顶角是∠AOF，.∠AOC的邻补角是∠AOD，∠BOC；（2）共有6对对顶角，它们分别是∠AOC与∠BOD，∠AOE与∠BOF，∠AOF与∠BOE，∠AOD与∠BOC，∠EOD与∠COF，∠EOC与∠FOD

【解析】

【分析】

根据对顶角的定义：两个角有一个公共点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做对顶角；邻补角的定义：两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫做邻补角，进行求解即可．

【详解】

解：（1）由题意得：∠AOC的对顶角是∠BOD，

∠EOB的对顶角是∠AOF.

∠AOC的邻补角是∠AOD，∠BOC.

（2）图中共有6对对顶角，它们分别是∠AOC与∠BOD，∠AOE与∠BOF，∠AOF与∠BOE，∠AOD与∠BOC，∠EOD与∠COF，∠EOC与∠FOD．

【点睛】

本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，熟知定义是解题的关键．

3、（1），；（2）．

【解析】

【分析】

（1）根据互余的性质求出，根据角平分线的性质求出，结合图形计算即可；

（2）根据互余的性质用表示，根据角平分线的性质求出，结合图形列式计算即可．

【详解】

解：

（1）∵与互余，，

∴，

∵OE平分，

∴，

∴，

∴，；

（2）∵，且与互余，

∴，

∵OE平分，

∴，

∴，

解得：．

【点睛】

本题考查了余角及角平分线的性质，角的计算，理解两个性质并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．

4、见解析

【解析】

【分析】

先根据垂直的定义可得，再根据角的和差可得，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证．

【详解】

证明：∵（已知），

∴（垂直的定义），

∵，（已知），

∴（等量关系），

即，

∴（同旁内角互补，两直线平行）．

【点睛】

本题考查了垂直、平行线的判定等知识点，熟练掌握平行线的判定是解题关键．

5、（1）；（2）平分，理由见解析；（3）秒或秒

【解析】

【分析】

（1）由补角的定义得出∠AOF的度数，由角平分线的定义得出∠FOC的度数，根据余角定义得出的度数；

（2）由得出，由角平分线的定义得出，得即可得出结论；

（3）由余角和补角的定义求得、的度数，然后分当s时，当s时，当s时分别讨论得出结果．

【详解】

解：（1），

，

，

（2） 平分，理由如下：

，

．

OE平分，

即射线OC平分．

（3）∵且，

∴

又∵，

∴，

∴

①当s时

直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转

解得

②当s时

直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转

此时无解

③当s时

直线绕点O按每秒5°的速度逆时针旋转

解得35

综上所述，当时， 秒或秒．

【点睛】

本题考查了补角和余角的定义，角平分线的定义，一元一次方程的运用，结合题意学会分类讨论的思想避免漏算答案．